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1. 개요
Entwurf 이론(Entwurf theory; 초안 이론)은 현재의 일반 상대성 이론이 완성되기 전 아인슈타인이 처음으로 미분 기하학에 기반하여 제시했던 중력 이론의 가명으로, 일반 상대성 이론의 직접적 전신이다. 당시에는 아인슈타인 이론, 아인슈타인-그로스만 이론(Einstein-Grossmann Theory) 등의 이름으로 불렸다.2. 배경
아인슈타인은 1912년 중력이 시공간의 기하학적 성질에 따라 결정된다는 아이디어를 얻고, 프라하에서 취리히로 돌아온 후 수학자였던 친구 마르셀 그로스만의 도움을 받아 미분 기하학을 배우고 중력 이론을 완전히 재구성하였다. 둘의 합작 연구는 1913년 『일반화된 상대성 이론과 중력 이론의 초안』(Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation)이라는 이름의 논문을 통해 발표되었다. Entwurf라는 이름은 이 논문의 첫 단어를 따서 후대에 (역사)학자들이 편의상 지은 명칭인데, 대체로 "일반 상대성 이론의 초안"이라는 뜻으로 받아들이면 된다.Entwurf 이론의 의의에 대해서는 기존에는 아인슈타인의 초창기 미숙한 수학에 근거한 판단이 만든 일시적 실패 또는 일탈이었으며 결국 훗날 이 방법론을 상당수 뜯어고쳐버렸다는 시각이 많았으나, 최근 <Zurich Notebook>을 비롯한 다양한 참고 문헌들의 자세한 분석에 따르면 Entwurf 이론의 방법론이 일반 상대성 이론의 완성까지 계속 추구되었고 미숙했던 판단들이 조금씩 섬세해지면서 결국 일반 상대성 이론의 완성으로 결실을 맺은 것이라는 견해들이 제시되었다.
3. 내용
Entwurf 이론은 기본적으로 미분 기하학 이론을 바탕으로 한다. 따라서, 물질에 관한 이론의 기본 틀은 지금의 일반 상대성 이론과 대동소이하다. 쉽게 말해서 텐서의 좌표 변환 규칙을 일반화한 다음 일반 편미분을 공변 미분으로 바꾸고, 부피 원소(Volume element)에 [math(\sqrt{-g})]를 곱하면 된다. 그러나 아인슈타인은 중력장을 만드는 방정식, 즉 중력장 방정식과 관련된 문제로 인해 공변 범위를 제한하고, 방정식의 형태를 모조리 그에 맞추어 바꿔야 했다. 상대성 이론이 확장되기는 했으나 완전히 일반화되지는 않은 것이다. 따라서 일반 상대성 이론과 대비해 이 이론에서 눈여겨볼 내용은 아인슈타인이 왜 중력장 방정식의 공변 범위를 제한했는지에 관한 내용이다.중력장 방정식에 대한 아인슈타인의 접근법은 물리적 전략(Physical strategy)과 수학적 전략(mathematical strategy)의 적절한 혼용으로 정리된다. 물리적 전략이란, 중력장 방정식이 기존에 알려진 물리법칙들을 포함하는지에 관한 내용으로 뉴턴 법칙, 에너지 보존법칙을 포함해야 하며 수성의 근일점 이동 또한 설명할 수 있어야 한다. 하지만 기본적으로는 뉴턴 법칙과 에너지 보존법칙이 가장 중요했다.
수학적 전략의 경우, 아인슈타인이 요구했던 일반 공변성(general covariance)을 만족시키는 가장 간단한 수학적 해, 즉 리만 텐서와 관련되어 있다. 그로스만과의 연구 초기에 아인슈타인은 수학적 전략을 기반으로 중력장 방정식 [math(R_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]를 유도한 뒤 이것이 뉴턴 법칙과 에너지 보존법칙을 만족시키는지 확인하는 방식으로 연구를 진행했다. 이는 결과적으로 일반 상대성 이론을 유도하는 가장 효율적인 길이지만 당시에는 미분기하학적 수식과 기존의 물리 개념들을 연관시키는 데에 충분한 경험이 쌓여있지 않았고 몇가지 치명적 오류를 저지른 결과 이 해법이 불가능하다는 결론에 다다르고야 만다.
