| [[범주론|'''범주론 {{{#!wiki style="font-family: Times New Roman, serif; display: inline"]] | ||
| {{{#!wiki style="min-height: calc(1.5em + 5px); margin: 0 -10px -5px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#2f4c52,#2f4c52><colcolor=#fff,#fff> 개념 | 범주(종류 · 여러 가지 범주) · 대상(부분 대상) · 사상(정의역과 공역 · Hom · 항등 사상 · 동형 사상) · 함자(항등 함자 · Hom-함자 · 범주의 동치) · 자연 변환(자연 동형) · 수반쌍 · 보편 성질 · 퀴버(quiver) · 자기 동형 사상군 |
| 범주의 종류 및 구성 | 곱범주 · 콤마 범주(조각 범주) · 자유 범주 · 준군(groupoid)(기본준군) · 반대 범주 · 함자 범주(화살 범주) | |
| 극한 | 다이어그램(가환 다이어그램) · 극한↔쌍대극한op · 끝↔시작op(영대상 · 영사상) · 곱↔쌍대곱op · 이퀄라이저(핵)↔코이퀄라이저op(공핵) · 당김↔밂op · 완비 범주 | |
| 하위 분야 | 범주론적 대수학 · 고차 범주론 · 풍성 범주론(enriched category theory) · 토포스 이론 · 대수적 집합론 | |
| 기타 | 교재(Categories for the Working Mathematician) · abstract nonsense · 쌍대성 | |
| 틀:수학기초론 · 틀:대수학 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
雙對性 / Duality수학의 여러 분야에서 나타나는 기층적 개념으로, 특정 수학적 대상이나 구조의 성질 등이 대칭적 관계를 통해 또 다른 구조로 변환되어도 기존의 성질이 보존되는 특성을 말한다.
쌍대성은 대수학, 기하학, 범주론, 위상수학 등에서 중요한 역할을 하며, 하나의 문제를 새로운 관점에서 접근할 수 있는 강력한 도구를 제공한다.
2. 설명
모든 쌍대성을 아우르는 잘 정의된 엄밀한 수학적 정의가 있는 것은 아니다. 보통의 경우 두 개의 대칭적인 개념이 있고, 한 개념을 전부 반대쪽 개념으로 치환했을 때도 같은 의미를 가지거나 비슷한 결과가 얻어지는 경우를 말한다.이런 경우 보통 반대쪽 개념에 co-를 붙혀서 부른다. 가령 A라는 개념이 있을 때 반대쪽 개념을 co-A라고 부르는 식. 또는 좌/우 방향 직관에 맞게 한쪽을 left, 다른쪽을 right라고 부른다.
흔히 번역 시에는 쌍대-(예: 쌍대곱coproduct) 나 공-(예: 공역codomain, 공핵cokernel) 등으로 표현한다. 여-를 쓰는 경우도 있다.
많은 경우 한쪽 개념을 쌍대 개념으로 변환할 경우, 해당 변환을 다시 반복하면 원래 개념으로 돌아온다. 이를 자기 가역성이라고 하는데, 경우에 따라 없을 때도 있다. 후술할 범주론적 쌍대는 항상 자기 가역성을 가진다.
자기 자신의 쌍대가 자기 자신인 경우 자기 쌍대(self-dual)라고 한다.
범주론에 한해, 상당히 많은 쌍대적 개념은 반대 범주를 적절히 이용하면 얻어진다. 가령 시작, 쌍대곱, 밂 등 모든 쌍대극한은 반대 범주 위의 극한이며, 이를 확장해 대부분의 보편 성질 또한 쌍대 버전을 만들 수 있다. 방향이나 목적지만 다른 대부분의 범주론적 정의 또한 반대 범주를 통해 쌍대 개념을 얻을 수 있는데, 가령 반변 함자는 반대 범주 위의 공변 함자로 생각할 수 있고 right Hom-functor는 반대 범주 위의 left Hom-functor로 생각할 수 있으며, 비슷하게 우가군이나 대부분의 오른쪽 작용도 반대 범주 위의 왼쪽 사상으로 생각할 수 있다.
