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1. 개요
hyperbolic function ・ 雙曲線 函數삼각함수가 원과 연관된다면 쌍곡선 함수는 쌍곡선과 연관된다는 특징이 있다. 삼각함수와 매우 유사한 성질을 띠며, 미분방정식과 함수 이론에서 쓰인다는 점에서도 비슷하다.
2. 상세
삼각함수는 원과 관련있는 함수이다. 즉,| [math(\begin{cases} x = \cos t \\ y = \sin t \end{cases})] |
| [math( x^2 + y^2 = \cos^2t + \sin^2t = 1 )] |
이와 유사한 방법으로
| [math(\begin{cases} x = \cosh t \\ y = \sinh t \end{cases})] |
| [math( x^2 - y^2 = \cosh^2t - \sinh^2t = 1 )] |
이렇듯, 삼각함수와 유사한 특징이 많은 함수이지만, 결정적으로 쌍곡선 함수는 모든 실수에서 주기를 갖지 않는다는 차이점이 있다.
3. 정의
3.1. 기본형
| [math(\begin{aligned} \sinh x &\equiv \dfrac{e^x - e^{-x}}2 \\ \cosh x &\equiv \dfrac{e^x + e^{-x}}2 \\ \tanh x &\equiv \dfrac{\sinh x}{\cosh x} = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \end{aligned})] |
- [math(\sinh)]: 샤인(/ʃaɪn/), 신치(/sɪntʃ/)
- [math(\cosh)]: 코샤인(/koʃaɪn/), 코시(/koʊʃ/)
- [math(\tanh)]: [ruby(쌘,ruby=θ)](/θæn/), 탠치(/tæntʃ/)
각 함수의 그래프는 아래와 같다.
| | | |
| [math(y=\sinh x)] | [math(y=\cosh x)] | [math(y=\tanh x)] |
위에서 볼 수 있듯, [math(\sinh x)], [math(\tanh x)]는 기함수, [math(\cosh x)]는 우함수임을 알 수 있다. 또한, [math(\cosh x)]는 점 [math((0, 1))]을 지남을 알 수 있고, [math(\tanh x)]는 점근선으로 [math(y = \pm 1)]을 가짐을 알 수 있다.
[math(\tanh x)]는 [math(operatorname{erf}(x))]와 개형이 비슷하며, 이러한 개형을 시그모이드라고 부른다.[비교] 누군가는 아예 이걸로 논문을 쓰기도 했다.
[math(\cosh x)]는 현수선의 방정식이라고도 한다. 실의 양 끝을 팽팽하지 않게 고정시켜 늘어뜨렸을 때의 형태를 현수선이라고 하는데, 이 방정식의 일반항이
| [math( a\cosh \Bigl( \dfrac xa \Bigr) = \dfrac a2 \,(e^{x/a}+e^{-x/a}) )] |
3.2. 역수형
이 함수들은 기본형에 역수를 취한 함수이다.| [math(\begin{aligned} \coth x &\equiv \dfrac1{\tanh x} \\ \operatorname{sech}x &\equiv \dfrac1{\cosh x} \\ \operatorname{csch}x &\equiv \dfrac1{\sinh x} \end{aligned} )] |
- [math(\coth)]: 코[ruby(쓰,ruby=θ)](/koʊθ/)
- [math(\rm sech)]: 셰크(/ʃɛk/), 세치(/sɛtʃ/)
- [math(\rm csch)]: 코셰크(/koʊʃɛk/), 코세치(/koʊsɛtʃ/)
[math(\rm sech)]은 따로 '오일러 수열 함수'라고 하기도 한다. 또한 정규 분포 그래프와 개형이 비슷하다.
