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1. 개요
모든 집합을 대상(object)으로 가지고 집합 간 모든 함수들을 사상(morphism)으로 가지는 범주.2. 정의
주어진 집합론 내에서 reify하는 방식을 먼저 살펴보자. 이 때 필요한 모든 집합을 담을 적절한 universe [math(\mathcal U)]를 먼저 잡아야 한다. 가령 Grothendieck universe나 NBG에서 von Neumann universe 등을 생각하면 된다. 여기서의 universe는 상황에 따라 집합이 아니어도 일단은 상관없으나 적어도 해당 theory 내 대상으로 잡을 수는 있어야 한다. 이를 기반으로 범주 [math(\mathcal U \text- \mathbf{Set})]을 다음과 같이 정의하자.- 대상 모임(object class): [math(\mathcal U)]
- 사상 모임(morphism class): 모든 [math(\mathcal U)]의 원소 간 함수들의 class
- 정의역과 공역 할당 모임 함수: 함수의 정의역과 공역 할당 함수
- 사상의 합성(composition) 할당 모임 부분함수: 함수의 합성 할당 부분함수
만약 별도의 universe 및 그 존재성을 생각하지 않을 것이라면 각 구성이 적절한 formula로 대응되도록 정의를 아래와 같이 바꾸어도 된다. 위와 달리 모든 object의 class 등을 떠올리지 않음에 주의.
일종의 metacategory interpretation을 떠올려도 좋다. 이 경우 순수 ZFC 공리계 등에서도 모든 집합들의 범주를 해석할 수 있다는 장점이 있으나, [math(\mathbf{Set})]을 정의역 삼는 함자를 quantify하는 등 조금만 벗어나도 고질적인 size issue가 쉽사리 터지는 불편함은 있다.
그리고 첫 번째 방식에서 [math(V)]를 사용해도 [math(\mathbf{Set})] 위의 준층(presheaf) 범주 같은 걸 다루기 귀찮기 때문에 Grothendieck universe 등 집합인 universe를 다루는 게 훨씬 편리하다. 때문에 이후 문단에서는 편의상 implicit한 Grothendieck universe [math(\mathcal U)]를 하나 가정하고 첫 번째 방식을 따른다.
보통 universe가 implicit하거나 후자에 해당하는 경우 흔히 [math(\mathbf{Set})]으로 표기한다.
2.1. 공리화
별도의 집합론에 의존하지 않고 처음부터 '모든 집합과 함수들의 범주'(또는 거의 유사한 topos)를 별개의 first order theory를 통해 structural하게 공리화하고 그 안의 대상(object)들을 집합이라 부르는 것도 가능하다. 대표적으로 윌리엄 로비어(William Lawvere)가 제안한 ETCS 등이 있다. 단, ETCS는 흔히 아는 ZFC 공리계 등보다는 다소 약한 theory이다.#!if (문단 == null) == (앵커 == null)
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{{{#!if 문서명 = 문서명 != null ? 문서명 : calleeTitle
의 [[ETCS#|]] 부분을}}}3. 특징
모순이 없는 공리계라면 모든 집합의 집합이 존재할 수 없으니 large category임을 알 수 있는 가장 단순한 예시이다. 대신 locally small한데, 함수는 결국 이항 관계이니 두 집합 사이 함수들을 모은 Hom-class는 두 집합의 이항 곱집합의 멱집합의 부분집합이 되고, 따라서 집합임을 알 수 있다. 익숙한 집합론의 기호로는 [math(\mathrm{Hom}(A, B) = B^A)]와 같이 나타낼 수 있다.
isomorphism은 두 집합 사이의 전단사이다. 특히 흔히 알려진 통수(...) 중 하나로 isomorphism이 아닌 bimorphism이 존재하지 않는다! 오히려 이 사고방식에 너무 익숙해지면 나중에 bimorphism을 별개로 생각할 때 헷갈린다.
집합 [math(S)]의 자기 동형 사상군 [math(\mathrm{Aut}(S))]는 대칭군이 된다.
별 말이 없으면 presheaf는 기본적으로 [math(\mathbf{Set})]로 가는 contravariant functor를 의미한다.
4. 극한
곱(product)은 곱집합(product set), 쌍대곱(coproduct)은 분리 합집합(disjoint union)이 된다. 또 모든 집합 [math(X)]에 대해 함자 [math(- \times A)]가 right-adjoint를 가지므로 Cartesian closed임도 알 수 있다.
5. FinSet
대상을 유한집합으로 줄인 범주로, 자명히 [math(\mathbf{Set})]의 full subcategory임을 알 수 있다.
얘도 small category는 아니지만 skeleton이 집합이라는 쓸모있는 성질을 가지고 있다. [math(\mathbf{Set})]에서의 isomorphism이 전단사이므로 이로 quotient한 동형류는 자연히 같은 기수의 집합끼리 모이게 되며, 여기서 대표원을 뽑았을 때 적당히 이를 자연수 [math(\N)]으로 대응시키면 집합임을 알 수 있다. 이를 좀더 재미있게 말하면 자연수 집합 [math(\N)]의 categorification이 [math(\mathbf{FinSet})]이라고 해도 되는데, 앞서 보인 quotient를 decategorification으로 보면 된다.
6. 구체적 범주
concrete category상당수의 수학적 대상이 집합 [math(S)]에 뭔가를 끼얹은 [math((S, \chi))] 형태임을 생각하면 Set의 중요성을 더 실감할 수 있는데, 아예 범주 [math(C)]에서 [math(U : C \to \mathbf{Set})] 꼴로 가는 faithful functor가 존재한다면 이런 범주를 구체적 범주(concrete category)라고 한다.
많은 경우 이런 함자가 흔히 생각하는 forgetful functor가 되긴 하나, 항상 그렇지는 않다.