3.1. 중력장의 정의
이 이론을 이해하는 데 필요한 몇가지 개념을 먼저 살펴본다. 첫번째로, 아인슈타인이 훗날 이 때 꼬인 매듭을 푸는 열쇠가 된 중력장의 정의 문제에 대해 살펴볼 필요가 있다.Entwurf 이론의 최대 성과는 메트릭 텐서 [math(g_{\mu\nu})]를 중력장을 나타내는 양으로 본 것이다. 그러나 메트릭 텐서는 굳이 따지자면 중력장 자체보다는 중력 퍼텐셜에 가까운 개념으로, 일반 상대성 이론에서는 크리스토펠 기호(접속 계수)
[math(\displaystyle \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\left(\frac{\partial g_{\sigma\alpha}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial g_{\sigma\beta}}{\partial x^{\alpha}} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\sigma}}\right))]
를 중력장 성분으로 본다. 왜냐하면 크리스토펠 기호는 운동 방정식
[math(\displaystyle \frac{d^2x^{\mu}}{d\lambda^2} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{d \lambda}\frac{dx^{\beta}}{d \lambda} = 0)]
을 만들기 때문이다. 이는 고전 역학의 운동 방정식에 잘 대응된다.
한편, Entwurf 이론에서는 중력장의 성분을 약간 다른 방식으로 정의한다. 먼저, 현재의 스트레스-에너지 텐서 [math(T^{\nu}_{\sigma})]에 대하여
[math(\mathfrak{T^{\nu}_{\sigma}} = T^{\nu}_{\sigma}\sqrt{-g})]
라 정의한다. [math(\sqrt{-g})]가 스칼라가 아니므로 이는 텐서가 아니지만, 여러 상황에서 유용하게 쓰이는 양이다. 이런 식으로 텐서에 [math(\sqrt{-g})]를 곱한 양을 현재는 텐서 밀도(Tensor density)라 부른다. 이 때 에너지 보존법칙
[math(\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial T^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} &= -\Gamma^{\nu}_{\nu\tau}T^{\tau}_{\sigma} + \Gamma^{\tau}_{\sigma\nu}T^{\nu}_{\tau} \\ &= -\frac{1}{2}g^{\nu\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\tau}}T^{\tau}_{\sigma} + \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}T^{\nu}_{\tau} \end{aligned})]
으로부터
[math(\begin{aligned} \displaystyle \frac{\partial \mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} &= \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\nu}}T^{\nu}_{\sigma} + \sqrt{-g}\frac{\partial T^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} \\ &= \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^{\nu}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} -\frac{1}{2}g^{\nu\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\tau}}\mathfrak{T}^{\tau}_{\sigma} + \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\tau} \\ &= \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\tau}\end{aligned})]
를 얻게 된다. Entwurf 이론에서 아인슈타인은, 이처럼 기존의 에너지 보존 법칙을 선형적으로 변화시키는 양
[math(\displaystyle \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}})]
을 중력장에 대한 정의로 보았다. 이는 뉴턴 중력이나 전자기학에서 장이 퍼텐셜의 미분으로 나타난다는 데에서 자연스럽게 들 수 있는 발상이지만, 미분 기하학에서는 보다 복잡한 식(크리스토펠 기호)이 필요했다. 특히, 아래에서 설명하듯이 이렇게 정의된 중력장으로부터 아인슈타인은 중력 에너지 텐서를 중력장 성분으로 표현하는 데에 실패하였다.
훗날 아인슈타인은 중력장을 크리스토펠 기호로 다시 정의한 이유를 다음과 같이 밝혔다.
