1. 개요
Non-Euclidean geometry · 非Euclid 幾何學유클리드가 기하학을 집대성하여 하나의 분야를 만들었는데 이를 유클리드 기하학이라 부른다. 이것은 5개의 공리로 이루어져 있으며 그 중 5번째 것을 '평행선 공준'(또는 '평행선 공리')이라고 부르는 것이다.
선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 단 하나만 존재한다.[1]
그런데 이 평행선 공준이 성립하지 않는다고 가정하더라도 아무런 모순이 없다는 것이 증명되었다.[2] 이로 인해 비유클리드 기하학이 태어났다.비유클리드 기하학 중 가장 유명한 건 해석기하학이 진화해서 생긴 분파중 하나인 미분기하학. 해석학을 이용하여 비유클리드적 기하 구성을 다루는 분야인데 수학과, 수학교육과 학생들에게 가장 어려운 과목을 꼽아보라고 하면 자주 지목되는 과목이다.[3] 특히 임용고시를 보는 수학교육과 학생들에겐 철천지원수.[4]
미분기하학의 경우 많은 수학적 문제의 해결에 쓰인다. 그중 가장 유명한 것은 푸앵카레 추측(해결됨)과 양-밀스 질량 간극 가설이다.
특이한 형태로 택시 기하학과 같은 경우도 있다.
2. 굽은 공간을 정의
굽은 공간에서는 유클리드의 평행선 공준이 조금 다르게 작동한다.
평평한 종이 지도와 지구본, 프링글스[5]를 이용해 그 차이를 쉽게 발견할 수 있다.
- 평평한 종이 지도 위에 어떤 직선이 있을 때 직선 밖의 임의의 점에서는 무조건 하나의 평행한 직선을 그릴 수 있다.(유클리드 기하학)
- 그러나 지구본 위에서는 무슨 수를 써도 어떤 직선에 평행한 직선을 그릴 수 없다.[6](구면기하학)
- 반대로 프링글스 한 조각을 집어서 같은 행동을 한다면 이번에는 무수히 많은 평행선을 그릴 수 있을 것이다.(쌍곡기하학)
2.1. 쌍곡 기하학
영어로는 hyperbolic geometry라고 부르며 '쌍곡 기하학' 또는 '쌍곡면 기하학'이라고 부른다. 쌍곡면의 기하학적 모습이 말안장과 닮았기에 '말안장 기하학'이란 표현도 일부 쓰이기도 한다. 곡률이 음이다.선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 둘 이상 존재한다.
평행선이 둘 이상 존재한다고 가정하는 기하학인데 일반적으로 평행선이 무한히 많이 존재한다고 가정한다. 직선 밖 한 점을 지나는 직선을 얼마든지 그릴 수 있는데 이 선들도 모두 평행한 직선이 되므로 무한히 많은 평행선이 존재한다.헝가리의 수학자 '보여이 야노시'와 러시아의 '니콜라이 로바체프스키[7]'가 발견하고 체계화했다. 이들의 이름을 따서 '야노시-로바체프스키 기하학'이라고 부르기도 한다. 기록[8]에 따르면 보여이가 이론을 발표한 시점에 가우스는 이미 독자 연구를 통해 쌍곡기하의 개념과 유도되는 정리 상당수를 알고 있었다고 한다.
일반적으로 쌍곡 기하학을 설명하는 모델은 3차원 상의 쌍곡면, 푸앵카레 상반평면이나 푸앵카레 원판 등이 있다.
쌍곡 기하학이 적용되는 위상 공간을 쌍곡 공간(hyperbolic space)이라고 한다.
2.2. 앙리 푸앵카레의 모형
곡률이 일정한 양수인 정칙곡면은 3차원 유클리드 공간에 구면의 형태로 나타낼 수 있으나, 곡률이 일정한 음수인 정칙곡면은 3차원 유클리드 공간에 구현할 수 없다.따라서 푸앵카레 원판과 푸앵카레 상반평면은 구면과 다르게 현실의 곡면으로 나타나는 형태가 아니라, 2차원 평면의 영역에 특정한 조건을 주어 다른 공간을 만드는 형태이다. 덕분에 처음에 받아들이기는 구면보다 쉽지 않다.
