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1. 개요
Natural Units / 自然 單位系차원 분석을 바탕으로 우리 우주의 근간이 되는 상수들을 조합하여 얻어진 새로운 물리 상수 각각이 단 하나의 기본 차원을 갖는 단위 물리량이자 구체적인 값을 갖는 단위 상수가 되도록 조합한 단위계이다. 궁극적으로는 표적으로 삼은 상수들을 [math(1)]로 규격화하는 데에 있다. 플랑크 단위계가 가장 유명하며 이 외에도 스토니 단위계, 원자 단위계, 양자색역학 단위계 등이 있다. 어디까지나 식의 깔끔함을 위해 차원분석을 바탕으로 임의의 물리 상수를 골라 규격화하는 것이기 때문에 아래 서술한 단위계와는 전혀 다른 방식의 자연 단위계가 있을 수 있다.
2. 기본 골자
물리 상수 문서를 보면 알 수 있지만 국제단위계의 기본 단위들을 정의하기 위한 상수(SI 정의 상수)들은 여러 차원들이 얽혀있다. 이를테면 광속 [math(c)]의 차원은 [math(\dim c = \sf LT^{-1})]이고 플랑크 상수 [math(h)]는 [math(\dim h = \sf ML^2T^{-1})]이며 볼츠만 상수 [math(k_{\rm B})]는 [math(\dim k_{\rm B} = \sf ML^2T^{-2}\Theta^{-1})]이다. 수치는 둘째 치고 이렇게 차원 여러개가 얽혀있으면 차원에 기반한 물리량을 논하기가 복잡하고 수식을 다룰 때에도 여러모로 불편하기 때문에 이들을 [math(1)]로 삼는 단위계, 즉 규격화(normalization)를 할 수 있다면 여러모로 편리할 것이다.대표적인 자연 단위계 중 하나인 플랑크 단위계는 광속 [math(c)], 디랙 상수 [math(\hbar)], 만유인력 상수 [math(G)], 볼츠만 상수 [math(k_{\rm B})]를 바탕으로 규격화를 한다. 예를 들어 [math(\sqrt{\dfrac{\hbar c}G})]는 차원 분석을 해보면 [math(\dim\sqrt{\dfrac{\hbar c}G} = \sqrt{\dfrac{\sf M\cancel{L^2T^{-1}{\cdot}LT^{-1}}}{\sf M^{-1}\cancel{L^3T^{-2}}}} = \sf M)]이므로 이를 단위 질량 [math(m_{rm P})]로 놓을 수 있다. 같은 방식으로 [math(\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}})]은 [math(\dim\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = \sqrt{\dfrac{\sf \cancel ML^2\cancel{T^{-1}{\cdot}M^{-1}L^3T^{-2}}}{\sf\cancel{L^3T^{-3}}}} = \sf L)]이므로 이를 단위 길이 [math(l_{rm P})]라 놓을 수 있고, 이를 [math(c)]로 나눈 [math(\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}})]는 [math(\dim\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}} = \sf\dfrac{\cancel L}{\cancel LT^{-1}} = T)]인 단위 시간 [math(t_{rm P})]로 정의할 수 있다. 에너지 [math(E)]의 차원을 분석해보면 단위인 줄을 예시로 [math(\rm J = kg{\cdot}m^2s^{-2})]에서 [math(\dim E = \sf ML^2T^{-2})]이므로 단위 에너지를 [math(E_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}{l_{\rm P}}^2}{{t_{\rm P}}^2})]으로 정의하면 [math(\dfrac{l_{\rm P}}{t_{\rm P}} = c)]이므로 [math(E_{\rm P} = m_{\rm P}c^2)]이 되는데 이 식으로 질량-에너지 동등성의 식 [math(E=mc^2)]을 각 변끼리 나눠주면 [math(\dfrac E{E_{\rm P}} = \dfrac m{m_{\rm P}})]이 되고 좌우변의 식은 각각 무차원량이므로 규격화 표기를 이용해서 나타내면 최종적으로 [math(E_{\rm N} = m_{\rm N})], 즉 원래 식 [math(E=mc^2)]에서 [math(c = 1)]이 된 듯한 식으로 바뀐다. 같은 방식으로 [math(c)], [math(\hbar)], [math(G)], [math(k_{\rm B})]가 포함된 식에 똑같은 과정을 거쳐주면 최종적으로 각 상수들이 [math(1)]이 된 듯한 간단한 식으로 변환이 이루어진다.
