| 정수론 Number Theory | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | 공리 | ||
| 페아노 공리계 · 정렬 원리 · 수학적 귀납법 · 아르키메데스 성질 | |||
| 산술 | |||
| 나눗셈 | 약수·배수 | 배수 · 약수(소인수) · 소인수분해(목록 · 알고리즘) · 공배수 · 공약수 · 최소공배수 · 최대공약수 | |
| 약수들의 합에 따른 수의 분류 | 완전수 · 부족수 · 과잉수 · 친화수 · 사교수 · 혼약수 · 반완전수 · 불가촉 수 · 괴짜수 | ||
| 정리 | 베주 항등식 · 산술의 기본정리 · 나눗셈 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 호제법 · 서로소 | ||
| 디오판토스 방정식 | 페르마의 마지막 정리 · 피타고라스 세 쌍 · 버치-스위너턴다이어 추측(미해결) | ||
| 모듈러 연산 | |||
| 잉여역수 · 2차 잉여 · 기약잉여계 · 완전잉여계 · 중국인의 나머지 정리 · 합동식 · 페르마의 소정리 · 오일러 정리 · 윌슨의 정리 | |||
| 소수론 | |||
| 수의 분류 | 소수 · 합성수 · 메르센 소수 · 쌍둥이 소수(사촌 소수 · 섹시 소수) · 페르마 소수 · 레퓨닛 수 | ||
| 분야 | 대수적 정수론(국소체) · 해석적 정수론 | ||
| 산술함수 | 뫼비우스 함수 · 소수 계량 함수 · 소인수 계량 함수 · 약수 함수 · 오일러 파이 함수 · 폰 망골트 함수 · 체비쇼프 함수 · 소수생성다항식 | ||
| 정리 | 그린 타오 정리 · 페르마의 두 제곱수 정리 · 디리클레 정리 · 소피 제르맹의 정리 · 리만 가설(미해결) · 골드바흐 추측(미해결)(천의 정리) · 폴리냑 추측(미해결) · 소수 정리 | ||
| 기타 | 에라토스테네스의 체 · 윌런스의 공식 | ||
1. 개요
twin prime쌍둥이 소수란, p 와 p+2 가 둘 다 소수인 소수쌍을 의미한다.[1] (3, 5), (5, 7), (11, 13) 등의 소수쌍을 쌍둥이 소수라고 부른다. 그리고 2와 3의 소수쌍 (2, 3)은 차이가 1이며, 2가 들어있을 경우에는 예외적으로 홀수 만큼 차이가 나므로 쌍둥이 소수라고 하지 않는다.
2. 쌍둥이 소수 추측
쌍둥이 소수 추측(twin prime conjecture)은 이런 쌍둥이 소수가 '무한히 많을 것이다' 라는 추측이다. 힐베르트의 23가지 문제에도 나오는 문제이며, 21세기 현재 증명도 반증도 안 되었다. 폴리냑 추측의 특수한 경우이다.2.1. 주요 연구 결과
- 브룬의 정리
브룬은 쌍둥이 소수의 역수의 합은 '수렴한다'는 브룬의 정리를 발표했다. 그 수렴 값은 브룬 상수라고 부른다. 만약 쌍둥이 소수의 역수의 합이 발산하면, 쌍둥이 소수 추측도 참이라는 것이 증명될 수 있었다. 그러나 이 값이 수렴하므로 이 수렴값이 유리수인지 무리수인지를 판별할 필요성이 생겼다. 수렴값이 무리수라면 쌍둥이 소수 추측이 참이지만, 유리수라면 아무 결론도 도출하지 못한다.
- 장이탕(张益唐, 1955~)의 연구 결과
2013년, 중국의 수학자 장이탕은 두 소수의 간격이 [math(N)] 미만인 소수쌍이 무한히 많다는 것을 증명하였다. 장이탕은 [math(N)]이 7천만일 때 성립함을 보였다. 다른 수학자들의 공동 연구로 [math(N)]의 값은 계속 줄어들어 [math(N=246)]일 때 성립함이 증명되었다.[2] 만약 [math(N)]을 [math(4)]까지 줄일 수 있다면 쌍둥이 소수 추측이 증명되는 것이다.
- 하디-리틀우드 추측
소수 계량 함수와 유사하게, x 보다 작은 쌍둥이 소수의 개수를 [math(\pi_2\left(x\right))] 라고 할 때 [math(\displaystyle \pi_2\left(x\right) \approx \rm C \left({x \over {(\ln x)^2}} \right) )] 라고 추측하였다. 그리고, 이 상수 [math(\rm C)]는 다른 수학자들에 의해 0.6601618158...이란 값을 가진다고 계산되었으며 '하디-리틀우드 상수'라는 이름을 가지게 되었다. 하디-리틀우드 추측이 참이 되면, 당연히 쌍둥이 소수 추측도 참이 된다.
- 천징룬의 연구 결과
1973년 천징룬은 p가 소수일 때 소수 또는 준소수[3]인 p+2가 무한히 많다는 것을 증명했다. 이를 천의 두 번째 정리라고도 한다.
3. 1100 미만의 쌍둥이 소수
- 3, 5
- 5, 7
- 11, 13
- 17, 19
- 29, 31
- 41, 43
- 59, 61
- 71, 73
- 101, 103
- 107, 109
- 137, 139
- 149, 151
- 179, 181
- 191, 193
- 197, 199
- 227, 229
- 239, 241
- 269, 271
- 281, 283
- 311, 313
- 347, 349
- 419, 421
- 431, 433
- 461, 463
- 521, 523
- 569, 571
- 599, 601
- 617, 619
- 641, 643
- 821, 823
- 827, 829
- 857, 859
- 881, 883
- 1019, 1021
- 1031, 1033
- 1049, 1051
- 1061, 1063
- 1091, 1093
4. 관련 문서
- 사촌 소수(Cousin Prime)
- 섹시 소수(Sexy Prime)
- 세 쌍둥이 소수(Prime Triplet) : (p, p+2, p+6) 또는 (p, p+4, p+6) 소수 인 경우.
- (p, p+2, p+4) 중 하나는 3의 배수이므로 무한하기는 커녕 그 개수가 1세트를 넘어설 수 없다. (3, 5, 7)은 특별한 예외로 취급한다.[4]
- 네 쌍둥이 소수(prime quadruplet) : (p, p+2, p+6, p+8) 가 모두 소수인 경우. (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) 등이 있다.[5]
- 소피 제르맹 소수 : (p, 2p+1) 이 소수인 경우
[1] 이런 '집합 원소'가 있는 집합을 집합족(family of sets)이라고 한다.[2] 여담이지만 이 사실을 찾아낸 사람 중에서만 필즈상이 2번 나왔다. 그 유명한 테렌스 타오(2006), 그리고 제임스 메이나드(2022). 둘은 독립적으로 연구했다고 한다.[3] semiprime, 두 소수의 곱으로 이루어진 수. '반소수' 또는 '거의 소수'라고 표현하기도 한다.[4] (p, p+2, p+4) 꼴의 소수로는 처음이자 마지막이다.[5] 참고로 처음의 (5, 7, 11, 13)을 제외하고는 모두 (30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19)의 꼴로 나타난다.