2.2.1. 푸앵카레 원반
2.2.2. 푸앵카레 반평면
Poincaré half-plane model좌표평면 중 x축 위의, 즉 y좌표가 0보다 큰 반평면 위에서 비슷하게 다음과 같은 세팅을 준다.
- 점: 열린 반평면 위의 점 (경계는 포함하지 않는다.)
- 직선: (1) y축에 평행한 직선 또는 (2) x축 위에 중심이 있는 원 중 반평면 내부에 속해있는 원호. 사실 이것도 반평면의 경계 x축과 '직교하는 원'으로 생각할 수 있다.
- 선분: 위에서 정의한 직선의 일부분
- 각: 접선이 이루는 통상적 각
- 거리: 이번에는 거리의 배율이 y좌표에 반비례한다. 즉 리만 계량은 [math(\displaystyle ds^2 = \frac{dx^2 + dy^2}{y^2})].
쌍곡기하학을 소개할 때의 예시는 주로 원반을 들지만 대학수학에서 쌍곡모델을 활용한다면 반평면의 사용 빈도가 압도적으로 높은데 활용하기가 훨씬 쉽기 때문이다. 반평면의 합동변환 군이 뫼비우스 변환을 통해 행렬군 [math(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})/\{\pm I_2\})]에 대응된다는 것도 원반 위에서는 알기 쉽지 않고 미분기하학을 넘어선 복소해석학, 심지어 정수론에서의 모듈러 형식 같은 기묘한 활용이 반평면에서 계속 생겨났기 때문. 일부 수학자들 사이에선 구면보다도 훨씬 핫한 대상일 것이다.
2.3. 타원 기하학
선 밖의 한 점을 지나 그 직선에 평행한 직선은 존재하지 않는다.
리만 가설로 유명한 수학자 베른하르트 리만에 의해서 체계화되었고 한때 그의 이름을 따 리만 기하학이라고도 불렀으나 현재는 리만 기하학이라는 용어는 휜 공간을 형식화할 수 있는 훨씬 일반적인 기하의 체계를 의미하는 용어가 되었다. 이에 따라 리만 기하는 타원 기하, 유클리드 기하, 쌍곡 기하의 모형들을 모두 포함하게 되었다. 타원 기하학에서는 평행선이 존재하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 직선은 무조건 만난다. 양의 곡률을 가진다.
타원 기하학이 적용되는 위상 공간을 타원 공간(Elliptic space)이라고 한다.
2.3.1. 구면 기하학
구면 기하학은 타원 기하학의 한 가지 특별한 형태이다. 구체의 표면에 해당하는 구면으로 구현되기에 '구면 기하학'이라고 부른다. 여기에 대응하는 위상 공간을 구면 공간(spherical space)이라고 한다.- 점: 구면 상의 각 점
- 직선: 구면 상의 각 대원(great circle). 구의 중심을 지나는 평면과 구면의 교선으로 얻어지는 반지름이 가장 큰 원호들을 말한다.
- 선분: 대원의 일부
구면 위 기하학의 연구는 의외로 역사가 오래되었는데 인류 발전에서 자연스럽게 등장한 항해와 천문학 문제를 해결하기 위해서였다. 삼각비를 써서 구면 위의 삼각형을 연구하는 구면삼각법(spherical trigonometry)은 평면삼각비를 연구하기 시작할 때부터 등장하여 중세 아라비아 때까지 상당히 발전하였다. 잘 알려지지는 않았지만 구면삼각법에는 우리가 알고 있는 각종 사인 법칙, 코사인 법칙 등의 구면 버전들 등 평면 위 삼각함수의 성질과 매우 유사한 체계가 잡혀있다. 그리고 구면기하학이 고대부터 연구되었다는 사실은 이미 수천년 전의 고대인들도 지구가 구형이라는 것을 알고 있었다는 증거이기도 하다.
