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1. 개요
Euler's triangle theorem1765년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)가 발견한 삼각형의 외심과 내심 혹은 외심과 방심 사이의 거리에 관한 공식이다.
한 삼각형의 외접원, 내접원, 방접원의 반지름을 각각 [math(R)], [math(r)], [math(r')]이라 하면, 다음이 성립한다.
- 외심과 내심 사이의 거리: [math(\sqrt{R^{2}-2Rr})]
- 외심과 방심 사이의 거리: [math(\sqrt{R^{2}+2Rr'})]
이 정리 자체가 직접적으로 쓰이는 경우는 생각보다 많지 않으나, 증명 과정의 다양한 이론들이 삼각형과 원이 나오는 기하 문제에서 제법 많이 다루어지는 것들이라 보통 한 번쯤 배우고 넘어간다.
2. 보조 정리: 멘션의 정리
그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]의 외심 [math(\rm O)], 내심 [math(\rm I)]이고, 직선 [math(\rm BI)]가 외접원과 만나는 점을 [math(\rm R)]라고 하자.
내심의 성질에 의하여 [math(\angle {\rm ABI}=\angle {\rm CBI}=x)], [math(\angle {\rm BAI}=\angle {\rm CAI}=y)], [math(\angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI}=z)]라 놓을 수 있다. [math(\angle{\rm CIR})]은 [math(\angle{\rm BIC})]의 외각이므로 [math(x+z)], [math(\angle{\rm ABR}=\angle{\rm ACR}=x)](호 [math(\rm AR)]에 대한 원주각) 따라서 삼각형 [math(\rm RIC)]에서 [math(\angle{\rm RIC}=\angle{\rm RCI}=x+z)] 즉, 삼각형 [math(\rm RIC)]은 [math(\overline{\rm IR}=\overline{\rm RC})]인 이등변삼각형이다. 동일한 방법으로 삼각형 [math(\rm RAI)]는 [math(\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR})]인 이등변삼각형임을 증명할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned})]
이 결과는 내심과 삼각형의 두 꼭짓점을 연결한 삼각형의 외심이 두 꼭짓점을 제외한 한 꼭짓점과 내심을 연결하는 직선이 외접원과 만나는 점에 있음을 알려준다.
2.1. 방심과의 관계
방심과 내심의 성질에 의하여 두 점은 [math(\angle \rm B)]의 이등분선 위에 있으므로 그림과 같이 위 과정에서 선분 [math(\rm BI)]를 연장하여 [math(\rm B)]에 대한 방심 [math(\rm O')]과 만나도록 하자. 위에서 다뤘던 맨션 정리에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned})]
이고, 내심과 방심의 성질에 의하여 [math(\angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI})], [math(\angle {\rm ACO'}=\angle {\rm HCO'})]이므로 [math(\angle {\rm ICO'}=90\degree)]이다. 따라서 삼각형 [math(\rm ICO')]은 직각삼각형이고, [math(\displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR} )]이므로 점 [math(\rm R)]는 해당 삼각형의 외심이며, 결과적으로 [math(\displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm O'R} )]이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}=\overline{\rm O'R} \end{aligned})]
3. 증명
3.1. 외심과 내심 사이의 거리
그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]의 외심과 내심을 각각 [math(\rm O)], [math(\rm I)]라 하고, 외접원과 내접원의 반지름은 각각 [math(R)], [math(r)], 직선 [math(\rm IO)]가 외접원과 만나는 두 점을 [math(\rm P)], [math(\rm Q)], 직선 [math(\rm BI)]가 외접원과 만나는 점을 [math(\rm R)], [math(\overline{\rm OI}=d)]라 하자. 방멱 정리에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}&=\overline{\rm PI} \cdot \overline{\rm IQ} \\&=(R+d)(R-d) \\&=R^{2}-d^{2} \end{aligned})]
한편, 맨션 정리에 의하여 [math(\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR})], 내심의 성질에 따라 [math(\angle{\rm IBC}=\angle{\rm ABI})], [math(\angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR})](호 [math(\rm AR)]에 대한 원주각)이다. 점 [math(\rm I)]에서 변 [math(\rm BC)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하면 [math(\angle{\rm RAS}=90\degree)](지름에 대한 원주각), [math(\angle{\rm IHB}=90\degree)], [math(\angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR})]이므로 [math(\triangle{\rm RSA} \sim \triangle{\rm IBH} )]([math(\rm AA)]닮음)이다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IH} : \overline{\rm BI} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}=\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \therefore R^{2}-d^{2}=2Rr \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2-2Rr} )]
결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math(\displaystyle \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r} )]
두 점 간의 거리는 음일 수 없으므로,
[math(\displaystyle d=\sqrt{R^2-2Rr}=\sqrt{R(R-2r)} )]
에 의하여 모든 삼각형에서 [math(R \geq 2r)]이다. 단, 등호는 정삼각형일 때에 성립한다. 정삼각형은 외심, 내심, 수심, 무게중심이 동일하기 때문이다.
이상의 결과에서 음수에 대한 방멱을 허용한다면, 외접원에 대한 내심의 방멱은 [math( -2Rr )]로 표현할 수 있다.
3.2. 외심과 방심 사이의 거리
그림과 같이 삼각형 [math(\rm ABC)]의 외심과 방심을 각각 [math(\rm O)], [math(\rm O')]이라 하고, 외접원과 방접원의 반지름은 각각 [math(R)], [math(r')], 직선 [math(\rm OO')]이 외접원과 만나는 두 점을 [math(\rm P)], [math(\rm Q)], 직선 [math(\rm BO')]이 외접원과 만나는 점을 [math(\rm R)], [math(\overline{\rm OO'}=d)]라 하자. 방멱 정리에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}&=\overline{\rm O'Q} \cdot \overline{\rm O'P} \\&=(d-R)(d+R) \\&=d^{2}-R^{2} \end{aligned})]
위에서 다뤘던 맨션 정리에 의하여 [math(\overline{\rm O'R}=\overline{\rm RC})], 점 [math(\rm O')]에서 변 [math(\rm BC)]의 연장선상에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하면 [math(\angle{\rm O'HB}=90\degree)], [math(\angle{\rm SRC}=90\degree)](지름에 대한 원주각), [math(\angle{\rm O'BC}=\angle{\rm RSC})](호 [math(\rm RC)]에 대한 원주각)이므로 [math(\triangle{\rm O'BH} \sim \triangle{\rm CSR} )]([math(\rm AA)]닮음)이다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'H} : \overline{\rm O'B} =\overline{\rm RC} : \overline{\rm SC} =\overline{\rm O'R} : \overline{\rm SC} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}=\overline{\rm O'H} \cdot \overline{\rm SC} \end{aligned})] |
[math(\displaystyle \therefore d^{2}-R^{2}=2Rr' \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2+2Rr'} )]
결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math(\displaystyle \frac{1}{d-R}-\frac{1}{d+R}=\frac{1}{r'} )]
이상의 결과에서 외접원에 대한 방심의 방멱은 [math( 2Rr' )]으로 표현할 수 있다.
4. 기타
- 2021년 3월 고3 전국연합학력평가 15번에, 맨션 정리와 관련된 문제가 출제되었다.
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