본디 고유한 차원이 있는 [math(c)], [math(\hbar)], [math(G)] 등이 [math(1)]이 되면서 차원이 다른 물리량이 이렇게 등호로 묶일 수 있는 것은 규격화를 통해 모든 물리량이 무차원량이 되기 때문으로 엄밀하게는 규격화 표기를 생략하지 않는 것이 원칙이지만 이 작업이 매우 귀찮고 후술하듯 자연 단위계도 한두 개가 아니기 때문에 보통은 어떠한 단위계를 바탕으로 수식을 쓴다는 전제 하에(혹은 어떤 상수를 [math(1)]로 규격화한다는 전제 하에) 규격화 표기를 생략하는 편이다. 그래서 이를 감안하지 않고 자연 단위계를 바탕으로 쓴 수식들을 보면 차원 관계가 뒤죽박죽이기 때문에 구체적인 수치를 알아보려고 하면 바로 답이 잘 안 나오고 전술한 과정을 거꾸로 거슬러 올라가는 환원 작업을 거쳐야 한다.
주요 상수 중 하나인 중력상수의 오차범위가 꽤 큰 편이기 때문에 중력상수가 단위에 들어가는 많은 물리량도 마찬가지로 오차가 커진다는 단점이 있다.
3. 종류
3.1. 플랑크 단위계
막스 플랑크에 의해 1899년에 제안되었으며 플랑크 단위계 문서를 보면 알겠지만 플랑크는 처음에 [math(hbar)] 대신 [math(h)]를 규격화했으나 후에 양자역학 등을 기술하는 데에 [math(\hbar)]를 쓰는 게 더 깔끔하다는 것이 드러나 오늘날에는 [math(\hbar)]를 규격화한다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 | 명칭 |
| [math(m_{\rm P} \\ \sf(M))] | [math(\sqrt{\dfrac{\hbar c}G})] | [math(2.176\,434(24)\times10^{-8}\rm\,kg)] | 플랑크 질량 |
| [math(l_{\rm P} \\ \sf(L))] | [math(\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}})] | [math(1.616\,255(18)\times10^{-35}\rm\,m)] | 플랑크 길이 |
| [math(t_{\rm P} \\ \sf(T))] | [math(\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}})] | [math(5.391\,247(60)\times10^{-44}\rm\,s)] | 플랑크 시간 |
| [math(T_{\rm P} \\ \sf(\Theta))] | [math(\sqrt{\dfrac{\hbar c^5}{G{k_{\rm B}}^2}})] | [math(1.416\,784(16)\times10^{32}\rm\,K)] | 플랑크 온도 |
3.2. 스토니 단위계
조지 존스턴 스토니(George Johnstone Stoney, 1826~1911)에 의해 플랑크 단위계보다 앞선 1881년에 제안된 단위계로 [math(c)], [math(G)], 쿨롱 상수 [math(k_{\rm e} = \dfrac1{4\pi\varepsilon_0})], 기본 전하량 [math(e)]를 규격화한다. 단위 힘 [math(F_{\rm S})]가 만유인력 [math(F_{\rm S} = G\dfrac{{m_{\rm S}}^2}{{l_{\rm S}}^2})] 및 쿨롱 힘 [math(F_{\rm S} = k_{\rm e}\dfrac{{q_{\rm S}}^2}{{l_{\rm S}}^2})]과 같다는 데에서 단위 질량 [math(m_{\rm S})]가 [math(m_{\rm S} = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0G}})]로 유도되고, 단위 길이 [math(l_{\rm S})]는 에너지식 [math(E_{\rm S} = G\dfrac{{m_{\rm S}}^2}{l_{\rm S}} = m_{\rm S}c^2)]에서 [math(l_{\rm S} = \dfrac{Gm_{\rm S}}{c^2})]로 유도된다. 단위 시간 [math(t_{\rm S})]는 [math(ct_{\rm S} = l_{\rm S})] 관계를 이용한다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm S} \\ \sf(M))] | [math(\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0G}})] | [math(1.859\,21\times10^{-9}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm S} \\ \sf(L))] | [math(\sqrt{\dfrac{Ge^2}{4\pi\varepsilon_0c^4}})] | [math(1.380\,68\times10^{-36}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm S} \\ \sf(T))] | [math(\sqrt{\dfrac{Ge^2}{4\pi\varepsilon_0c^6}})] | [math(4.605\,45\times10^{-45}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm S} \\ \sf(TI))] | [math(e)] | [math(1.602\,176\,634\times10^{-19}\rm\,C)] |