예를 들어 반지름이 1인 구면에 위의 삼각형의 내각이 [math(A, B, C)], 대응하는 변의 길이가 [math(a, b, c)]라고 할 때,
- 구면 사인법칙: [math(\displaystyle \frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{ \sin C} \leftrightarrow \sin a \csc A = \sin b \csc B = \sin c \csc C)]
- 구면 코사인법칙: [math(\cos c = \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos C)]
삼각형의 넓이에 대해서는 반지름 1인 구면 기준으로 [math(S = \angle A + \angle B + \angle C - \pi)]가 성립한다. 일반적인 다각형에 대해서도 ([math(2\pi)] - 외각의 총합)이 넓이가 된다. 외각은 ([math(\pi)]-내각)에 해당하기 때문에 이 공식에 따라서 사각형은 [math(S = \angle A + \angle B + \angle C + \angle D - 2\pi)], 오각형은 [math(S = \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E - 3\pi)], 육각형은 [math(S = \angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E + \angle F - 4\pi)] 라는 것을 알 수 있게 된다. 변을 이루는 세 대원이 a, b, c라고 할 때 a와 b 사이의 각 A만큼 벌어진 영역의 넓이가 4A라는 사실을 이용하고 이 영역을 한번씩 더한 다음에 구면 전체를 빼주면 삼각형의 넓이 4배만큼이 남는다는 초등적인 증명이 있다. 이 넓이에 대해 특수한 경우로 다음 등을 확인해 볼 수 있다.
- 서로 수직하는 세 평면으로 구면을 자르면 세 내각이 90도인 삼각형 8개로 분할되는데 넓이는 [math(\displaystyle 4\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2})]이고 내각의 합은 270도가 된다. 정사면체나 정이십면체를 적용해도 이와 같이 나온다. 정사면체는 구면 상에서 내각이 120도라 [math(\displaystyle 4\frac{\pi}{4}={\pi})]가 나오며 정이십면체는 구면 상에서 내각이 72도라 [math(\displaystyle 4\frac{\pi}{20}=\frac{\pi}{5})]가 나온다.
- 삼각형의 외측도 폐곡선으로 감싸여진 부분이므로 삼각형이라 할 수 있다. (외측 삼각형의 내각) + (내측 삼각형의 내각) 은 360도 3개 즉 [math(6 \pi)]가 되는데 넓이공식에 따르면 전체에서 [math(2\pi)]가 빠지므로 구면의 넓이가 [math(4\pi)]라는 사실과 적합하다.
- 삼각형이 구면의 넓이에 비해 무시할 수 있을 정도로 작으면 유클리드 기하학의 공준에 근사하여 내각의 합은 180도에 한없이 근접한다. 물론 이건 쌍곡기하학에서도 마찬가지.
구면의 합동변환 군은 당연히 [math(\mathrm{SO}_3(\mathbb{R}))]이다. 비유클리드 기하 이후의 수학에선 이 군을 연구하는 관점 속에서 구면도 쌍곡면만큼이나 관심있게 연구되었지만 구면에 대한 연구는 비교적 수월하게 끝난 감이 있다. 라플라시안의 스펙트럼(spherical harmonics) 등등 구면 위에서의 해석학은 구면이 유한하다는 특성(정확히 말하자면 콤팩트성) 하나 때문에 엄청난 수혜를 받아 거의 완벽하게 해결되었다.
2.4. 가짜 유클리드 공간
Pseudo-Euclidean space원뿔곡선의 일반화를 위해 만든 기하학 체계이다. 원뿔곡선의 기원이 유클리드 기하학에서 출발했지만 이를 이용해 만든 기하학 체계는 유클리드 기하학과는 다르기 때문에 '가짜'가 붙었다.
3. 거리를 다르게 정의함
n차원 유클리드 공간에서 거리 [math(d)]를 정의할 땐 피타고라스 정리에 따라[math(\displaystyle d = \sqrt{\sum_{i=1}^n{\Delta x_i^2}} = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \cdots + \Delta x_n^2})]
로 정의한다.
거리를 다르게 정의하면 '최단거리'에 해당하는 직선의 형태도 달라지고 이에 따라 평행선 공준도 달라진다. 또한 원(한점에서 같은 거리에 있는 점의 집합)과 같은 도형의 모습도 달라진다.
