1. 개요
完備範疇 / Complete Category완비 범주는 범주론에서 모든 작은 다이어그램에 대한 극한이 존재하는 범주를 말한다. 완비 범주는 수학적 구조의 일반적 성질을 연구하는 데 필수적인 도구이며, 위상수학, 대수학, 논리학 등 다양한 분야에서 응용된다.
2. 완비 범주의 정의 및 성질
- 완비 범주의 정의
범주 [math(C)]가 완비 범주라는 것은 [math(C)]의 모든 작은 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대해 극한 [math(\text{lim } F)]이 존재함을 의미한다. 즉, 임의의 작은 범주 [math(J)]와 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대해 다음 조건을 만족하는 대상 [math(L)]이 존재한다:
[math(L)]은 다음의 보편 성질을 만족하는 대상이다:
[math(\forall X \in C, \exists! h : X \to L, \text{such that } h \circ \phi_j = \phi'_j, \forall j \in J)]
- 극한의 보편 성질
극한은 다음과 같은 보편 성질로 정의된다:
임의의 대상 [math(C)]에서 다이어그램 [math(F)]로의 사상 [math(h)]이 존재하면, 유일한 사상 [math(u)]이 존재하여 이를 표현할 수 있다:
[math(h = u \circ \pi)]
- 끝과 시작의 존재
완비 범주에서는 모든 다이어그램에 대해 끝 (terminal object)과 시작 (initial object)이 존재한다.
3. 예시: 완비 범주
- 집합의 범주
집합의 범주 [math(Set)]는 완비 범주이다. 모든 작은 다이어그램에 대해 극한이 존재하며, 이는 곱집합, 당김, 끝 등이 포함된다. 예를 들어, 두 집합 [math(A, B)]의 곱은 다음과 같이 표현된다:
[math(A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\})]
- 위상 공간의 범주
위상 공간의 범주 [math(Top)]도 완비 범주이다. 모든 작은 다이어그램에 대해 극한이 존재하며, 위상적 곱과 당김 등이 포함된다.
4. 공완비 범주
共完備範疇/Cocomplete Category공완비 범주는 범주론에서 모든 작은 다이어그램에 대한 쌍대극한 (Colimit)이 존재하는 범주를 말한다. 공완비 범주는 범주 내에서 정보를 "확장"하는 도구로, 다양한 수학적 구조를 분석하고 응용하는 데 중요한 역할을 한다.
4.1. 정의
공완비 범주란, 범주 [math(C)]가 다음 성질을 만족할 때 공완비라고 한다:- [math(C)]의 모든 작은 다이어그램 [math(F : J \to C)]에 대해 쌍대극한 [math(\text{colim } F)]이 존재한다.
- 쌍대극한은 보편 성질을 만족한다.
보편 성질: 임의의 대상 [math(X \in C)]와 사상 [math(\psi_j : F(j) \to X)]이 주어졌을 때, 유일한 사상 [math(h : L \to X)]이 존재하여 [math(\psi_j = h \circ \phi_j)]를 만족한다.
4.2. 쌍대극한의 성질
- 보편적 특성
- 대칭성
쌍대극한은 주어진 다이어그램의 모든 정보를 하나의 대상 [math(L)]로 "확장"하는 방식으로 정의된다. 이때, [math(L)]은 보편성을 만족하여 다른 모든 대상을 유일하게 참조할 수 있다.
쌍대극한은 극한의 대칭적 개념으로, 범주론에서의 대칭성과 이중성을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.
4.3. 주요 예시
- 쌍대곱 (Coproduct)
두 대상 [math(A, B)]의 쌍대곱 [math(A \amalg B)]은 다음 보편 성질을 만족한다:
임의의 대상 [math(X)]와 사상 [math(f : A \to X, g : B \to X)]이 주어졌을 때, 유일한 사상 [math(h : A \amalg B \to X)]이 존재하여 [math(h \circ \iota_A = f, \ h \circ \iota_B = g)]를 만족한다.
- 푸시아웃 (Pushout)
사상 [math(f : A \to B)]와 [math(g : A \to C)]가 주어졌을 때, 푸시아웃 [math(P)]은 다음 다이어그램의 쌍대극한이다:
[math(\begin{array}{ccc}
A & \xrightarrow{f} & B \\
\downarrow{g} & & \downarrow \\
C & \to & P
\end{array})]
A & \xrightarrow{f} & B \\
\downarrow{g} & & \downarrow \\
C & \to & P
\end{array})]
- 시작 (Initial Object)
범주 [math(C)]에서의 시작은 다이어그램이 없는 경우의 쌍대극한으로 간주된다. 이는 모든 대상 [math(X \in C)]에 대해 유일한 사상 [math(0 \to X)]이 존재하는 대상을 의미한다.
4.4. 공완비 범주의 예
- 집합의 범주
집합의 범주 [math(Set)]는 공완비 범주이다. 모든 작은 다이어그램에 대해 쌍대극한이 존재하며, 이는 쌍대곱, 푸시아웃, 시작 등이 포함된다.
- 위상 공간의 범주
위상 공간의 범주 [math(Top)]는 공완비 범주이다. 예를 들어, 두 위상 공간의 쌍대곱은 위상적 쌍대합으로 정의된다.
4.5. 응용
- 대수학
대수학에서 공완비 범주는 자유 대수 구조를 정의하거나, 대수적 구조 간의 관계를 분석하는 데 사용된다.
- 위상수학
위상수학에서는 공완비 범주가 위상 공간 간의 관계를 연구하거나, 새로운 위상 공간을 구성하는 데 활용된다.
4.6. 공완비 범주의 역사
공완비 범주의 개념은 에일린버그와 맥레인이 범주론을 체계화하는 과정에서 도입되었다. 이후 공완비 범주는 대수학과 위상수학의 다양한 응용에서 핵심적인 역할을 하며 발전해왔다.5. 응용
- 완비 범주의 응용
- 공완비 범주의 응용
공완비 범주는 범주론에서 다이어그램 확장을 연구하거나, 데이터의 확장적 성질을 설명하는 데 활용된다. 예를 들어, 호몰로지 이론에서의 기본 구조 연구에 활용된다.