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1. 개요
thermodynamic process · 熱力學 過程열역학 제1법칙에 따라 기체가 외부의 환경에 영향을 받으면서 그 상태가 변화하는 과정.
2. 선수 지식
2.1. 이상 기체 상태 방정식
이상 기체의 경우 기체의 압력을 [math(P)], 부피를 [math(V)], 절대온도를 [math(T)], 기체의 몰수를 [math(n)]라 할 경우 다음의 방정식을 만족시킨다.[math(\displaystyle PV=nRT )]
[math(R)]은 기체 상수이다.
2.2. 열역학 제1법칙
계에 전달된 열을 [math(Q)], 계의 내부 에너지 변화를 [math(\Delta U)], 계가 한 일을 [math(W)]라 하면, 다음이 성립한다.[math(\displaystyle Q=\Delta U+W )]
2.3. PV 도표
계의 압력 [math(P)]를 [math(y)]축, 부피 [math(V)]를 [math(x)]축으로 하여 나타낸 그래프이다. 어떠한 상태[1]를 나타낼 때는 해당 도표에 점으로 나타나며, 과정을 거칠 경우 곡선이 그려지게 된다.
이때, 과정을 거치며, 기체가 한 일은 적분
[math(\displaystyle W=\int P(V)\,{\rm d}V )]
으로 나타난다. 즉, 위 그래프에서 회색 영역의 넓이[2]가 그것이 된다.
2.4. 몰 비열
몰 당 [math(1\,{\rm K})] 올리는 데 필요한 열을 몰 비열이라 하며, 일정한 부피에서 생각하는 등적 몰 비열 [math(\boldsymbol{c_{V}})]와 일정한 압력에서 생각하는 등압 몰 비열 [math(\boldsymbol{c_{P}})]가 있으며, 그 정의는 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} c_{V}&=\frac{1}{n}\biggl(\frac{\partial U}{\partial T} \biggr)_{V} \\ c_{P}&=\frac{1}{n}\biggl(\frac{\partial H}{\partial T} \biggr)_{P} \end{aligned} )]
[math(U)]는 내부 에너지, [math(H)]는 엔탈피이다. 참고로 엔탈피는
[math(\displaystyle \begin{aligned} H=U+PV \end{aligned} )]
로 정의된다.
이상 기체에서 등적 몰 비열과 등압 몰 비열은 다음과 같은 관계에 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} c_{P}-c_{V}=R \end{aligned} )]
단원자 분자 이상 기체는
[math(\displaystyle \begin{aligned} c_{V}&=\frac{3}{2}R \\ c_{P}&=\frac{5}{2}R \end{aligned} )]
임을 참고한다.
2.5. 내부 에너지 변화량
윗 문단을 참고하면, 이상 기체에 대하여[math(\displaystyle \Delta U=nc_{V}\Delta T )]
임을 알 수 있다.
3. 열역학 과정의 대표적인 예
3.1. 등적 과정
일정량의 이상 기체의 부피가 일정한 상태에서 기체가 열을 흡수하여 온도가 증가하거나, 열을 방출하여 온도가 감소하는 과정.이 과정에서 부피 변화가 없으므로 기체가 한 일은 0이다. 따라서 열역학 제1법칙 [math(Q=\Delta U+W)]에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} Q&=\Delta U \\ &=nc_{V}\Delta T \end{aligned} )]
이다.
이 과정을 [math(PV)] 도표로 나타내면 아래와 같다.
3.2. 등압 과정
일정량의 이상 기체의 압력이 일정하게 유지되면서[3] 열을 흡수하여 부피가 증가하거나, 열을 방출하며 부피가 감소하는 과정. 즉, 기체가 열팽창을 하는 것이다.이 과정에서 기체는 다음과 같은 일을 한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} W&=P_{0}\int_{V_{i}}^{V_{f}}{\rm d}V \\ &=P_{0}(V_{f}-V_{i}) \\&= P_{0}\Delta V \end{aligned})]
이것은 이상 기체 상태 방정식을 통하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} W=nR\Delta T \end{aligned})]
으로 쓸 수 있고, 내부 에너지 변화는
[math(\displaystyle \begin{aligned} U=nc_{V}\Delta T \end{aligned})]
이므로 열역학 제1법칙에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} Q&=\Delta U+W \\ &=n(c_{V}+R)\Delta T \\ &=nc_{P} \Delta T \end{aligned})]
이 과정을 [math(PV)] 도표로 나타내면 아래와 같다.