- 크리스토펠 기호는 중력장에 대한 물체의 운동 방정식(측지선 방정식)을 직접적으로 유도한다.
- 크리스토펠 기호는 자동으로 기존의 중력장을 포함한다. Entwurf 중력장은 대칭 텐서가 곱해지는 과정에서 크리스토펠 기호가 간단화된 특수 형태인 것이다. 따라서, 크리스토펠 기호는 에너지 보존에 대한 중력장의 영향 또한 표현할 수 있다.(규칙이 조금 복잡해지지만)
3.2. 뉴턴 법칙 유도
뉴턴의 중력장 방정식은 다음 푸아송 방정식(poisson equation)[math(\displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 4\pi G\rho)]
으로 표현된다. 한편, 리치 텐서는
[math(\begin{aligned} \displaystyle R_{\mu\nu} &= R^{\sigma}_{\,\,\mu\sigma\nu} \\ &= \partial_{\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu} - \partial_{\nu}\Gamma^{\sigma}_{\sigma\mu} + \Gamma^{\sigma}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu} - \Gamma^{\sigma}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu} \\ &\approx \frac{1}{2}g^{\sigma\alpha}\left(\frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x^{\mu}x^{\sigma}} - \frac{\partial g_{\alpha\sigma}}{\partial x^{\mu}x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}x^{\sigma}} + \frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^{\alpha}x^{\nu}} \right) \end{aligned})]
로, 기본적으로 라플라스 연산자(상대론적으로, 달랑베르 연산자)를 유도하는 것이 목표이다. 아인슈타인은 메트릭 텐서의 발산이 0이라는 조화 조건(harmonic condition)
[math(\displaystyle \frac{\partial g^{\alpha\beta}}{\partial x^{\alpha}} = 0)]
을 이용하여 뉴턴 중력
[math(\displaystyle \frac{1}{2}g^{\alpha\beta}\frac{\partial^2 g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\beta}} = kT_{\mu\nu})]
을 유도할 수 있었다. 이것은 매우 깔끔한 성공이지만, 아인슈타인은 이후 몇 가지 실수를 했다.
첫번째로, 아인슈타인은 1912년 아인슈타인은 정적인 중력장에서, 광속 [math(c)]를 공간 상의 변수로 둔다면 자유 낙하 방정식
[math(\displaystyle \delta \int \sqrt{c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2} = 0)]
이 성립한다는 결론을 유도했다. 이는, 미분 기하학을 접목한 새로운 이론의 측면에서 봤을 때 [math(g_{\mu\nu})]가
[math(\displaystyle ds^2 = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = -c(x)^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2)]
임을 의미한다. 즉 [math(g_{00} = -c^2)]을 제외하고는 나머지는 상수여야 하며, 공간은 평평해야 한다. 이 경험을 바탕으로, 아인슈타인은 중력장 방정식으로부터 1차 근사를 적용하면 [math(g_{00} = -c(x)^2, \,\,g_{0i} = 0, \,\,g_{ij} = \delta_{ij})]을 얻어야 한다고 가정했다. 아인슈타인의 방정식은 공간 또한 1차 근사 범위에서 휘어져야 한다는 결론을 냈고, 그는 둘 중 어느 것에 무게를 두어야 할지 난감해 했다.
다음으로 좌표 제한의 의미에 대한 오해이다. 이는 현재 기준으로 봤을 때 게이지 고정(gauge fixing) 문제와 같다. 게이지 고정은 여러 모양으로 나타나지만 모두 물리적으로 동등한 (같은 방정식을 만족시키는) 메트릭 텐서 중 상황에 맞는 것을 취하기 위함이다. 따라서 각각의 상황에서 편한대로 게이지를 선택하면 된다. 그러나 아인슈타인은 특정 상황에서 얻은 게이지 조건을 다른 상황에 똑같이 적용시키려 했다. 즉, 뉴턴 중력을 유도한 조화 조건을 그대로 에너지 보존 문제 등에도 적용하려 한 것이다. 이는 좌표 선택에 제한이 걸린 공변성이 일부 희생된 방정식을 다루는 것과 똑같다.