질량, 길이, 시간 단위의 수치가 플랑크 단위계의 기본 단위들과 큰 차이가 없는데, 미세구조상수의 정의에 따라 정확하게 플랑크 단위계의 기본 단위들에 [math(\sqrt\alpha)]를 곱한 것이 스토니 단위계의 기본 단위들이기 때문이다. 즉
| [math(m_{\rm P}\sqrt\alpha = m_{\rm S} \\ l_{\rm P}\sqrt\alpha = l_{\rm S} \\ t_{\rm P}\sqrt\alpha = t_{\rm S})] |
3.3. 슈뢰딩거 단위계
스토니 단위계에서 [math(c)] 대신에 [math(\hbar)]를 규격화하는 단위계, 즉 [math(e)], [math(G)], [math(k_{\rm e} = \dfrac1{4\pi\varepsilon_0})], [math(\hbar)]를 규격화한다. 따라서 슈뢰딩거 단위계의 질량 단위 [math(m_{\rm Sch})]는 스토니 단위계의 질량 [math(m_{\rm S} = \sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0G}})]과 같고, 규격화되는 [math(e)], [math(4\pi\varepsilon_0)], [math(\hbar)]로만 이루어진 수식 [math(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar})]은 미세구조상수 [math(\alpha)]가 [math(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar})]이므로 [math(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar} = c\alpha = c_{\rm Sch})]로서 속도의 차원 [math(\sf LT^{-1})]을 갖는 속도 단위임 알 수 있다. [math(\dim\hbar = {\sf ML^2T^{-1}})]이므로 앞서 구한 [math(m_{\rm Sch})]와 [math(c_{\rm Sch})]로 [math(\hbar)]를 나누면 길이 단위 [math(l_{\rm Sch} = \dfrac\hbar{\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0G}}{\left(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)}} = \sqrt{\dfrac{(4\pi\varepsilon_0)^3\hbar^4G}{e^6}})]가 얻어진다. 이를 다시 [math(c_{\rm Sch})]로 나눈 식은 시간 단위 [math(t_{\rm Sch} = \sqrt{\dfrac{(4\pi\varepsilon_0)^5\hbar^6G}{e^{10}}})]가 된다.식이 복잡해보이는데 미세구조상수를 이용하면 [math(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar} = c\alpha)]이므로 [math(l_{\rm Sch} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{(c\alpha)^3}})], [math(t_{\rm Sch} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{(c\alpha)^5}})]이며, 앞서 플랑크 단위계에서 [math(\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = l_{\rm P})], [math(\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^5}} = t_{\rm P})]이므로 [math(l_{\rm Sch} = \dfrac{l_{\rm P}}{\sqrt{\alpha^3}})], [math(t_{\rm Sch} = \dfrac{t_{\rm P}}{\sqrt{\alpha^5}})]가 된다. [math(m_{\rm Sch} = m_{\rm S})]이고 스토니 단위계에서 [math(m_{\rm S} = m_{\rm P}\sqrt\alpha)]라고 했으므로 [math(m_{\rm Sch} = m_{\rm P}\sqrt\alpha)]이다.
| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm Sch} \\ \sf(M))] | [math(\sqrt{\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0G}})] | [math(1.859\,21\times10^{-9}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm Sch} \\ \sf(L))] | [math(\sqrt{\dfrac{(4\pi\varepsilon_0)^3\hbar^4G}{e^6}})] | [math(2.592\,76\times10^{-32}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm Sch} \\ \sf(T))] | [math(\sqrt{\dfrac{(4\pi\varepsilon_0)^5\hbar^6G}{e^{10}}})] | [math(1.185\,16\times10^{-38}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm Sch} \\ \sf(TI))] | [math(e)] | [math(1.602\,176\,634\times10^{-19}\rm\,C)] |
3.4. 원자 단위계
기본적으로 보어 반지름 [math(a_0 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_{\rm e}e^2})], [math(\hbar)], [math(k_{\rm e} = \dfrac1{4\pi\varepsilon_0})], 에너지에 해당하는 물리량을 규격화하는데 이는 사실상 [math(a_0)], [math(\hbar)], [math(4\pi\varepsilon_0)], 질량 혹은 전하를 규격화하는 단위계와 동치이다.[2]3.4.1. 하트리 원자 단위계
더글라스 레이너 하트리(Douglas Rayner Hartree, 1897~1958)에 의해 1927년에 제안된 단위계로 쿨롱 법칙으로부터 유도되는 에너지식 [math(E=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r})]에 [math(r = a_0)]를 대입하여 얻어지는 하트리 에너지 [math(E_{\rm H} = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0} = m_{\rm e}{\left(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)}^2 = \dfrac1{m_{\rm e}}{\left(\dfrac\hbar{a_0}\right)}^2)]을 규격화하는데, 규격화된 결과를 비교해보면 사실상 하트리 에너지 대신에 전자의 정지 질량 [math(m_{\rm e})], [math(e)]를 규격화한 단위계와 동치라는 것을 알 수 있다. 우선 [math(a_0\to1)], [math(\dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\to1)]이므로, 하트리 에너지의 첫 번째 등식에서 [math(E_{\rm H} = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0} \to e^2 \to 1)], 즉 [math(e\to1)]로 규격화되며, [math(\hbar\to1)]이므로 하트리 에너지의 세 번째 등식에서 [math(E_{\rm H} = \dfrac1{m_{\rm e}}{\left(\dfrac\hbar{a_0}\right)}^2 \to \dfrac1{m_{\rm e}} \to1)]이므로 전자의 정지 질량 [math(m_{\rm e})]가 규격화되는 단위계와 동치임을 알 수 있다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm H} \\ \sf(M))] | [math(m_{\rm e})] | [math(9.109\,383\,701\,5(2\,8)\times10^{-31}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm H} \\ \sf(L))] | [math(\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_{\rm e}e^2})] | [math(5.291\,772\,109\,03(80)\times10^{-11}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm H} \\ \sf(T))] | [math(\dfrac{{\left(4\pi\varepsilon_0\right)}^2\hbar^3}{m_{\rm e}e^4})] | [math(2.418\,884\,326\,6\times10^{-17}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm H} \\ \sf(TI))] | [math(e)] | [math(1.602\,176\,634\times10^{-19}\rm\,C)] |
3.4.2. 뤼드베리 원자 단위계
뤼드베리 상수 [math(R_\infty)]를 이용해서 정의되는 수소 원자 내 전자의 바닥 상태 에너지(뤼드베리 에너지) [math(E_{\rm Ry} = hcR_\infty)]를 규격화한다. 이때 보어의 원자 모형으로부터 [math(R_\infty = \dfrac{m_{\rm e}e^4}{8{\varepsilon_0}^2h^3c} = \dfrac{m_{\rm e}e^4}{64\pi^3{\varepsilon_0}^2\hbar^3c})]로 유도되며 이를 정리하면 [math(R_\infty = \dfrac1{hc}\dfrac{m_{\rm e}e^4}{32\pi^2{\varepsilon_0}^2\hbar^2} = \dfrac1{2hc}{\left\{m_{\rm e}{\left(\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)}^2\right\}} = \dfrac1{2hc}E_{\rm H})]이므로 [math(hcR_\infty = \dfrac12E_{\rm H})], 즉 [math(E_{\rm Ry} = \dfrac12E_{\rm H})]인 관계에 있음을 알 수 있다. 