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1. 개요
일반 상대성 이론에서 다뤄지는 중력장의 수학적 기술을 다룬다.2. 정의
2.1. 메트릭 텐서
일반 상대성 이론에서, 중력장은 다양한 방식으로 정의될 수 있다. 기본적으로는 4차원 시공간의 각 점에서 정의된 메트릭 텐서[math(\displaystyle (g_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03} \\ g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13} \\ g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23} \\ g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33} \end{pmatrix})]
(또는 그 성분)로부터 중력장을 정의할 수 있다.[1] 이들은 다음과 같이 각 점에서 주어진 벡터의 크기(선소, line element)를 정의한다.
[math(\displaystyle ds^2 = -c^2d\tau^2 = \sum_{\mu\nu}g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu})]
아인슈타인 등가 원리에 의해, 선소의 의미는 국소적으로 관성 좌표계를 잡음으로써 이해할 수 있다. [math(ds)]는 두 점 사이의 고유 거리를 나타내며, [math(d\tau)]는 두 점 사이의 고유 시간을 나타낸다. 한편 현재의 좌표계를 [math(\{x^{\mu}\})], 어떤 관성 좌표계를 [math(\{\xi^{\mu}\})]라 두었을 때
[math(\displaystyle g_{\mu\nu} = \sum_{\alpha\beta}\eta_{\alpha\beta}\frac{d\xi^{\alpha}}{dx^{\mu}}\frac{d\xi^{\beta}}{dx^{\nu}})]
이므로 이러한 변환 관계로부터 메트릭 텐서의 각 성분을 계산할 수 있으며, 반대로 메트릭 텐서(의 성분)로부터 현재의 좌표계가 관성 좌표계와 얼마나 다른지를 정량적으로 표현할 수 있다. 특히
[math(\displaystyle (g_{\mu\nu}) = (\eta_{\mu\nu} )= \begin{pmatrix} -c^2&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix})]
일 경우 이 좌표계는 (국소적으로) 관성 직교 좌표계임을 나타낸다. 이 좌표계에서는 각 좌표 [math(t, x, y, z)]가 일반적인 시간과 공간의 의미를 가진다. 아인슈타인은 중력장을 좌표계의 국소적 운동상태와 같은 것으로 보았으므로, 메트릭 텐서의 성분을 중력장으로 해석하였다.
2.2. 접속 계수(크리스토펠 기호)
(레비치비타 접속을 택하면) 입자의 4차원 시공간 상의 궤적을 나타내는 측지선의 방정식은[math(\displaystyle \frac{d^2x^{\mu}}{d\tau^2} = -\sum_{\alpha\beta}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{d\tau}\frac{dx^{\beta}}{d\tau})]
로 표현될 수 있으며, 이 때 각 접속 계수(크리스토펠 기호) [math(\Gamma)][2]는
[math(\displaystyle \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\sigma\beta}}{\partial x^\alpha} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\sigma}\right))]
으로 메트릭 텐서의 성분의 일계미분의 조합으로 표현된다. 한편, 측지선 방정식은 고전 역학의 운동 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x_i}{dt^2} = -\frac{\partial\Phi}{\partial x_i} = g_i)]
와 대응된다. 이로부터 접속 계수를 중력장의 성분으로 정의할 수도 있다. 이 경우 메트릭 텐서는 중력 퍼텐셜에 대응된다. 특히, (국소적) 관성 좌표계에서는 메트릭 텐서가 [math(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu},\,\, g_{\mu\nu, \sigma} = 0)]이 되기 때문에 (기대한대로) 접속계수가 모두 0이 되며 중력장은 사라진다. 이로부터 아인슈타인은 접속 계수를 직접적으로 중력장의 각 성분으로 정의하였다. 하지만 접속 계수는 텐서가 아니기에 좌표계에 따라 성분의 의미가 변화한다는 단점을 지닌다. 현대의 이론가들은 물리적 양을 되도록 텐서와 연관지으려고 한다.
2.3. 리만 텐서
메트릭 텐서, 접속 계수는 좌표를 잡는 방법에 따라 국소적으로 중력이 없는 상황과 구별할 수 없다는 한계를 지닌다. 이 경우 시공간의 국소적 곡률을 나타내는 리만 텐서를 중력장으로 생각할 수 있다.[math(\displaystyle R^{\alpha}_{\,\,\sigma\mu\nu} = \partial_{\mu}\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma} - \partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma} + \sum_{\lambda}\Gamma^{\alpha}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma} - \sum_{\lambda}\Gamma^{\alpha}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma})]
리만 텐서는 복잡하지만 좌표계와 관계없는 양으로 중력장이 존재한다는 것을 객관적으로 보여준다. 특히, 측지선 편차 방정식
[math(\displaystyle \frac{D^2\xi^\alpha}{d\tau^2} = -\sum_{\beta\gamma\delta}R_{\,\,\beta\gamma\delta}^{\,\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\tau}\xi^{\gamma}\frac{dx^\delta}{d\tau} )]
은 중력에 의한 기조력을 나타내며, 좌표계에 의존하지 않고 주변에 중력장을 만들어내는 물질이 존재하는지를 잘 알려준다. 실제로 아인슈타인 방정식, 즉 중력장 방정식은 물질 분포 [math(T_{\mu\nu})]를 리만 텐서와 연관시킨다. 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu})]와 리치 스칼라 [math(R)]을
[math(R_{\mu\nu} = R^{\sigma}_{\,\,\mu\sigma\nu}, \quad R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu})]
라 두었을 때, 아인슈타인 방정식은
[math(\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu})]
로 표현된다. 이 때 [math(\Lambda)]는 우주 상수이다. 즉, 물질 분포는 리만 텐서(장) [math(R^{\alpha}_{\,\,\sigma\mu\nu})]를 규정하며 리만 텐서는 직접적으로 물질 분포에 대한 정보를 잘 나타낸다. 메트릭 텐서나 접속 계수로부터 리만 텐서를 유도할 수 있으나 그 자체는 물질 분포에 대한 정보를 담고 있지 않으며 임의로 없앨 수 있다.