이 상황에서 아인슈타인은 (1912년 정적 중력장 이론에서 논의되었던) 회전 좌표계의 관성력이 중력장 방정식의 해가 되길 원했다. 하지만 물질이 없는 메트릭 텐서장을 다음 변환
[math(\begin{cases} \displaystyle x' = x\cos\tau + y\sin\tau \\ y' = -x\sin\tau + y\cos\tau \\ z' = z \\ t'=t \end{cases})]
에 따라 회전시켰을 때 그 메트릭 텐서장은 조화 조건을 만족시킬 수 없다는 것을 발견했고, 존 노턴(John D. Norton)은 이것을 당시 아인슈타인이 리만 텐서를 포기한 결정적 이유로 해석하였다. 이후, 1915년 11월 4일 논문에서 아인슈타인은 이 문제를 더 이상 혼동하지 않았다. 조화 조건을 이용해 뉴턴 중력을 근사적으로 유도한 직후, 평행이동 및 회전이동된 좌표계가 자신의 좌표조건(Unimodular transformation)을 만족시킨다면서 조화 조건을 임의적으로 적용하게 된 것이다.
3.3. 에너지 보존 법칙
기존의 물질 텐서 [math(T^{\mu\nu})]는 에너지 보존법칙[math(\displaystyle \frac{\partial \mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} = \frac{1}{2}g^{\tau\mu}\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\mathfrak{T}^{\nu}_{\tau})]
을 따르는데, 특수 상대론에서는 우변은 그냥 0이었다. 이는 사실 중력에 의해 물질 에너지가 어떻게 변화하는지를 나타낸다. 따라서, 중력 에너지 텐서, 정확히 말하면 유사 텐서(pseudotensor) [math(\mathfrak{t^{\nu}_{\sigma}})]를 정의하여
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}) = 0)]
라 둘 수 있다고 생각할 수 있다. 그러면 이 식은 물질 에너지와 중력 에너지의 총합이 보존된다는 의미를 얻게 된다. 아인슈타인 이후 여러 물리학자들이 초기에 이 개념을 사용하였다. 하지만 일반적으로 텐서가 아닌 양은 물리적으로 의미가 있는 양이 아니라는 비판 또한 가능하다. 이 문제를 해결하려는 많은 물리학자들의 노력이 있었으나, 국소적으로 완전한 중력 텐서를 만드는 것은 불가능했다. 결국 이 개념은 현재 사용되지 않는다.
그런데, 처음의 중력장 정의를 사용하면 유사 텐서를 중력장에 대한 표현으로 나타내기 번거롭다. 아인슈타인은 이 또한 실패하고 결국 아인슈타인이 의도한 물리적 전략을 이끌어내는 데 모두 실패하고 만다.
3.4. 중력장 방정식
아인슈타인은 일반 공변을 만족시키는 중력장 방정식을 얻기 위해 리치 텐서를 둘로 분해하는 등의(1915.11.04. 논문 참고) 여러 노력을 했으나 모두 실패하였으며, 결국 중력장 방정식의 일반 공변성을 포기하고 좌표 공변의 범위를 줄여서, 중력장 방정식이 선형 변환에 대한 불변성만을 만족시킨다고 가정하고[1] 선형 변환에 대해 불변하는 라그랑지언을 만들어 변분법에 따라 중력장 방정식을 유도하였다. 물론 선형변환만으로는 일반 상대성 원리를 만족시킬 수 없으나 아인슈타인은 이로부터 만들어진 방정식이 어디까지 공변성을 가지는지 거꾸로 확인할 수 있으리라 생각했다.먼저, 라그랑지언은 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle H = \frac{1}{4}g^{\alpha\beta}\frac{\partial g_{\tau\sigma}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial g^{\tau\sigma}}{\partial x^{\beta}})]
여기에 변분법 [math(\displaystyle \delta \int H\sqrt{-g}\,\text{d}^4x = 0)]을 취하면 다음 중력장 방정식을 얻게 된다.