하트리 원자 단위계에서 썼던 방식과 같은 방법으로 고찰해보면 [math(E_{\rm Ry} = \dfrac12E_{\rm H} = \dfrac12\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a_0} \to \dfrac{e^2}2\to1)]에서 [math(\dfrac e{\sqrt2})]가 규격화되고, [math(E_{\rm Ry} = \dfrac12E_{\rm H} = \dfrac12\dfrac1{m_{\rm e}}{\left(\dfrac\hbar{a_0}\right)}^2 \to \dfrac1{2m_{\rm e}} \to1)]에서 [math(2m_{\rm e})]가 규격화되는 것을 알 수 있다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm Ry} \\ \sf(M))] | [math(2m_{\rm e})] | [math(1.821\,876\,740\,30(56)\times10^{-30}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm Ry} \\ \sf(L))] | [math(\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_{\rm e}e^2})] | [math(5.291\,772\,109\,03(80)\times10^{-11}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm Ry} \\ \sf(T))] | [math(\dfrac{2{\left(4\pi\varepsilon_0\right)}^2\hbar^3}{m_{\rm e}e^4})] | [math(4.837\,768\,653\,2\times10^{-17}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm Ry} \\ \sf(TI))] | [math(\dfrac e{\sqrt2})] | [math(1.132\,909\,963\times10^{-19}\rm\,C)] |
3.5. 양자장론 전반
양자장론을 다루는 여러 서적, 논문 등등에서 가장 널리 쓰이는 도량형으로 [math(c)], [math(\hbar)], [math(\varepsilon_0)]를 규격화한다. 차원을 분석해보면 [math(\dim c = \sf LT^{-1})], [math(\dim\hbar = \sf ML^2T^{-1})], [math(\dim\varepsilon_0 = \sf M^{-1}L^3T^4I^2)]로 구성하는 차원이 4개([math(\sf M)], [math(\sf L)], [math(\sf T)], [math(\sf I)])인데 상수가 3개밖에 없어 원래는 독립된 단위계를 구성할 수 없으나, 에너지 단위 [math(E_{\rm QF})]를 [math(E_{\rm QF} = 1\,{\rm eV} = e\times1\,{\rm V})]로 설정하여 보통 이 문제를 해결한다. 전하 단위는 [math(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar})]이므로 앞선 규격화([math(c \rightarrow 1)], [math(\hbar \rightarrow 1)], [math(\varepsilon_0 \rightarrow 1)])를 적용하면 [math(\alpha = \dfrac{{q_{\rm N}}^2}{4\pi} = \dfrac{\left(\dfrac e{q_{\rm QF}}\right)^2}{4\pi})]에서 [math(q_{\rm QF} = \dfrac e{\sqrt{4\pi\alpha}} = \sqrt{\varepsilon_0c\hbar})]로 유도된다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm QF} \\ \sf(M))] | [math(\dfrac{e\times1\rm\,V}{c^2})] | [math(1.782\,661\,92\times10^{-36}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm QF} \\ \sf(L))] | [math(\dfrac{\hbar c}{e\times1\rm\,V})] | [math(1.973\,269\,80\times10^{-7}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm QF} \\ \sf(T))] | [math(\dfrac\hbar{e\times1\rm\,V})] | [math(6.582\,119\,57\times10^{-16}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm QF} \\ \sf(TI))] | [math(\sqrt{\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac e{\sqrt{4\pi\alpha}})] | [math(5.290\,817\,690\times10^{-19}\rm\,C)] |
질량 단위를 별도로 규격화하지 않기 때문에 보통 질량을 전자볼트 단위([math(\rm MeV)], [math(\rm GeV)] 등)로 나타낸다.[3] 또한 [math(E_{\rm QF} = \dfrac\hbar{t_{\rm QF}} = \dfrac{\hbar c}{l_{\rm QF}})], [math(E = \hbar\omega = \dfrac{\hbar c}{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda}\biggl()]단, [math(\left.\;\bar{}\!\!\!\:\lambda = \dfrac\lambda{2\pi}\right))]로부터 [math(\dfrac E{E_{\rm QF}} = E_{\rm N} = \dfrac{t_{\rm QF}}{\dfrac1\omega} = \dfrac1{t_{\rm N}} = \dfrac{l_{\rm QF}}{\;\bar{}\!\!\!\:\lambda} = \dfrac1{l_{\rm N}})]에서 [math(l_{\rm N} = t_{\rm N} = \dfrac1{E_{\rm N}})], 즉 길이와 시간을 에너지의 역수로 나타내며[4] [math(\alpha = \dfrac{{q_{\rm N}}^2}{4\pi})]이 되어 전자기 역제곱장 상호작용이 얼마나 센가를 가늠한다.
여기에 질량 단위로서 전자의 정지 질량 [math(m_{\rm e})]를 규격화하면 소립자물리학 단위계가 되고, 양성자의 정지 질량 [math(m_{\rm p})]를 규격화하면 양자색역학 단위계(중 전하 단위를 위 표의 값으로 쓰는 경우)가 된다.