3.3. 역함수
이 함수들은 기본형과 역수형의 역함수들이다. 쌍곡선 [math(x^2 - y^2 = 1)]과 직선 [math(y = x\tanh a)]와 [math(x)]축으로 둘러싸인 도형[3]의 넓이(area)가 [math(a)]라는 특징으로부터 이들 역함수에는 접두사 [math(\text{ar-})]을 붙여 쓰는 것이 정식 표기이고, 따라서 이 표기에서 각 함수의 정식 명칭은 'area hyperbolic ~'이다. 그런데, 쌍곡선 함수가 삼각함수와 유사하기 때문인지 [math(\text{arc-})]를 붙인 틀린 표현[4]도 자주 볼 수 있다. TI-Nspire 시리즈나 Desmos가 이 틀린 표현을 사용하기 때문에, 이들을 다룰 땐artanh(x) 대신 arctanh(x)라고 입력해야 한다.[5]한편, 쌍곡선 함수가 지수함수를 이용해서 정의되는 특성상, 복소함수론에서는 역쌍곡선 함수의 정의역이 원래 함수의 지수, 즉 편각(argument)이 되기 때문에 간혹 접두사를 [math(\text{arg-})]로 쓰고 argument로 읽는 학자도 있다.[6]
실수 [math(x)]에 대해 다음이 성립한다.
| [math(\begin{aligned} \operatorname{arsinh}x &= \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \\ \operatorname{arcosh}x &= \ln(x + \sqrt{x^2-1}) && \qquad (x \ge 1) \\ \operatorname{artanh}x &= \dfrac12 \ln \biggl( \dfrac{1+x}{1-x} \biggr) && \qquad (|x| < 1) \\ \operatorname{arcoth}x &= \dfrac12 \ln \biggl( \dfrac{x+1}{x-1} \biggr) && \qquad (|x| > 1) \\ \operatorname{arsech}x &= \ln \biggl( \dfrac1x + \sqrt{\dfrac1{x^2}-1} \biggr) && \qquad (0 < x \le 1) \\ \operatorname{arcsch}x &= \ln \biggl( \dfrac1x + \sqrt{\dfrac1{x^2}+1} \biggr) && \qquad (x \ne 0) \end{aligned} )] |
표기와 관련하여, [math(\rm arsinh)], [math(\rm arcosh)], [math(\rm artanh)], [math(\rm arcoth)], [math(\rm arsech)], [math(\rm arcsch)]는 각각 [math(\rm sinh^{-1})], [math(\rm cosh^{-1})], [math(\rm tanh^{-1})], [math(\rm coth^{-1})], [math(\rm sech^{-1})], [math(\rm csch^{-1})]로 나타내기도 하고 실제로도 편의성과 가독성 때문에 많이 사용되나[7], 역삼각함수의 경우처럼 수학계가 권장하는 표현은 아니다.
4. 쌍곡선과의 관계
이번엔 그래프 상에서 쌍곡선 함수가 어떻게 정의되는지 보고자 한다.쌍곡선 [math(x^2 - y^2 = 1)]과 그 위의 한 점 [math(\rm P)]에 대하여, 원점과 [math(\rm P)]를 지나는 직선 [math(y = x\tanh a)], [math(x)]축, 쌍곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이가 [math(a)][8]가 될 때, 점 [math(\rm P)]의 [math(x)]좌표와 [math(y)]좌표는 각각 [math(\cosh a)], [math(\sinh a)]이다.
4.1. 증명 1
첫 번째로는 위 문단의 쌍곡선 함수와 쌍곡선 사이의 관계를 설정하고, 이를 통하여 쌍곡선 함수가 어떻게 지수함수로 표현되는지 확인해보자.위와 같이 단위 쌍곡선 [math(x^2 - y^2 = 1)] 위의 점 [math({\rm P}(\cosh t, \sinh t))]를 지나는 직선을 [math(y = mx)]라 하자. 그러면 쌍곡선 함수의 정의에 따라 [math(m = \dfrac{\sinh t}{\cosh t} = \tanh t)]이다.
두 도형의 방정식을 연립하면 다음을 얻는다.
| [math(\begin{aligned} x &= \frac1{\sqrt{1-m^2}} \\ y &= \frac m{\sqrt{1-m^2}} \end{aligned})] |
[math(y = mx)], [math(x)]축, 단위 쌍곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [math(S)]라 하자.