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}(\sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\Gamma^{\nu}_{\sigma\beta}) = -k(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}))]
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}) = 0)]
[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}) = 0)]
이 때, [math(\mathfrak{T^{\nu}_{\sigma}})]는 물질 에너지 텐서(즉 스트레스-에너지 텐서)이며, [math(\mathfrak{t^{\nu}_{\sigma}})]는 중력 에너지 텐서이다. 또한, [math(\Gamma^{\nu}_{\sigma\beta})]는 크리스토펠 기호가 아니라 Entwurf 이론의 중력장이다.
여기에서, Entwurf 이론의 중력 에너지 유사 텐서는 다음과 같이 정의된다.
[math(\begin{aligned} \displaystyle \mathcal{t}^{\nu}_{\sigma} &= -\frac{\sqrt{-g}}{4k}\left(g^{\nu\tau}\frac{\partial g_{\mu\mu'}}{\partial x^{\sigma}}\frac{\partial g^{\mu\mu'}}{\partial x^{\tau}} - \frac{1}{2}\delta^{\nu}_{\sigma}g^{\sigma\tau}\frac{\partial g_{\mu\mu'}}{\partial x^{\sigma}}\frac{\partial g^{\mu\mu'}}{\partial x^{\tau}}\right) \\ &= \frac{\sqrt{-g}}{k}\left(g^{\nu\tau}\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma}\Gamma^{\mu}_{\sigma\tau} - \frac{1}{2}\delta^{\nu}_{\sigma}g^{\tau\tau'}\Gamma^{\rho}_{\mu\tau}\Gamma^{\mu}_{\rho\tau'}\right) \end{aligned})]
3.5. 구멍 논변
아인슈타인은 Entwurf 이론이 발표된 후 중력장 방정식에 일반 공변성을 부여하는 것을 실패한 이유를 고민하다가 1914년 초 구멍 논변(Hole Argument)이란 것을 고안해내게 된다. 구멍 논변은 Entwurf 이론의 상징과도 같은 존재로, 초기 중력 이론을 연구하던 많은 물리학자, 수학자가 낚였던 부분이기도 하다. 구멍 논변은 기본적으로 방정식이 주어진 물질 분포에 대하여 유일한 해를 내놓아야 한다는 소위 인과율적 논의로부터 비롯되었다. 그 내용은 다음과 같이 아인슈타인의 논문으로부터 인용한다.연속체의 유한한 부분 [math(\Sigma)]를 잡아 이 안에서는 물질적 과정이 일어나지 않는다고 하자. [math(\Sigma)] 안에서의 물리적 과정은 기술에 사용되는 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(g_{\mu\nu})]가 좌표 [math(x_{\nu})]에 대한 함수로 주어졌을 때 완전히 결정된다. 이들 함수의 총체를 [math(G(x))]라 하자.
새로운 좌표계 [math(K')]을 도입하여, [math(\Sigma)] 밖에서는 [math(K)]와 일치하고, [math(\Sigma)] 내부에서는 [math(K)]와 달라지도록 하자. 이 때 [math(K')]에 대한 [math(g_{\mu\nu}\,')]는 [math(g_{\mu\nu})](와 그 도함수)와 마찬가지로 모든 곳에서 연속적이라고 가정한다. [math(g_{\mu\nu}\,')]의 총체를 [math(G'(x'))]이라 하자. [math(G'(x'))]와 [math(G(x))]는 동일한 중력장을 기술한다. 만약 [math(g_{\mu\nu}\,')]의 좌표 [math(x_{\nu}\,')]를 [math(x_{\nu})]로 대체하면, 즉 [math(G'(x))]를 형성하면 [math(G'(x))]는 마찬가지로 [math(K)]에 대한 중력장을 나타낸다. 하지만 이는 실제 중력장(즉, 원래 주어진 중력장)과 다르다.