3. 예시
3.1. 반대 범주로 표현되는 범주론적 쌍대성
*: 자기 쌍대- 사상(morphism)
특정 범주 [math(C)] 내 왼쪽 유형에 해당하는 사상은 그 반대 범주 [math(C^\mathrm{op})]에서 오른쪽 유형애 해당한다. - 정의역(domain)↔공역(codomain)op
- 단사 사상(monomorphism)↔전사 사상(epimorphism)op
- 전단사 사상(bimorphism)*
- 정규 단사 사상(regular monomorphism)↔정규 전사 사상(regular epimorphism)op
- 단면(section)↔수축(retraction)op
- 동형 사상(isomorphism)*
- 전단사함수(bijection)*
- 자기 사상(endomorphism)*
- 항등 사상(identity morphism)*
- 상수 사상(constant morphism)↔여상수 사상(coconstant morphism)op
- 사슬 복합체(chain complex)↔공사슬 복합체(cochain complex)op
- 극한(limit)↔쌍대극한(colimit)op
특정 범주 [math(C)] 내 다이어그램의 극한은 그 반대 범주 [math(C^\mathrm{op})]에서의 쌍대극한이다. - 끝(terminal)↔시작(initial)op
- 영대상(zero object)*
- 곱(product)↔쌍대곱(coproduct)op
- 이퀄라이저(equalizer)↔코이퀄라이저(coequalizer)op
- 당김(pullback)↔밂(pushout)op
- 공변 함자(covariant functor)↔반변 함자(contravariant functor)op
[math(C)]에서 [math(D)]로 가는 반변 함자는 [math(C)]의 반대 범주 [math(C^\mathrm{op})]에서 [math(D)]로 가는 공변 함자다. - 작용(action)
- 군의 좌작용(left group action)↔군의 우작용(right group action)
군 [math(G)]에서 대상 [math(S)]에 작용하는 left action을 [math(G)]를 singleton category로 봤을 때 여기서 [math(S)]의 자기 동형 사상군 [math(\mathrm{Aut}(S))]로 가는 공변(covariant) 함자, 즉 군 준동형 사상(group homomorphism)으로 보았을 때, right action은 [math(G)]의 반대군(opposite group), 즉 singleton category로 봤을 때의 반대 범주 [math(G^\mathrm{op})]에서 같은 자기 동형 사상군 [math(\mathrm{Aut}(S))]로 향하는 공변 함자, 또는 아예 [math(G)]에서 [math(\mathrm{Aut}(S))]로 가는 반변(cotravariant) 함자가 된다. - 좌가군(left module)↔우가군(right module)
단위원을 가지는 환(unital ring) [math(R)]과 아벨군 [math(M)]이 주어졌을 때, 아벨군의 범주 Ab는 additive하므로 [math(M)]의 자기 사상 모노이드 [math(\mathrm{End}_\mathbf{Ab}(M))] 역시 단위원을 가지는 환(unital ring)을 이룬다. 이때 환 [math(R)]을 스칼라로 가지는 좌가군(left module)을 [math(R)]에서 [math(\mathrm{End}_\mathbf{Ab}(M))]으로 가는 환 준동형 사상, 즉 아벨군 [math(M)]위 환 [math(R)]의 좌작용(left action)으로 볼 수 있다. 환에서도 군과 비슷하게 반대환(opposite ring) [math(R^\mathrm{op})]을 만들 수 있으며, 이 경우 반대환에서 [math(\mathrm{End}_\mathbf{Ab}(M))]으로의 환 준동형 사상, 즉 우작용(right action) 내지 환 [math(R)]에서 [math(\mathrm{End}_\mathbf{Ab}(M))]로 가는 반변(contravariant) 함자를 우가군(right module)이라 한다.
4. 수학 외의 응용
쌍대성은 수학 외에도 물리학(예: 전기와 자기), 경제학(예: 쌍대 문제)[1], 컴퓨터 과학(예: 알고리즘의 쌍대성) 등에서 널리 활용된다.5. 기타
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee.
에르되시 팔과 연관된 어록 중 '수학자는 커피를 정리로 바꾸는 기계이다'라는 말이 있는데, 해당 문장의 쌍대 버전 농담도 있다. 상술한 바와 같이 범주론적 쌍대 개념은 주로 A 개념을 co-A로 바꾸어 얻어지므로 theorem 등은 cotheorem이 되며, 두 번 쌍대한 것은 자기 자신과 같으므로 cocoffee는 ffee가 된 것.6. 관련 문서
[1] 대표적으로 효용극대화와 지출극소화, 이윤극대화와 비용극소화 최적화 문제가 서로 쌍대성을 보인다.