위 그림에서
| [math( S = \triangle{\rm POH} - T )] |
| [math(\begin{aligned} \triangle{\rm POH} &= \frac12 \frac1{\sqrt{1-m^2}} \frac m{\sqrt{1-m^2}} \\ &= \frac12 \frac m{1-m^2} \\ \\ T &= \int_1^{1/\sqrt{1-m^2}} \sqrt{x^2-1} {\rm\,d}x \\ &= \frac12 \biggl( \frac m{1-m^2} -\ln \biggl| \frac{1+m}{\sqrt{1-m^2}} \biggr| \biggr) \\ \\ \therefore S &= \triangle{\rm POH} - T \\ &= \frac12 \ln \biggl| \frac{1+m}{\sqrt{1-m^2}} \biggr| \end{aligned})] |
| [math( t = \ln \biggl| \dfrac{1+m}{\sqrt{1-m^2}} \biggr| )] |
| [math( e^t = \dfrac{1 + m}{\sqrt{1-m^2}} \quad \to \quad e^{2t} = \dfrac{1+m}{1-m} )] |
| [math( m = \dfrac{e^{2t} - 1}{e^{2t} + 1} = \dfrac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} )] |
| [math( \therefore \tanh t = \dfrac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} )] |
| [math( {\rm P} \biggl( \dfrac{e^t + e^{-t}}2, \dfrac{e^t - e^{-t}}2 \biggr) \!= {\rm P}(\cosh t, \sinh t) )] |
| [math(\begin{aligned} \sinh t &= \frac{e^t - e^{-t}}2 \\ \cosh t &= \frac{e^t + e^{-t}}2 \\ \tanh t &= \frac{e^t - e^{-t}}{e^t + e^{-t}} \end{aligned})] |
4.2. 증명 2
이번에는 반대로 쌍곡선 함수를 먼저 지수함수로 설정하고, 이것이 어떻게 쌍곡선의 넓이와 관련이 있는지를 보고자 한다.위 그래프에서 색칠된 부분의 넓이는
| [math( \displaystyle \int_0^{\sinh a} \sqrt{y^2+1} {\rm\,d}y -\frac12 \cosh a\sinh a )] |
쌍곡선 함수의 정의에 따라 [math(\cosh^2a - \sinh^2a = 1)]이 성립하므로, 위의 적분에서 [math(y = \sinh u)]로 치환적분하면 [math({\rm d}y = \cosh u {\rm\,d}u)]이므로, [math(y = 0)]일 때 [math(u=0)]이고 [math(y = \sinh a)]일 때, [math(u = a)]이므로, 위 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.
| [math(\begin{aligned} &\int_0^a \sqrt{\sinh^2u+1} \cosh u {\rm\,d}u -\frac12 \cosh a\sinh a \\ &= \int_0^a \cosh^2u {\rm\,d}u -\frac12 \cosh a\sinh a \\ &= \frac12 \int_0^a (\cosh(2u) + 1) {\rm\,d}u -\frac14 \sinh(2a) \\ &= \!\left[ \frac14 \sinh(2a) +\frac a2 \right] \!-\frac14 \sinh(2a) \\ &= \frac a2 \end{aligned})] |
5. 관련 공식
5.1. 항등식
| [math(\begin{aligned} \cosh x \pm \sinh x &= e^{\pm x} \\ \\ \cosh^2x - \sinh^2x &= 1 \\ 1 - \tanh^2x &= \operatorname{sech}^2x \\ \coth^2x - 1 &= \operatorname{csch}^2x \\ \\ \sinh(-x) &= -\sinh x \\ \cosh(-x) &= \cosh x \\ \tanh(-x) &= -\tanh x \\ \coth(-x) &= -\coth x \\ \operatorname{sech}(-x) &= \operatorname{sech}x \\ \operatorname{csch}(-x) &= -\operatorname{csch}x \end{aligned})] |
이 외에도 삼각함수를 다룰 때 다뤘던 특수함수의 극한 또한 쌍곡선 함수에서 성립한다.