만약, 중력장의 미분 방정식이 모든 곳에서 공변적이라고 가정하면 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(G(x))]을 만족시킬 때마다 [math(K')]에 대하여 [math(G'(x'))]을 만족시키게 된다. 따라서, [math(K)]에 대하여 [math(G'(x))] 또한 성립해야 한다. 이제, 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(G(x))]와 [math(G'(x))]라는 두 개의 서로 다른 해가 (정의역 [math(\Sigma)]의 경계에서 일치하더라도) 존재하게 된다. 달리 말해, 이 정의역에서 일어나는 사건들의 과정은 일반 공변적인 미분 방정식에 의해 유일하게 결정될 수 없다.
결과적으로, 중력장 내에서 벌어지는 사건들의 과정을 하나로 확정짓기 위해서는 좌표계의 범위를 한정하여 (위에서 특징지어진) 새로운 좌표 [math(K')]의 도입이 불가능하도록 해야 한다. 정의역 [math(\Sigma)] 내부의 좌표계는 임의적이도록 둘 수 없다.
아인슈타인(1914), 『일반 상대성 이론의 형식적 기초』, D. 중력장의 미분 법칙 §12. 좌표 선택 제한의 필요성에 대한 증명[2]
새로운 좌표계 [math(K')]을 도입하여, [math(\Sigma)] 밖에서는 [math(K)]와 일치하고, [math(\Sigma)] 내부에서는 [math(K)]와 달라지도록 하자. 이 때 [math(K')]에 대한 [math(g_{\mu\nu}\,')]는 [math(g_{\mu\nu})](와 그 도함수)와 마찬가지로 모든 곳에서 연속적이라고 가정한다. [math(g_{\mu\nu}\,')]의 총체를 [math(G'(x'))]이라 하자. [math(G'(x'))]와 [math(G(x))]는 동일한 중력장을 기술한다. 만약 [math(g_{\mu\nu}\,')]의 좌표 [math(x_{\nu}\,')]를 [math(x_{\nu})]로 대체하면, 즉 [math(G'(x))]를 형성하면 [math(G'(x))]는 마찬가지로 [math(K)]에 대한 중력장을 나타낸다. 하지만 이는 실제 중력장(즉, 원래 주어진 중력장)과 다르다.
만약, 중력장의 미분 방정식이 모든 곳에서 공변적이라고 가정하면 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(G(x))]을 만족시킬 때마다 [math(K')]에 대하여 [math(G'(x'))]을 만족시키게 된다. 따라서, [math(K)]에 대하여 [math(G'(x))] 또한 성립해야 한다. 이제, 좌표계 [math(K)]에 대하여 [math(G(x))]와 [math(G'(x))]라는 두 개의 서로 다른 해가 (정의역 [math(\Sigma)]의 경계에서 일치하더라도) 존재하게 된다. 달리 말해, 이 정의역에서 일어나는 사건들의 과정은 일반 공변적인 미분 방정식에 의해 유일하게 결정될 수 없다.
결과적으로, 중력장 내에서 벌어지는 사건들의 과정을 하나로 확정짓기 위해서는 좌표계의 범위를 한정하여 (위에서 특징지어진) 새로운 좌표 [math(K')]의 도입이 불가능하도록 해야 한다. 정의역 [math(\Sigma)] 내부의 좌표계는 임의적이도록 둘 수 없다.
