[1] 정의에 따라 초월수가 아닌 대수적 수이다. [math(1)]의 거듭제곱근 중 [math(1)], [math(-1)], [math(i)], [math(-i)]를 제외한 값들은 모두 무리수 실수부 또는 허수부를 가진다. 일반적으로 무리수는 실수의 부분집합으로서만 정의되므로 [math(1)], [math(-1)]을 제외한 [math(1)]의 거듭제곱근은 유리수나 무리수로 구분하지는 않는다.
1. 개요
[math(\log_23)], [math(\operatorname{lb}3)][1]대략 1.58496...에 해당하며 로그의 정의에 따라 [math(2^x=3)]을 만족시키는 [math(x)]의 값이다. 로그의 성질에서 접할 수 있는 대표적인 초월수 중 하나이다.
거듭제곱근 중 대수적 수로 표현이 안 되는 상황에서 log2(3)의 도입은 그것을 표현할 수 있게 하는 대표적인 사례로 제시된다.
2. 초월수 증명
초월수임을 증명하는 과정은 다음과 같다. 먼저 무리수임을 증명하자. 귀류법으로, [math(\log_23)]가 유리수라고 가정하자. 다시 말해 어떤 0이 아닌 정수 [math(a)], [math(b)]가 있어 [math(\log_23=\frac ab)] 일 것이다. 로그를 전개하면 [math(\sqrt[b]{2^a}=3)] 양변을 정리하면 [math(2^a=3^b)]. 가정상 [math(a)]와 [math(b)]는 0이 아닌 정수이므로 좌변은 소인수가 [math(2)], 우변은 소인수가 [math(3)]밖에 없어 해당 등식은 모순이다. 따라서 [math(\log_23)]은 무리수이다.이제 초월수임을 증명할 수 있다. 우선 [math(\log_23)]이 대수적 무리수라고 가정하자. 겔폰트-슈나이더 정리가 참임을 이용하여, 밑이 1보다 큰 자연수이고 지수가 대수적 무리수이면 이를 연산한 결과는 항상 초월수이다. 따라서 가정상 1보다 큰 자연수 [math(2)]를 밑으로 하고 [math(\log_23)]을 지수로 두면 결과값은 초월수일 것이다. 하지만 로그의 정의에 따라 밑이 [math(2)], 지수가 [math(\log_23)]일때 그 결과값 [math(3)]은 초월수가 아니므로 모순이다. 따라서 [math(\log_23)]은 초월수이다.