| [math(\begin{aligned} \lim\limits_{x\to0} \frac{\sinh x}x &= 1 \\ \lim\limits_{x\to0} \frac{\tanh x}x &= 1 \end{aligned})] |
5.2. 덧셈 정리
| [math(\begin{aligned} \sinh(x \pm y) &= \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y \\ \cosh(x \pm y) &= \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y \\ \tanh(x \pm y) &= \dfrac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x\tanh y} \end{aligned})] |
이상은 모두 복부호 동순이다. 덕분에 삼각함수의 덧셈정리 형태를 알고 있으면 쌍곡선함수 덧셈정리를 외우는 것은 부호에 일관성이 있으므로 더 쉽다.
5.3. 배편각 공식
| [math(\begin{aligned} \sinh(2x) &= 2\sinh x\cosh x \\ \cosh(2x) &= \cosh^2x + \sinh^2x \\ &= 2\sinh^2x+1 \\ &= 2\cosh^2x-1 \\ \tanh(2x) &= \dfrac{2\tanh x}{1 + \tanh^2x} \end{aligned})] |
5.4. 반편각 공식
| [math(\begin{aligned} \sinh^2 \Bigl( \dfrac x2 \Bigr) &= \dfrac{\cosh x - 1}2 \\ \cosh^2 \Bigl( \dfrac x2 \Bigr) &= \dfrac{\cosh x + 1}2 \\ \tanh^2 \Bigl( \dfrac x2 \Bigr) &= \dfrac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} \end{aligned})] |
5.5. 합을 곱으로 고치는 공식
| [math(\begin{aligned} \sinh x \pm \sinh y &= 2 \sinh \biggl( \dfrac{x \pm y}2 \biggr) \cosh \biggl( \dfrac{x \mp y}2 \biggr) \\ \cosh x + \cosh y &= 2 \cosh \biggl( \dfrac{x + y}2 \biggr) \cosh \biggl( \dfrac{x - y}2 \biggr) \\ \cosh x - \cosh y &= 2 \sinh \biggl( \dfrac{x + y}2 \biggr) \sinh \biggl( \dfrac{x - y}2 \biggr) \end{aligned})] |
이상은 모두 복부호동순이다.
5.6. 곱을 합으로 고치는 공식
| [math(\begin{aligned} \sinh x\cosh y &= \dfrac12 \{ \sinh(x+y) + \sinh(x-y) \} \\ \cosh x\sinh y &= \dfrac12 \{ \sinh(x+y) - \sinh(x-y) \} \\ \cosh x\cosh y &= \dfrac12 \{ \cosh(x+y) + \cosh(x-y) \} \\ \sinh x\sinh y &= \dfrac12 \{ \cosh(x+y) - \cosh(x-y) \} \\ \end{aligned})] |
5.7. 도함수
5.7.1. 쌍곡선 함수
| [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \sinh x &= \cosh x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \cosh x &= \sinh x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \tanh x &= \operatorname{sech}^2x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{sech}x &= -\operatorname{sech}x\tanh x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{csch}x &= -\operatorname{csch}x\coth x \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \coth x &= -\operatorname{csch}^2x \end{aligned})] |
5.7.2. 역쌍곡선 함수
| [math(\displaystyle\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{arsinh}x &= \frac1{\sqrt{x^2+1}} \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{arcosh}x &= \frac1{\sqrt{x^2-1}} && \qquad (x > 1) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{artanh}x &= \frac1{1-x^2} && \qquad (|x| < 1) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{arsech}x &= -\frac1{x\sqrt{1-x^2}} && \qquad (0 < x < 1) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{arcsch}x &= -\frac1{|x|\sqrt{1+x^2}} && \qquad (x \ne 0) \\ \frac{\rm d}{{\rm d}x} \operatorname{arcoth}x &= \frac1{1-x^2} && \qquad (|x| > 1) \end{aligned})] |
[math(\operatorname{artanh}x)]와 [math(\operatorname{arcoth}x)]의 도함수는 형태는 같지만 [math(x)]의 범위가 다르다는 것에 주의하자.