3.1. 택시 기하학
거리를 제곱의 합으로 정의하지 않고 선형 합으로 정의한다.
[math(\displaystyle d = \sum_{i=1}^{n} {\lvert \Delta x_i \rvert} = \lvert \Delta x_1 \rvert + \lvert \Delta x_2 \rvert + \cdots + \lvert \Delta x_n \rvert)]
3.2. 민코프스키 공간
n차원 민코프스키 공간에서 거리는 다음 둘 중 하나와 같이 정의된다.[math(\displaystyle d = \sqrt{\Delta x_0^2 - \sum_{i=1}^{n-1}{\Delta x_i^2}} = \sqrt{\Delta x_0^2 - \Delta x_1^2 - \Delta x_2^2 - \cdots - \Delta x_n^2})]
또는
[math(\displaystyle d = \sqrt{- \Delta x_0^2 + \sum_{i=1}^{n-1}{\Delta x_i^2}} = \sqrt{- \Delta x_0^2 + \Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \cdots + \Delta x_n^2})]
특수상대성이론에서 정의하는 시공간이 바로 민코프스키 4차원 공간으로 여기서 부호가 다른 하나의 축(i=0)은 시간이며 광속을 곱해 [math(ct)]로 표기한다.
4. 역사
4.1. 발견
수학자들이 평행선 공준이 성립하지 않는다(하나만 있는게 아니라 무한히 있다 또는 아예 없다)고 가정하고 다른 유클리드의 공리들은 유지하며 논리를 전개시켜본 결과 전혀 모순이 없다는 것을 발견했다.제일 먼저 이를 발견하여 발표한 것으로 알려진 것은 보여이 야노시였는데 보여이는 이를 발견한 후 아버지의 친구인 카를 프리드리히 가우스에게 편지를 보내서 자랑했다. 하지만 가우스는 이미 그것을 알고있었고 보여이는 낙심한다. 실제로 가우스는 유클리드 제5공준을 빼도 기하학이 성립한다는 것을 더 이전에 발견했지만, 그걸 발표하면 "무지몽매한 자들의 짹짹거림"에 시달릴 것이 두려워 발표하지 않았다고 한다. [10] 게다가 니콜라이 로바체프스키가 동일한 내용을 이미 3년 전에 발표했다.
보여이와 로바체프스키의 이름을 따서 '보여이-로바체프스키 기하학'이라고도 부른다. 가우스는 여하튼 이 사실을 발표를 안했기 때문에 이름이 빠진 듯 싶다. 보여이, 로바체프스키, 가우스 등에 의해 발견된 이후 베른하르트 리만이 이를 집대성하여 '리만 기하학'이란 이름이 붙게 된다. 그리고 클라인을 거쳐 더욱더 정립된다.
4.2. 비유클리드 기하학 이후
리만은 위의 세 가지 기하학에 대한 논의를 병합해 크게 두 가지 방향으로 일반적으로 발전시켰다. 그 중 하나는 곡률의 개념을 통한 리만 기하학의 발전이다. 사실 위 세 기하학 - 쌍곡기하, 평면기하, 구면기하 - 의 경우 삼각형의 넓이 공식 등 많은 성질은 사실 하나의 변수로 통합될 수 있는데 유일하다시피 한 그 키 변수가 바로 곡률이다. 이 곡률의 개념은 기존의 곡선의 곡률, 곡면 위에서의 곡선의 곡률과 달리 내재적(intrinsic)이라는 점에서 차별화된다. 곡선의 곡률이나 곡면의 평균곡률 등등은 배치된 모양에 따라 바뀌어서 그 도형 자체의 기하학을 설명하긴 부적합했는데 유일하게 가우스 곡률이 그러지 않았던 것이다. 가우스가 이 사실을 '가우스의 위대한 정리'라는 이름으로 증명하긴 했지만 리만은 이것을 더욱 일반화된 차원으로 옮겨 3차원, 4차원, 그 이상인 모양에서 모든 방향으로의 곡률을 생각하는 리만 곡률 텐서의 개념을 창안해내었다.곡면의 곡률을 간단히 설명하자면 곡면 자체가 굽어 있는 정도다. 이를 이해하는 방법 중 하나는 '곡면이 커져갈 때 어떤 스케일로 팽창하는지'의 여부이다.[11] 구면 같은 경우 위에 원을 그리면 전체 모양이 안쪽으로 쪼그라들어 면적이 작아지는 반면에 쌍곡면 같은 경우 반대의 현상이 나타나는 것. 3차원 속의 곡면에 대해서 정하는 곡률벡터처럼 어떤 방향으로 굽어 있는지 등등은 사실 곡면의 외적 개념이므로 정할 수 없지만 이것을 곡면 자체의 모양이 굽어 있거나 펼쳐져 있다고 보는 것은 곡면 내적으로 정의될 수 있는 개념이다. 이것을 양의 곡률과 음의 곡률에 대응시키고 등거리사상에 대해 불변인 성질임을 엄밀하게 증명한 것이 바로 이 위대한 정리의 업적이다.
