1. 개요
product곱은 범주론에서 두 개 이상의 대상을 "보편적으로 결합"하는 구조로 정의된다. 이는 쌍대 개념인 쌍대합과 대칭적 관계를 가지며, 주어진 대상을 포함하면서도 특정 보편 성질을 만족하는 최대의 대상이다. 곱은 극한의 특별한 경우로 간주된다.
2. 정의
2.1. 곱의 수학적 정의
범주 [math(C)]에서, 두 대상 [math(A)]와 [math(B)]의 곱 [math(A \times B)]는 다음 데이터를 포함한다:- 대상 [math(A \times B)]
- 사상 [math(\pi_A : A \times B \to A)]와 [math(\pi_B : A \times B \to B)]
이 데이터는 다음 보편 성질을 만족해야 한다:
임의의 대상 [math(X)]와 사상 [math(f : X \to A)], [math(g : X \to B)]가 주어졌을 때, 유일한 사상 [math(h : X \to A \times B)]이 존재하여 다음을 만족한다:
[math(\pi_A \circ h = f \quad \text{및} \quad \pi_B \circ h = g)]
[math(\pi_A \circ h = f \quad \text{및} \quad \pi_B \circ h = g)]
2.2. 기호적 표현
곱은 일반적으로 [math(A \times B)] 또는 [math(\prod_{i=1}^n A_i)]로 표기된다. 각 사상 [math(\pi_A)]와 [math(\pi_B)]는 투영 사상 (projection morphism)이라고 불린다.3. 성질
3.1. 보편 성질
곱은 보편 성질을 만족하여, 주어진 두 대상을 결합하는 가장 일반적인 구조를 제공한다. 이는 다음과 같이 요약된다:[math(h : X \to A \times B)]는 [math(f)]와 [math(g)]의 모든 조합을 유일하게 설명한다.
3.2. 대칭성
곱은 쌍대합의 대칭적 개념으로, 범주론에서 대칭성과 이중성을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.3.3. 극한과의 관계
곱은 극한의 특별한 경우로, 작은 다이어그램의 극한으로 나타날 수 있다.3.4. 연산적 특성
- 곱은 결합 법칙을 만족한다: [math((A \times B) \times C \cong A \times (B \times C))]
- 교환 법칙: [math(A \times B \cong B \times A)]
4. 예시
4.1. 집합의 범주 [math(Set)]
집합 [math(A)]와 [math(B)]의 곱은 이들의 데카르트 곱 (Cartesian Product)으로 정의된다:[math(A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\})]
이 경우 투영 사상은 다음과 같이 정의된다:
[math(\pi_A(a, b) = a \quad \text{및} \quad \pi_B(a, b) = b)]
4.2. 위상 공간의 범주 [math(Top)]
위상 공간 [math(X)]와 [math(Y)]의 곱은 데카르트 곱 위에 곱위상을 부여한 구조이다. 이는 두 공간의 위상적 특성을 결합한다. 곱위상은 다음과 같이 정의된다:[math(\mathcal{T} = \{ U \times V \mid U \in \mathcal{T}_X, V \in \mathcal{T}_Y \})]
4.3. 군의 범주 [math(Grp)]
군 [math(G)]와 [math(H)]의 곱은 곱군 (product group)으로 정의된다. 이는 다음과 같이 표현된다:[math(G \times H = \{(g, h) \mid g \in G, h \in H\})]
연산은 성분별로 정의된다:
[math((g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)]
4.4. 모노이드 범주 [math(Mon)]
모노이드의 범주에서 곱은 성분별 곱으로 정의된다. 이는 모노이드 구조를 보존하며, 단위원은 다음과 같이 정의된다:[math(e = (e_G, e_H))]
5. 응용
5.1. 데이터 결합
곱은 범주론적 데이터 결합의 기초를 제공하며, 다양한 데이터 구조를 유연하게 표현하는 데 사용된다. 예를 들어, 두 데이터셋의 결합은 곱의 개념을 따른다.5.2. 대수학
대수학에서 곱은 곱군, 곱환 등의 구조를 정의하거나, 대수적 구조 간의 관계를 분석하는 데 활용된다.5.3. 위상수학
위상수학에서는 곱을 통해 새로운 위상 공간을 구성하거나 기존 공간의 관계를 연구한다. 예를 들어, 콤팩트 공간의 곱은 다시 콤팩트 공간이 되는 성질을 가진다.5.4. 논리학과 컴퓨터 과학
곱은 논리학에서 명제 간의 결합을 나타내거나, 컴퓨터 과학에서 자료 구조를 결합하는 데 활용된다. 예를 들어, 튜플 구조는 곱의 개념을 따른다.6. 확장된 개념
- 곱의 계수
곱의 계수는 대상 간의 사상 수를 계산하는 데 사용된다. 이는 범주론적 정리를 증명하는 데 중요한 역할을 한다.