5.8. 역도함수
5.8.1. 쌍곡선 함수
| [math(\begin{aligned} \int \sinh x {\rm\,d}x &= \cosh x +{\sf const.} \\ \int \cosh x {\rm\,d}x &= \sinh x +{\sf const.} \\ \int \tanh x {\rm\,d}x &= \ln(\cosh x) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{sech}x {\rm\,d}x &= 2\arctan(e^x) +{\sf const.} \\ &= \arctan(\sinh x) +{\sf const.} \\ &= \arcsin(\tanh x) +{\sf const.} \\ &= 2\arctan \Bigl\{ \tanh \Bigl( \frac x2 \Bigr) \!\Bigr\} +{\sf const.} \\ &= \operatorname{gd}x +{\sf const.} \\ \int \operatorname{csch}x {\rm\,d}x &= \ln \Bigl\{ \tanh \Bigl( \dfrac x2 \Bigr) \!\Bigr\} +{\sf const.} \\ &= \ln|\coth x-\operatorname{csch}x\,| +{\sf const.} \\ \int \coth x {\rm\,d}x &= \ln|\sinh x\,| +{\sf const.} \end{aligned})] |
5.8.2. 역쌍곡선 함수
| [math(\begin{aligned} \int \operatorname{arsinh}x {\rm\,d}x &= x\operatorname{arsinh}x -\sqrt{x^2+1} +{\sf const.} \\ \int \operatorname{arcosh}x {\rm\,d}x &= x\operatorname{arcosh}x -\sqrt{x^2-1} +{\sf const.} && \qquad (x \ge 1) \\ \int \operatorname{artanh}x {\rm\,d}x &= x\operatorname{artanh}x +\frac12 \ln(1-x^2) +{\sf const.} && \qquad (|x| < 1) \\ \int \operatorname{arsech}x {\rm\,d}x &= x\operatorname{arsech}x +\arcsin x +{\sf const.} && \qquad (0 < x \le 1) \\ \int \operatorname{arcsch}x {\rm\,d}x &= x\operatorname{arcsch}x +\operatorname{arsinh}x +{\sf const.} && \qquad (x \ne 0) \\ \int \operatorname{arcoth}x {\rm\,d}x &= x\operatorname{arcoth}x +\frac12 \ln(x^2-1) +{\sf const.} && \qquad (|x| > 1) \end{aligned})] |
단, [math({\sf const.})]는 적분 상수이다.
5.8.3. 특수 적분
| [math(\begin{aligned} \int \sinh|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\cosh x-1) -1 +{\sf const.} \\ \int \cosh|x| {\rm\,d}x &= \sinh x +{\sf const.} \\ \int \tanh|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{coth}|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{sech}|x| {\rm\,d}x &= 2(\arctan\circ\tanh) \Bigl( \frac x2 \Bigr) +{\sf const.} \\ \int \operatorname{csch}|x| {\rm\,d}x &= \operatorname{sgn}(x) \,(\ln\circ\tanh) \Bigl( \frac x2 \Bigr) +{\sf const.} \\ \int \lvert \sinh x \rvert {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\sinh)(x) \cosh x +{\sf const.} \\ \int \lvert \cosh x \rvert {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\cosh)(x) \sinh x +{\sf const.} \\ \int \lvert \tanh x \rvert {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\tanh)(x) \,(\ln\circ\cosh)(x) +{\sf const.} \\ \int \lvert \operatorname{coth}x \rvert {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\operatorname{coth})(x) \,(\ln\circ\sinh)(x) +{\sf const.} \\ \int \lvert \operatorname{sech}x \rvert {\rm\,d}x &= 2(\operatorname{sgn}\circ\operatorname{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh) \!\left( \frac x2 \right) +{\sf const.} \\ \int \lvert \operatorname{sech}x \rvert {\rm\,d}x &= 2(\operatorname{sgn}\circ\operatorname{sech})(x) \,(\arctan\circ\tanh) \Bigl( \frac x2 \Bigr) +{\sf const.} \\ \int \lvert \operatorname{csch}x \rvert {\rm\,d}x &= (\operatorname{sgn}\circ\operatorname{csch})(x) \,(\ln\circ\tanh) \Bigl( \frac x2 \Bigr) +{\sf const.