리만은 이 곡률의 개념을 3차원, 4차원 이상의 고차원 도형에서도 일반화시킬 수 있었다. 리만의 곡률 텐서는 완전히 묘사한다면 일종의 4차원 행렬로서 나타나는 꽤나 복잡한 대상이지만 그 실체는 각각의 가능한 모든 방향에 대해 가우스 곡률을 주는 것으로 생각할 수 있다. (정확히 말하면 2차원 부분공간 위에서의 특정 주대각합이 그 평면 위에서의 가우스 곡률이 된다.) 리만은 곡률을 리만 계량(Riemannian metric)만을 통해 묘사할 수 있었고 그가 교수자격 시험에서 가우스에게 제안한 이 개념은 현대 미분기하학의 시작이 되며 이는 곧 두 다양체의 부피를 곡률로 비교할 수 있다는 정리인 Volume comparison theorem으로까지 발전이 된다.
두 번째 방향은 곡면의 분류에 관한 것이었다. 쌍곡기하학, 평면기하학, 구면기하학 이 셋은 단순히 비유클리드 기하학의 가능한 예시들이 아니라 각각 곡률이 음수, 0, 양수인 경우에 대한 일종의 대표성을 갖고 있어서 이 세 기하학을 소위 space form의 universal covering이라고 일컫는다. 곡률이 곡면을 국소적으로 결정한다는 사실은 가우스가 증명했지만 그것이 대역적으로도 성립하는지는 전혀 자명하지 않았다. 하지만 곡률이 상수인 모든 다양체의 universal covering들이 위에 언급된 다양체들 뿐이라는 사실이 증명되고 더 나아가 다른 일반적인 곡면들도 저 셋 중 정확하게 하나로 나타낼 수 있다는 '균일화 정리' (uniformization theorem)가 증명되어 곡면의 경우는 평면과 더불어 위 두 가지 모델만을 통해 거리가 주어진 곡면을 묘사할 수 있다는 것을 알게 되었다. 이 균일화 정리의 함의는 '위상이 기하를 결정한다'는 메타로 발전하여 푸앵카레 추측의 후신인 서스턴의 기하화 추측(geometrization conjecture)까지 이어져 결국 이 위상수학의 난제를 기하학으로 풀게 만드는 페렐만의 풀이에 큰 기여를 한다.
세번째 방향으로 언급할 만한 이야기는 위의 단면곡률(sectional curvature)에서부터 시작한다. 리만의 단면곡률에 대한 논의는 현대 기하학에 매우 커다란 영향을 끼쳤으나 각 차원마다 section을 생각해야 되었기 때문에 한쪽 coordinate에 대한 곡률 등을 생각하기엔 까다로운 케이스였고 본질적으로 변수가 여러 개가 필요한 텐서다 보니 계산이 매우 까다로웠다. 이를 해결하기 위해 contraction이라는 선형대수학에서 나오는 주대각합을 일반화한 개념을 도입해 Ricci curvature라는 매우 좋은 도구를 제안해 냈다. 이는 나아가 상대성이론에서 중력의 작용 방향을 나타내는데 큰 역할을 하는 텐서로써 자리를 잡게 된다.