중력 상수가 안 나오는 것은 현재 양자장론에서 중력을 다루지 않고 있다는 데에 있다. 다룰 일이 생긴다 하더라도 에너지식 [math(E_{\rm QF} = e\times1{\rm\,V} = G_{\rm QF}\dfrac{{m_{\rm QF}}^2}{l_{\rm QF}} = G_{\rm QF}\dfrac{\left(\dfrac{e\times1\rm\,V}{c^2}\right)^2}{\dfrac{\hbar c}{e\times1\rm\,V}} = G_{\rm QF}\dfrac{(e\times1\rm\,V)^3}{\hbar c^5})]을 이용해서[5] [math(G_{\rm QF} = \dfrac{\hbar c^5}{(e\times1\rm\,V)^2} = \hbar c^5/{\rm eV}^2 = 9.948\,529\,41\times10^{45}{\rm\,N{\cdot}m^2kg^{-2}})]로 나타내면 되긴 하다. 규격화된 중력 상수 [math(G_{\rm N})]은 [math(G_{\rm N} = \dfrac G{G_{\rm QF}} = \dfrac{6.6743\times10^{-11}{\rm\,N{\cdot}m^2kg^{-2}}}{9.948\,529\,41\times10^{45}{\rm\,N{\cdot}m^2kg^{-2}}} = 6.7088\times10^{-57})]의 값을 갖는다.[6]
3.5.1. 소립자물리학 단위계
[math(c)], [math(m_{\rm e})], [math(\hbar)], [math(\varepsilon_0)]를 규격화한다. 원자의 정지 질량으로 질량을 규격화하기 때문에 더 이상 [math(E = 1{\rm\,eV})]를 에너지 단위로 사용하지 않고 [math(E_{\rm PP} = m_{\rm e}c^2)]를 사용하며 [math(m_{\rm e}c)]의 차원은 [math(\dim(m_{\rm e}c) = \sf MLT^{-1})]이고 [math(\hbar)]의 차원은 [math(\dim\hbar = \sf ML^2T^{-1})]이므로 길이 단위는 [math(\dfrac\hbar{m_{\rm e}c})]가 되며 시간 단위는 이를 [math(c)]로 나눈 [math(\dfrac\hbar{m_{\rm e}c^2})]가 된다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm PP} \\ \sf(M))] | [math(m_{\rm e})] | [math(9.109\,383\,701\,5(2\,8)\times10^{-31}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm PP} \\ \sf(L))] | [math(\dfrac\hbar{m_{\rm e}c})] | [math(3.861\,592\,680\times10^{-13}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm PP} \\ \sf(T))] | [math(\dfrac\hbar{m_{\rm e}c^2})] | [math(1.288\,088\,668\times10^{-21}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm PP} \\ \sf(TI))] | [math(\sqrt{\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac e{\sqrt{4\pi\alpha}})] | [math(5.290\,817\,690\times10^{-19}\rm\,C)] |
3.5.2. 양자색역학 단위계
[math(c)], [math(m_{\rm p})], [math(\hbar)], [math(e)]를 규격화하는데, 플랑크 단위계에서 식의 깔끔함을 위해 [math(h)] 대신 [math(\hbar)]를 규격화했듯이, 오늘날에는 대부분 [math(e)] 대신 [math(\varepsilon_0)] 혹은 [math(4\pi\varepsilon_0)]를 규격화한다. [math(\varepsilon_0)]를 규격화하여 유도된 전하 단위는 상기 양자장론 전반, 소립자물리학 단위계 항목에서 구한 값이 되며, [math(4\pi\varepsilon_0)]를 규격화하는 경우 [math(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = {q_{\rm N}}^2 = \left(\dfrac e{q_{\rm QCD}}\right)^2)]에서 [math(q_{\rm QCD} = \dfrac e{\sqrt\alpha} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0c\hbar})]가 된다.| 물리량 (차원) | SI 정의 상수 표기 | 값 |
| [math(m_{\rm QCD} \\ \sf(M))] | [math(m_{\rm p})] | [math(1.672\,621\,923\,69(51)\times10^{-27}\rm\,kg)] |
| [math(l_{\rm QCD} \\ \sf(L))] | [math(\dfrac\hbar{m_{\rm p}c})] | [math(2.103\,089\,10\times10^{-16}\rm\,m)] |
| [math(t_{\rm QCD} \\ \sf(T))] | [math(\dfrac\hbar{m_{\rm p}c^2})] | [math(7.015\,150\,14\times10^{-25}\rm\,s)] |
| [math(q_{\rm QCD} \\ \sf(TI))] | [math(e)] | [math(1.602\,176\,634\times10^{-19}\rm\,C)] |
| [math(\sqrt{\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac e{\sqrt{4\pi\alpha}})] | [math(5.290\,817\,690\times10^{-19}\rm\,C)] | |
| [math(\sqrt{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac e{\sqrt\alpha})] | [math(1.875\,546\,038\times10^{-18}\rm\,C)] |
3.6. 기하학 단위계
[math(c)], [math(G)]만을 규격화하기 때문에 상기 단위계들과는 달리 기저가 부족하여 독립된 기본 단위를 형성할 수 없다. 대신 환산 인자(conversion factor)를 곱함으로써 차원을 바꿔주는 정도의 기능만 지닌다.이를테면 [math(\dfrac G{c^2})]은 차원이 [math(\sf M^{-1}L)]이므로 질량을 나타내는 물리량에 [math(\dfrac G{c^2})]를 곱해서 길이를 나타내는 물리량으로 환산하는 방식이다. 단, 다른 단위계들과는 달리 식 변형 과정이 복잡할 경우 환원이 어려울 수 있다.