아인슈타인(1914), 『일반 상대성 이론의 형식적 기초』, D. 중력장의 미분 법칙 §12. 좌표 선택 제한의 필요성에 대한 증명[2]
구멍 논변은 Entwurf 이론의 기술적 미숙함을 상징적으로 보여주는 개념이지만 사실 아인슈타인이 일반 공변성을 제한한 건 구멍 논변 이전이고, 나중에 일반 공변성을 회복한 것 또한 구멍 논변을 공식적으로 포기하기 전이었다. 훗날 구멍 논변을 탈출하기 위해서, 아인슈타인은 자신이 제기했던 문제를 메워줄 다른 방법을 찾아야 했다. 그 과정에서 나온 것이 점 일치 논변(Point-coincidence Argument)인데, 이는 Entwurf 이론의 구멍논변처럼 이론 전체에 영향을 가하는 문제는 아니기 때문에 구멍 논변처럼 역사가들의 주목을 끌지는 않았다. 그러나 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 완성하는 과정에서 가장 장애가 되었던 구멍 논변을 스스로 탈출한 과정을 살펴보는 데에는 중요하다.
이 논변의 핵심은, 시공간 좌표의 값 자체는 물리적인 의미를 일체 담고 있지 않고 있다는 생각으로부터 나온다. 물리세계에서 벌어지는 모든 의미있는 사건은, 어떤 "두" 사건이 시공간 위의 한 점에서 일치하게 되는 상황으로 일반화할 수 있다. (무언가를 인식하기 위해서는 입자, 빛 등으로부터 정보를 받아야 하므로) 이는 한 좌표에서 [math((x^0, x^1, x^2, x^3))]이라는 4개의 실수로 표현될 수 있다. 좌표 변환을 하는 경우, 이는 [math(\bar x^0, \bar x^1, \bar x^2, \bar x^3)]으로 숫자의 표현이 달라지지만, 두 사건의 좌표는 (같은 곳에 있었으므로) 똑같이 좌표 변환을 겪게 되며, 새로운 좌표에서도 두 사건의 좌표는 일치하게 된다.
3.6. 에너지 보존법칙과 좌표 제한
Entwurf 이론에서 중력장을 [math(g_{\mu\nu})]로 표현하는 것 못지 않게 중요했던 요소는 상술한대로 좌표의 제한이었는데, 아인슈타인은 좌표 공변성을 선형 변환으로 제한함으로써 우선적으로 다음 중력장 방정식을 만들어냈다.[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}(\sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\Gamma^{\nu}_{\sigma\beta}) = -k(\mathfrak{T}^{\nu}_{\sigma} + \mathfrak{t}^{\nu}_{\sigma}))]
다음으로는 방정식이 어떤 항등식을 만족시키느냐를 살펴봄으로써, 좌표계가 어떻게 제한되어야 하는지를 확인할 수 있다. 바로 보이는 것은 우변의 에너지 보존법칙을 이용하는 것이다. 따라서 이 식의 양변을 [math(x^{\nu})]에 대하여 편미분한 후 축약을 가하면, 다음 방정식을 얻게 된다.
[math(\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^{\nu}\partial x^{\alpha}}(\sqrt{-g}g^{\alpha\beta}\Gamma^{\nu}_{\sigma\beta}) = 0)]
이 식은 오로지 (좌표에 대해 정의된) [math(g_{\mu\nu})]와 그 미분으로만 이루어진 식이다. 따라서 아인슈타인은 이 방정식이 바로 중력장 방정식에서 좌표 선택에 가해지는 좌표 제한이라고 설명했다. 이 구조는 1915년 11월 중력장 방정식을 리만 텐서를 기반으로 뜯어고쳤을 때도 유지되었다. 최종적인 일반 상대성 이론과 비교하자면, Entwurf 이론의 방정식과 11월 4일 제시된 방정식([math(R_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})])은 방정식이 먼저 결정된 후 에너지 보존법칙이 좌표 선택을 제한하는 데에 쓰인다면 일반 상대성 이론에서는 거꾸로 에너지 보존법칙이 중력장 방정식을 결정하는 데 쓰인다는 것이다.