또한 곡률 텐서와 측지선 사이에서 세울 수 있는 미분 방정식도 생각해 볼 수 있는데 이를 흔히 "야코비 벡터장(Jacobi field) 라고 부르며 이는 현대 리만기하학 연구의 주 도구로 쓰이는 벡터장으로 이름이 잘 알려져 있다.
5. 영향
비유클리드 기하학은 유클리드 기하학이 전제했던 절대적인 공리란 믿음을 깨는 데에 큰 역할을 했다. 공리는 결국 구성하기 나름이고 공리 자체가 항상 완전무결한 명제가 아님을 보여주었던 것이다. 이러한 사고 방식은 이후 프레게, 러셀, 힐베르트 등이 세운 수학기초론에 큰 영향을 주었다.그리하여 1+1=2나 숫자 자체 같은 당연한 것도 재정의하여 수학을 보강하려는 움직임을 보였고 많은 수학자들이 이것이 가능하리라 믿었다. 그러나 쿠르트 괴델이 불완전성 정리를 통해 "수학적으로 완전한 체계를 구성할 수 없음"을 밝혀 수학계는 새로운 진리에 도달하게 되었다.
비유클리드 기하학은 수학의 새로운 지평을 열었지만 유클리드 기하학 자체가 논파된 것은 당연히 아니다. 가령 구면기하학에서 삼각형 내각의 합은 180도보다 크므로 유클리드 기하학의 문제로 보일 수 있지만 유클리드 기하학의 관점에서는 그것은 삼각형이 아닌 구면 위에 그려진 3개의 곡선이므로 상관 없는 일이다.
비유클리드 기하학(리만 기하학)은 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 만들어내는 데 큰 역할을 하였다. 아인슈타인은 일반 상대론에서 유도되는 시공간의 휘어짐을 수학적으로 설명하기 위해 리만 기하학을 활용하였다. 참고로 일반 상대성 이론을 만들기 전까지 아인슈타인은 리만 기하학을 잘 모른 까닭에 동료 학자 마르셀 그로스만으로부터 리만 기하학에 대해 들었다고 한다. 당시 물리학자들이 모르는 분야였기 때문에 비전공자인 아인슈타인 또한 알지 못할 수밖에 없었다.
특수 상대성 이론이 1905년 발표되었으므로 아무리 빨라도 그 무렵 일반 상대성 이론을 구상했을 텐데 리만의<Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen[12]>라는 논문이 출간된 건 리만 사후인 1868년[13]이므로 겨우 40여년밖에 되지 않은 최신 학문이었기 때문이다. 아무리 아인슈타인이 스위스에서 수학-물리 교육과정을 밟았다고 해도 잘 몰랐던게 당연한 것.
오히려 일반 상대성 이론에서 중요하게 쓰이는 리치 곡률 텐서는 1900년에 발표된 개념이다. 수학의 최신 분야를 자유롭게 논문에 써먹었다는 걸 고려하면 아인슈타인이 수학을 못하는 게 아니라는 걸 알 수 있다.[14]
6. 여담
HyperRogue라는 게임이 기본값으로 쌍곡 기하학을 따르며 맵이 푸앵카레 원반 위에 렌더링된다. 플레이하다 보면 쌍곡 기하학에 어느 정도 익숙해질 수 있다. 설정에서 푸앵카레 반평면 등 여러 가지 모형을 사용할 수 있고 맵 자체도 평면/구면 기하학을 따르게 바꿀 수 있다.크툴루 신화의 르뤼에는 비유클리드 기하학적인 구조로 이뤄져있어서 볼록해보이는 곳이 사실은 오목한 곳이었다던가 예리해보이던 곳이 사실은 둔각인 물리법칙과 상식이 박살난 장소로 묘사된다.
유튜브에 Non-Euclidean game, Non-Euclidean 3D 등으로 찾아보면 이 개념을 3D로 시각화하거나 게임으로 만들어 이해를 돕는 영상들을 찾아볼 수 있다. 그래도 우리의 직관과 동떨어진 개념이라 멍해지지만.
곰의 색깔은?라는 넌센스 문제는 비유클리드 기하학을 기반으로 만들어진 문제이다.