[1] 기본 단위를 이용해서 엄밀하게 유도하면 이렇고 규격화된 결과를 이용하면 [math(c \rightarrow 1)], [math(4\pi\varepsilon_0 \rightarrow 1)], [math(e \rightarrow 1)]이므로 [math(\alpha = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c\hbar} = \dfrac1{\hbar_{\rm N}} = \dfrac{\hbar_{\rm S}}\hbar \Leftrightarrow \hbar_{\rm S} = \alpha\hbar)]로 더 간단하게 유도할 수 있다.[2] 왜냐하면 에너지를 [math(E)]라고 했을 때, [math(\dim a_0 = {\sf L})], [math(\dim\hbar = {\sf ML^2T^{-1}})], [math(\dim k_{\rm e} = {\sf ML^3T^{-4}I^{-2}})], [math(\dim E = {\sf ML^2T^{-2}})]이므로 시간 단위가 [math(\dfrac\hbar E)]가 되며 질량 단위는 [math(\dfrac{\hbar^2}{{a_0}^2E})]가 되기 때문이다. 한편, 전하 단위는 [math(\sqrt{\dfrac{a_0E}{k_{\rm e}}} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0a_0E})]로 나타낼 수 있으며 [math(E)]에 들어갈 물리 상수를 각 식에 대입하면 후술할 질량과 전하에 대한 상수가 튀어나온다.[3] [math(E = mc^2)]에서 [math(c)]를 규격화([math(c \rightarrow 1)])한 관계식 [math(E_{\rm N} = m_{\rm N})]으로부터 이렇게 쓰는 것인데, 중요한 건 규격화된 식은 모든 물리량이 무차원량, 즉 [math(\dim E_{\rm N} = \dim m_{\rm N} = {\sf1})]이기 때문에 엄밀하게 따지면 질량을 에너지 단위로 나타내면 안 되며 [math({\rm MeV}/c^2)], [math({\rm GeV}/c^2)]로 쓰는 게 옳다.[4] 이 역시 [math(\hbar c/\rm eV)], [math(\hbar/\rm eV)]로 나타내는 게 옳다.[5] 다른 방법으론 [math(G)]의 차원이 [math(\dim G = \sf M^{-1}L^3T^{-2})]이므로 각 기본 단위들을 곱해서 [math(\dfrac{c^2}{e\times1\rm\,V}\left(\dfrac{\hbar c}{e\times1\rm\,V}\right)^3\left(\dfrac{e\times1\rm\,V}\hbar\right)^2 = \dfrac{\hbar c^5}{(e\times1\rm\,V)^2})]으로 구할 수도 있다.[6] [math(G = G_{\rm N}G_{\rm QF})]이므로 이 규격화된 상수에 전자볼트 단위로 나타낸 [math(G_{\rm QF} = \hbar c^5/{\rm eV}^2)]을 곱하고 [math(\hbar \rightarrow 1)], [math(c \rightarrow 1)]을 적용해서 [math(G \rightarrow 6.7088\times10^{-57}{\rm\,eV^{-2}} = 6.7088\times10^{-39}{\rm\,GeV^{-2}})]로 나타내는 경우가 있는데 역시 차원이 맞지 않는 틀린 표기이다. 옳게는 [math(G = 6.7088\hbar c^5\times10^{-57}{\rm\,eV^{-2}} = 6.7088\hbar c^5\times10^{-39}{\rm\,GeV^{-2}})]이다.