} \\ \int x\tanh x {\rm\,d}x &= -\frac12 \operatorname{Li}_2(-e^{-2x}) +\frac{x^2}2 +x\ln(e^{-2x}+1) +{\sf const.} \\ \int x\operatorname{coth}x {\rm\,d}x &= -\frac12 \operatorname{Li}_2(e^{-2x}) +\frac{x^2}2 +x\ln(-e^{-2x}+1) +{\sf const.} \\ \int x\operatorname{sech}x {\rm\,d}x &= i\operatorname{Li}_2(ie^{-x}) -i\operatorname{Li}_2(-ie^{-x}) +2x\operatorname{arccot}(e^x) +{\sf const.} \\ \int x\operatorname{csch}x {\rm\,d}x &= \operatorname{Li}_2(\sinh x-\cosh x) -\operatorname{Li}_2(e^{-x}) -2x\operatorname{arcoth}(e^x) +{\sf const.} \\ \int \frac{\sinh x}x {\rm\,d}x &= \operatorname{Shi}(x) +{\sf const.} \\ \int \frac{\cosh x}x {\rm\,d}x &= \operatorname{Chi}(x) +{\sf const.} \\ \int \sinh{e^x} {\rm\,d}x &= \operatorname{Shi}(e^x) +{\sf const.} \\ \int \cosh{e^x} {\rm\,d}x &= \operatorname{Chi}(e^x) +{\sf const.} \\ \int \sinh(x^{-1}) {\rm\,d}x &= x\sinh(x^{-1}) -\operatorname{Chi}(x^{-1}) +{\sf const.} \\ \int \cosh(x^{-1}) {\rm\,d}x &= x\cosh(x^{-1}) -\operatorname{Shi}(x^{-1}) +{\sf const.} \\ \int \sinh x^2 {\rm\,d}x &= \frac{\sqrt\pi}4 \{ \operatorname{erfi}(x) -\operatorname{erf}(x) \} +{\sf const.} \\ \int \cosh x^2 {\rm\,d}x &= \frac{\sqrt\pi}4 \{ \operatorname{erfi}(x) +\operatorname{erf}(x) \} +{\sf const.} \end{aligned} )] |
6. 복소수와 쌍곡선 함수
이 문단부터는 정의역을 복소수 영역까지 확장해서 다룰 것이다.임의의 복소수 [math(z)]에 대해
| [math(\begin{aligned} \sin z &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \\ \cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}2 \end{aligned} )] |
| [math( e^{iz} = \cos z + i\sin z )] |
| [math(\begin{aligned} \sinh(iz) &= i\sin x \\ \cosh(iz) &= \cos x \\ \tanh(iz) &= i\tan x \end{aligned} )] |
| [math(\begin{aligned} -i\sin(ix) &= \sinh x \\ \cos(ix) &= \cosh x \\ -i\tan(ix) &= \tanh x \end{aligned} )] |
6.1. 복소평면에서의 쌍곡선 함수의 그래프
| | |
| [math(\sinh z)] | [math(\operatorname{arsinh}z)] |
| | |
| [math(\cosh z)] | [math(\operatorname{arcosh}z)] |
| | |
| [math(\tanh z)] | [math(\operatorname{artanh}z)] |
| | |
| [math(\coth z)] | [math(\operatorname{arcoth}z)] |
| | |
| [math(\operatorname{sech} z)] | [math(\operatorname{arsech}z)] |
| | |
| [math(\operatorname{csch} z)] | [math(\operatorname{arcsch}z)] |
7. 테일러 급수
아래는 [math(x=0)] 주위에서 전개한 것이다.| [math(\begin{aligned} \sinh x &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= x +\frac16x^3 +\frac1{120}x^5 +\cdots \\ \cosh x &= \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ &= 1 +\frac12x^2 +\frac1{24}x^4 +\cdots \\ \tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(16^n - 4^n) B_{2n}}{(2n)!} \,x^{2n-1} \\ &= x -\frac13x^3 +\frac2{15}x^5 -\frac{17}{315}x^7 +\cdots \\ \coth x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n B_{2n}}{(2n)!} \,x^{2n-1} \\ &= \frac1x +\frac13x -\frac1{45}x^3 +\frac2{945}x^5 -\cdots \\ \operatorname{sech}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}}{(2n)!} \,x^{2n} \\ &= 1 -\frac12x^2 +\frac5{24}x^4 -\frac{61}{720}x^6 +\cdots \\ \operatorname{csch}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2 - 4^n) B_{2n}}{(2n)!} \,x^{2n-1} \\ &= \frac1x -\frac16x +\frac7{360}x^3 -\frac{31}{15120}x^5 +\cdots \end{aligned})] |
8. 기타
- 쌍곡선 함수 중 [math(\cosh x)] 곡선을 현수선이라 한다.