3.3. 등온 과정
온도가 일정한 상태에서 일정량의 이상 기체가 열에너지를 흡수하여 부피가 증가하거나, 열에너지를 방출하여 부피가 감소하는 과정. 온도가 일정하다는 말은, 부피나 압력이 변하는 경우 어떤 식으로든 에너지 출입이 존재한다는 의미이므로 단열 과정과는 절대로 양립할 수 없다.기체에 전달된 열을 [math(Q)]라 하면, 기체의 온도 변화가 없으므로 기체의 내부 에너지는 변화하지 않았으므로 [math(\Delta U=0)]이다. 따라서 열역학 제1법칙에서
[math(\displaystyle Q=W )]
즉, 기체가 한 일은 기체에 전달된 열량과 같다. 이제 이 기체가 한 일의 양을 조사해보자. 우선
[math(\displaystyle P(V)=\frac{nRT_{0}}{V} )]
이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} W&=nRT_{0}\int_{V_{i}}^{V_{f}}\frac{{\rm d}V}{V} \\ &=nRT_{0} \ln{\biggl(\frac{V_{f}}{V_{i}} \biggr)} \\ &=P_{i}V_{i}\ln{\biggl(\frac{V_{f}}{V_{i}} \biggr)} \end{aligned} )]
마지막에 이상 기체 상태 방정식이 쓰였다.
이 과정을 [math(PV)] 도표로 나타내면 아래와 같다.
3.4. 단열 과정
단열 과정이란 열의 출입 없이 일어나는 열역학 과정이다.이 과정에서 열의 출입이 없으므로 열역학 제1법칙을 적용하여 정리하면
[math(\displaystyle W=-\Delta U )]
이 된다. 따라서 다음과 같이 요약된다.
- 단열 팽창: 기체의 부피가 팽창할 경우 기체는 일을 했으므로 [math(W>0)]이므로 [math(\Delta U<0)]이다. 즉, 기체의 온도는 낮아진다.
- 단열 압축: 기체의 부피가 수축할 경우 기체는 일을 받으므로 [math(W<0)]이므로 [math(\Delta U>0)]이다. 즉, 기체의 온도는 높아진다.
두 과정에 대한 [math(PV)] 도표는 아래와 같다.
보는 것과 같이 두 등온 곡선 사이를 건너가는 형태가 된다.
단열 과정을 분석하기 위해 다음을 고려하자. 기체의 내부 에너지 변화
[math(\displaystyle {\rm d}U=nc_{V}\,{\rm d}T )]
그런데 단열 과정에서는 [math({\rm d}U=-W)]이므로
[math(\displaystyle nc_{V}\,{\rm d}T=-P\,{\rm d}V )]
여기에 이상 기체 상태 방정식을 적용하면
[math(\displaystyle c_{V}\frac{{\rm d}T}{T}=-R\frac{\,{\rm d}V}{V} )]
그런데 이상 기체에서 등적 몰 비열 [math(c_{V})]과 등압 몰 비열 [math(c_{P})]은 다음과 같은 관계를 갖고 있다. 이상에서
[math(\displaystyle c_{V}\frac{{\rm d}T}{T}=-(c_{P}-c_{V})\frac{\,{\rm d}V}{V} )]
모든 비열은 상수라고 취급한 뒤 양변을 적분하면
[math(\displaystyle \ln{\!\biggl(\frac{T_{f}}{T_{i}} \biggr)}=(\gamma-1)\ln{\!\biggl(\frac{V_{i}}{V_{f}} \biggr)} )]
로그를 벗겨내면
[math(\displaystyle \frac{T_{f}}{T_{i}} =\biggl(\frac{V_{i}}{V_{f}} \biggr)^{\!\gamma-1} )]
여기서 [math(\gamma)]는 비열비를 나타내며, [math(\gamma=c_{P}/c_{V})]이다.[4] 이상 기체 상태 방정식을 사용하면