[1] 원래의 표현은 다르지만 현대적인 해석에서는 이 표현을 더 많이 사용하고 원래의 공준과 동치임도 증명되어 있다.[2] 이는 유클리드 공간 내에 존재하는 정칙곡면들 중에서 쌍곡기하의 공리들을 모두 만족하는 곡면이 존재함을 알게 됨으로써 드러났다. 때문에 해당 사실은 종종 '유클리드 기하에 모순이 없다면 쌍곡 기하에도 모순이 없다'는 식으로 진술되기도 한다.[3] 미적분학과 선형대수학 책을 옆에 두고 계속해서 연습해야 미분기하학을 잘할 수 있다. 미분기하에서 사용하는 계산들은 이름답게 다변수 1,2차함수와 벡터해석(선적분, 면적분, 그린 정리 등)처럼 미적분 내용들을 매우 많이 사용한다. 그리고 학부 미분기하에서 다루는 선형대수는 대부분이 2변수인 경우이다. 행렬의 고유값을 써서 행렬을 대각화할 수 있어야 한다.[4] 난이도도 난이도지만 한 문제라도 더 틀렸다간 엄청난 경쟁률로 인해 바로 재수행이기 때문에 어쩔 수 없이 미친 노가다를 감내하고 풀어야 한다.[5] 당시에는 말안장이 가장 흔한 예시였으나 현대에 가장 친숙한 쌍곡면형 물체는 프링글스이므로 쌍곡면의 예시를 들 때 교수들이 가장 많이 사용한다.[6] 마치 양파를 썰듯 평행한 원을 지구본에 그릴 수도 있지만 그 위의 임의의 두 점 사이의 거리가 최단거리가 아니므로 정의상 직선이 아니다.[7] '로바쳅스키'로 표기되기도 한다.[8] 대부분 수학자들에게 보낸 가우스의 자필 편지이며 보여이의 아버지인 파르카스 보여이에게 보낸 편지도 존재한다.[9] 구체적으로는 대원을 매개변수화시킨 후 그 위에서의 가속도 벡터가 구면과 수직. 즉 해당 벡터의 스칼라배가 구의 중심을 지나는 벡터임을 보이는 것으로 증명한다. 이는 측지선의 정의가 곡면 위에서 매개변수화시킨 단위속력 곡선의 이계도함수를 취한 벡터가 영벡터이거나 곡면과 수직일 때로 정의되기 때문이다. 원운동에서 가속도 벡터는 원의 중심을 향하므로 결국 구면에서의 측지선이란 원의 중심과 구의 중심이 일치할 때만 존재할 수 있다는건 바로 알 수 있다.[10] 비슷한 경우로 아이작 뉴턴도 프린키피아를 라틴어와 논증기하로 떡칠(비록 라틴어나 논증기하로 증명하는 것은 당시에 자주들 했지만)해서 쓴 이유가 잡놈들이 조금 안다고 설치는 꼴이 보기 싫어서라는 얘기도 있고. 쉽게 설명하는 것을 즐기던, 혹은 그것이 진정으로 현상을 이해하는 길이라 여기던 리처드 파인만도 당시 철학자들이 상대성 이론 가지고 삽질하는 꼴을 보고 빡쳤던 것을 보면 꼭 소심해서 그런 거라고 하기엔 씁쓸한 감이 있다. 역사와 전통을 자랑하는 좆문가[11] 수학적으로 정확히 설명하자면 반지름 [math(r)]인 원의 면적이 [math(\displaystyle \pi r^2 + \frac{1}{12} \pi \kappa r^4 + O (r^5))]로 나타나질 때의 [math(\kappa)]가 그 점에서의 곡률이 된다. 3차원 속의 곡면이라면 이는 가우스 곡률과 일치한다.[12] 해석 기하학의 근간을 이루는 가정에 대하여[13] 논문 자체는 스승 가우스의 권유에 따라 교수자격 시험을 위하여 1854년 괴팅겐 대학교에서 강연 형식으로 발표했었다.[14] 또한 아인슈타인은 일반 상대성 이론을 발표하면서 텐서를 표현하는 방법 중 아인슈타인 표기법을 세상에 선보였다.