- 물리학적으로 균일한 밀도의 줄이나 선이 이 형태를 띄면 총 퍼텐셜 에너지가 최소화되기 때문에, 두 점 사이에 균일한 밀도의 줄이나 선을 연결하면 현수선 모양을 띄게 된다.
- 특수 상대성 이론에서 사용되는 기하학에서 쌍곡선 함수의 위상은 평범한 기하학에서 삼각함수의 위상과 비슷하다.
- 본격적인 용어와 성질 등은 대학 미적분학을 배우면서 습득하게 되나, 고등학교 미적분 문제에서도 간간히 나오는 함수이다. 다만, 용어를 직접적으로 쓰진 못하고, 정의식을 그대로 주어 문제로 낸다.
9. 관련 문서
[1] 영어의 hyperbolic에 해당하는 [math(\rm h)]가 기호의 뒤쪽에 붙어 있기 때문에 한국에서는 '싸인 하이퍼볼릭' 혹은 그냥 '싸인 에이치'라고 하기도 한다.[비교] ![파일:namu_compare_erf_tanh_new.png]()
[3] 즉, 가로, 세로의 길이가 [math(\cosh a)], [math(\sinh a)]인 직각삼각형의 넓이에서 [math(\displaystyle \int_1^{\cosh a} \sqrt{x^2-1} {\rm\,d}x)]를 뺀 값의 2배[4] 역삼각함수의 접두사 [math(\text{arc-})]가 붙은 유래를 잘 생각해보면 당연한 건데, 단위원에서 각의 크기(역삼각함수의 값)는 곧 호(arc)의 길이와 같다. 즉, [math(\text{arc-})]라는 접두사는 단위원과 관련이 있음을 나타내는 용어인 셈이다.[5] 일부 기종이나 일부 버전에서는 올바른 표기를 사용하는 것으로 보인다.[6] 함수 표기가 길어진다는 단점이 있지만 혼동의 여지를 막는다는 점에서는 매우 효과적인 표기다. 당장 아래 예에서 [math(\rm arcosh)], [math(\rm arcoth)], [math(\rm arcsch)]만 봐도 접두사를 [math(\text{arc-})]로 잘못 읽을 여지가 있으며, 특히 [math(\rm h)]가 맨 마지막에 있기 때문에 대충 읽으면 역삼각함수로 오해하기 딱 좋다.[7] 이 표기법이 -1제곱을 의미하는 것이 아니라는 약속만 있으면, 필기로 쓸 때에도 sinh에 '-1' 작게 두 획 긋는 게 더 쉽고, ar를 붙이는 것보다 가독성도 높아지기 때문.[8] 위 그림에서는 [math(x \ge 0)]인 영역만 색칠되어 있지만, [math(x < 0)]인 영역도 해당하며 이 영역 역시 넓이가 [math(a/2)]이다.