| 선형대수학 Linear Algebra | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#006ab8> 기본 대상 | 일차함수 · 벡터 · 행렬 · 선형 변환 | |
| 대수적 구조 | 가군(모듈) · 벡터 공간 · 내적 공간 · 노름 공간 | ||
| 선형 연산자 | <colbgcolor=#006ab8> 기본 개념 | 연립방정식(1차 · 2차) · 행렬곱 · 단위행렬 · 역행렬과 크라메르 공식 · 가역행렬 · 전치행렬 · 행렬식(라플라스 전개) · 주대각합 | |
| 선형 시스템 | 기본행연산과 기본행렬 · 가우스-조르당 소거법 · 행사다리꼴 · 행렬표현 · 라그랑주 보간법 | ||
| 주요 정리 | 선형대수학의 기본정리 · 차원 정리 · 가역행렬의 기본정리 · 스펙트럼 정리 | ||
| 기타 | 제곱근행렬 · 멱등행렬 · 멱영행렬 · 에르미트 행렬 · 야코비 행렬 · 방데르몽드 행렬 · 아다마르 행렬 변환 · 노름(수학) | ||
| 벡터공간의 분해 | 상사 · 고유치 문제 · 케일리-해밀턴 정리 · 대각화(대각행렬) · 삼각화 · 조르당 분해 | ||
| 벡터의 연산 | 노름 · 거리함수 · 내적 · 외적(신발끈 공식) · 다중선형형식 · ∇ · 크로네커 델타 | ||
| 내적공간 | 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자(에르미트 내적) | ||
| 다중선형대수 | 텐서 · 텐서곱 · 레비치비타 기호 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
복소수체 위의 행렬 [math(A)]에 대해 [math(A)]의 각 원소에 켤레를 취한 행렬을 '[math(A)]의 켤레 행렬(conjugate of [math(A)])'이라 하고[1] [math(\bar{A})]로 표기한다. 또 [math(A)]의 전치행렬을 [math(A^{T})]로 표기한다. 이때 [math(\overline{A^{T}})]=[math(\overline{A}^{T})][2]를 [math(A^{\dagger})][3]라 표기하고 '[math(A)]의 켤레 전치 행렬(conjugate transpose of [math(A)])' 혹은 에르미트 전치 행렬(Hermitian transpose)이라고 한다.이제 복소수체 위의 행렬 [math(H)]가 [math(H=H^{\dagger})]을 만족할 때 [math(H)]를 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이라고 부른다. 자기 자신이 수반행렬임에 따라 자기 수반 행렬(self-adjoint matrix)이라고도 한다.
스펙트럼 정리에 따라 에르미트 행렬은 다음 두 가지 성질을 만족한다.
1. 고윳값들은 항상 실수이다.
2. 고유벡터들은 항상 직교한다.
또한, 정의를 조금 조작할 경우 다음과 같은 성질 역시 존재함을 쉽게 알 수 있다. 위의 두 성질은 아래의 성질에서 유도가 가능하다.
그러면 에르미트 행렬의 정의에 따라서 [math(\displaystyle \overline{A^{T}}=[\overline{a_{ji}}]=[a_{ij}]=A_n)]가 된다.
여기서 [math(i=j)]인 값. 즉 주대각선의 성분을 보면 [math(\displaystyle \overline{a_{ii}}=a_{ii})]인데, 복소수의 상등 성질과 켤레복소수의 성질을 고려하면 허수부가 0인 실수성분만이 남는다는 것을 알 수 있다.
따라서 주대각선은 모두 실수 성분이며, 여기서 행렬연산을 이용해서 삼각행렬을 만들면 고윳값이 실수임을 쉽게 보일 수 있다. ||
2. 기타
- 수반 연산자 문서에서 Hermitian에 대한 전반적인 성질과 재해석을 다룬다.
- 철자가 비슷한 Hamiltonian([math(\mathcal{H})])과 헷갈리기 쉽다. 게다가 에르미트 행렬은 해밀토니안과 상당히 가까운 관계이기까지 하다.[4]
[1] 이를 공액전치행렬(共軶轉置行列)로도 쓴다. 공액(共軶)이 켤레를 뜻하는 한자어이다. 같은 맥락에서 켤레복소수는 공액복소수라고도 한다. 같은(共) 멍에(軶)를 멘 두 마리의 말이라는 의미이다.[2] 물론 항상 성립한다.[3] 분야에 따라 표기가 다른데 순수수학에서는 별표([math(\ast)])를 쓰고, 물리학에서는 칼표([math(\dag)])를 쓴다.[4] 물론 수학적으로는 전혀 비슷하진 않다. 에르미트 행렬은 따지고 보면 그냥 선형사상에 불과하지만 해밀토니안은 범함수이기 때문이다.