3. 예시
일반 상대성 이론에서 중력장을 다양하게 정의할 수 있다는 것은, 사실 고전 역학의 중력장에 완벽하게 대응되는 개념이 없다는 것을 의미하기도 한다. 그리고 메트릭 텐서, 접속 계수, 리만 텐서는 (중력 퍼텐셜과 중력장처럼) 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 공통적으로 시공간의 기하학적 성질을 반영한다. 일반적으로, 주어진 시공간의 중력장은 가장 단순한 메트릭 텐서장 [math(g_{\mu\nu}\mathbf{(x)})]로 주어지며, 이는 주어진 물질 분포로부터 아인슈타인 방정식을 풀면 얻을 수 있다. 다음은 대표적인 예시이다.
3.1. 진공
진공에서는 모든 점에서 [math(T_{\mu\nu} = 0)]이며, 리만 텐서장은 [math(0)]이 된다. 따라서, 이는 명백하게 평평한 시공간을 나타내며 적당한 좌표를 선택하여 다음과 같이 중력장을 표현할 수 있다. 이는 민코프스키 공간임과 동시에, 특수 상대성 이론이 성립하는 시공간이다.[math(ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]
3.2. 구형 대칭, 정적인 분포(슈바르츠실트 해)
진공이 아닌 가장 간단한 경우는 물질이 구형 대칭으로 분포되어 있으며 시간에 따라 분포가 변하지 않는 경우의 중력장이다. 이는 슈바르츠실트 해로 특정되며, 특히 버코프 정리에 의하면 진공 조건에서의 구형 대칭해는 슈바르츠실트 해가 유일하다.(이 때 진공은 주변에 물질 분포가 존재하는 경우를 나타낸다. 이 때에는 [math(R_{\mu\nu} = 0)]이지만 리만 텐서는 0이 아니다.)[math(\displaystyle ds^2 = -\biggl(1 - \frac{2GM}{c^2r} \biggr)c^2dt^2 + \biggl(1 - \frac{2GM}{c^2r} \biggr)^{-1} dr^2 + r^2d\Omega^2)]
3.3. 작은 중력장의 요동(중력파 해)
중력장의 크기가 매우 작으나, 정적이지 않다고 가정하면 중력파 해를 얻는다. 중력장의 크기가 매우 작다는 것은 적당한 좌표를 선택했을 때[math(\displaystyle g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \quad |h_{\mu\nu}|≪1)]
가 성립한다는 것이다. 이 때 아인슈타인 방정식은
[math(\displaystyle \square \left(h_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h\right) = - \frac{16 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu})]
으로 정리될 수 있으며 따라서 각각의 [math(h_{\mu\nu})]에 대한 파동 방정식을 얻을 수 있다.
3.4. 균일한 물질 분포(우주 해 / FLRW 해)
현대 우주론에서는 우주 전체에 물질이 균일하고 등방적으로 분포되어 있다고 가정한다(우주 원리; cosmological principle). 또한, 우주를 이루는 각 입자가 좌표계에 대해 정지해 있도록 좌표계를 설정하면 이 조건으로부터 다음과 같이 중력장의 기본적인 형태를 찾을 수 있다. 이 때 [math(a(t))]는 은하와 은하 사이의 평균 거리를 의미하여 scale factor라고 부른다. 이 값은 시간에 따라 변하는데, 은하끼리 직접 멀어지거나 가까워지는 것이 아니라 사이에 놓인 공간이 늘어나거나 줄어드는 것을 반영한다.[math(\displaystyle ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\biggl[\frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 d\Omega^2 \biggr])]
이 식을 아인슈타인 방정식에 대입하면, [math(a(t))]에 관한 방정식(프리드만 방정식)을 얻을 수 있다.
[1] [math(g)]라는 기호는 아인슈타인이 1913년 처음 사용하였다. gravitation으로부터 온 것으로 추측된다.[가][2] 이 기호 역시 아인슈타인이 도입하였다. 이유는 마찬가지로 Gravtitation으로 추측된다. [나]