4. 전개
Entwurf 이론의 중력장 방정식이 완성된 후, 아인슈타인은 친구 미헬레 베소(Michele Besso)의 도움을 받아 일부 중요한 계산을 진행하였다. 그 중 가장 주목할 만한 것은 수성의 근일점 이동에 관한 것이다. 이후 논문에서 Entwurf 이론에 대한 계산값이 간접적으로 알려졌는데, 그 양은 약 백년 당 [math(18)]로, 당시 측정값이었던 [math(45)]와 맞지 않는 양이었다. 하지만 아인슈타인은 이것 자체에 크게 흔들리지는 않았다. 근일점 이동량은 매우 작은 것이었으며, 당시 경쟁이론이었던 노르드스트룀, 아브라함의 이론 역시 이것을 충분히 설명하지 못하는 것은 마찬가지였다.한편, Entwurf 이론은 일반 상대성 이론보다 수학적으로 매우 복잡하다. 선형 변환에 제한된 공변성을 만들기 위해 그는 매우 복잡한 논의와 수식을 할애해야 했다. 아인슈타인은 이 부분을 완성하기 위해 엄청난 공을 들였으나, 사실 그 토대는 굉장히 취약하였고 결국 수학자들의 비판을 피하지 못했다. 레비치비타, 힐베르트가 그 중 가장 주목되는 인물이다. 아인슈타인은 이들의 공격을 방어하려 애썼으나, 다양한 이유로 그 역시 이론에 대한 확신에 금이 가기 시작했고, 결국 1915년 10월에 이르러 중력장 방정식을 완전히 포기한다. 그가 중력장 방정식을 포기한 이유를 종합하자면 다음과 같다.
- 아인슈타인이 제시한 중력장을 유도하는 해밀토니언을 특정하는 조건은, 본래 선형 변환에'만' 공변인 스칼라에만 적용되는 조건을 의도하였으나 특정 스칼라가 선형변환에 대해 불변임을 나타내는 항등식에 불과함이 밝혀졌다. 다시 말해, 일반 공변인 어떤 스칼라도 아인슈타인의 조건을 만족시키므로 라그랑지언을 특정하는 것이 불가능하다. 이는 근본적으로 Entwurf 이론의 중력장 방정식이 유도된 해밀토니언의 근거가 붕괴되면서 방정식 자체가 붕 떠버렸음을 의미한다.
- 선형변환에 대한 공변성 제한은 결과적으로 아인슈타인에게 있어서 매우 불만족스러운 것이었다. 그는 자신의 중력 이론이 일반 상대성 원리를 만족시켜야 한다고 생각했는데, 자신이 만든 중력장 방정식은 등속 원운동 좌표계를 허용하지 않았다. 아인슈타인이 미분 기하학을 도입하는 근거가 되어주었던 등속 원운동 좌표계(회전하는 원판)가 허용되지 않는다는 것은 앞뒤가 맞지 않았다.
- 수성의 근일점 이동을 충분히 설명하지 못한 것 또한, 결국 앞의 두 근거가 맞물려 아인슈타인이 중력장 방정식을 포기한 이유가 되어주었다.
2년의 노력이 거의 허사로 돌아간 아인슈타인에게는 상당히 절망스러운 상황이었으나, 사실 그에게는 퇴로가 있었다. 연구 초기에 중력장의 잘못된 정의로 포기한 일반 공변성, 그리고 중력장 방정식이 바로 그것이다. 1915년 11월 프로이센 과학 아카데미에서의 정기 커뮤니케이션에서 아인슈타인은 그 때의 중력 이론을 다듬어 세상에 공개하게 되는데, 이것이 바로 일반 상대성 이론이다.
[1] 민코프스키가 처음 텐서를 도입할 때 좌표변환을 로렌츠변환에 국한시켜서 텐서의 표현을 한정했던 것과 비슷하다.[2] A. Einstein (1914), 『Die formale Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie』, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften (Berlin), Seite 1030-1085.