[math(\displaystyle \frac{P_{f}V_{f}}{P_{i}V_{i}} =\biggl(\frac{V_{i}}{V_{f}} \biggr)^{\!\gamma-1} )]
따라서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle P_{i}V_{i}^{{\gamma}}=P_{f}V_{f}^{{\gamma}} )]
그런데 나중 상태는 임의로 잡을 수 있으므로 곧 단열 과정에서 중요한 관계식
[math(\displaystyle PV^{{\gamma}}=\sf{const.} )]
을 얻는다.[5]
이제 일을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle P(V)=\frac{P_{i}V_{i}^{{\gamma} }}{V^{\gamma}} )]
이므로 다음과 같이 나온다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} W &=P_{i}V_{i}^{{\gamma} } \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{{\rm d}V}{V^{\gamma}} \\ &=\frac{P_{i}V_{i}^{{\gamma} }}{1-\gamma}(V_{f}^{1-\gamma}-V_{i}^{1-\gamma}) \\ &=\frac{P_{f}V_{f}-P_{i}V_{i}}{1-\gamma} \end{aligned} )]
4. 기타
- 앞서 언급했듯이 단열 과정은 열이 0이고, 아무리 극단적인 단열 압축으로 온도가 수천 ℃까지 폭증해도 계의 열 변화는 0이다. 즉 내파로 인해 '온도'는 올라갔어도 '열'이 올라가거나 방출되는 건 아니다. 따라서 이 상황에서 '열 에너지가 폭발적으로 증가했다', '열이 감지됐다' 등의 표현은 틀린 것이다.
- 단열 팽창의 경우 대표 예시엔 저기압을 형성하여 구름이 생성되는 것이 있고, 단열 압축의 경우 대표 예시엔 우주 물체의 천체 대기권 진입 시 발생하는 현상[6]이 있다.
- 수능에서는 다소 어렵게 출제되고 있는 편이다. 용수철과 많이 엮인다.
- 일반적으로 부피와 압력, 온도 관계의 경우 부피는 온도에 비례하고 압력에 반비례하지만, 단열 과정이라면 관계식이 상당히 복잡해진다. 지수를 자연수로 고쳐서 외우는 게 더 편하다.[7]
[1] 위 예에선 [math(\rm A)]나 [math(\rm B)].[2] 음이 될 수 있음에 주의[3] 주로 피스톤이 마찰 없이 움직인다고 가정하지만, 등압 과정을 만족시키는 과정은 실제로 무척 까다로워서 잘 안 다룬다.[4] 단원자 분자는 [math(\gamma=5/3)], 이원자 분자는 [math(\gamma=7/5)], 삼원자 이상의 다원자 분자는 [math(\gamma=8/6=4/3)]이다.[5] 압력 대신 온도를 사용하면 [math(\displaystyle TV^{{\gamma -1}}=\sf{const.} )]이 된다.[6] 이를 잘못된 국가 교육내용인 "마찰열"로만 알고있는 경우가 태반이다.[7] 기체의 자유도를 f라 했을 때, 부피의 (f+2)제곱과 압력의 f제곱, 부피의 제곱과 온도의 f제곱이 반비례 관계에 있으며, 기체의 자유도는 단원자는 3, 이원자는 5, 삼원자 이상 다원자는 6이다. 이를 정리하면 단원자 이상 기체는 부피의 5제곱이 압력의 3제곱에, 부피의 제곱이 온도의 3제곱에 반비례한다. 이원자는 부피의 7제곱이 압력의 5제곱에, 부피의 제곱이 온도의 5제곱에 반비례한다. 삼원자 이상 다원자 기체는 부피의 4제곱이 압력의 3제곱에, 부피가 온도의 3제곱에 반비례한다.