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기하학

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1. 개요2. 역사3. 고전 기하학4. 현대 기하학의 갈래
4.1. 길이와 좌표, 방정식을 중심4.2. 다양한 변환 속에서 유지되는 성질 중심4.3. 공리적인 접근
5. 기하학의 정리
5.1. 평면 기하 정리
5.1.1. 기초 도형, 삼각형, 다각형5.1.2. 원과 직선 정리5.1.3. 곡선 및 사영 기하 정리
5.2. 공간 기하 정리5.3. 위상 기하 정리5.4. 대수 기하 정리
6. 영향7. 기타8. 관련 문서

1. 개요

幾何學 / Geometry / γεωμετρία

점, 직선, 곡선, 면, 부피 등 공간의 성질을 연구하는 수학 분야로써 수학의 한 분야이자 자유7과(중세 서양 대학의 7대 학문)에 속하는 학문이다. 도형을 연구한다는 수학이 바로 기하학이다.

영어 표현인 Geometry는 그리스어인 γεωμετρία로부터 왔는데, 이는 γεω~(땅), μετρία(측량)의 합성어이다. 즉 '땅의 측량', 혹은 '땅을 측량하기 위한 방법'이라는 뜻. 반면 중국어, 일본어, 한국어 등에서 쓰이는 한자 표현인 기하학(幾何學)은 동양 전통의 수학책에서 흔히 사용되던 표현인 기하(幾何: 얼마인가?)를 마테오 리치가 서광계와 함께 유클리드의 책 "Elementa"를 번역하다가 쓴 표현이다.[1]

'幾何'가 현대 중국어로는 'jǐhé(지허)'로 읽히므로 'geo-'를 음차한 표기라는 설도 퍼져 있다. 그러나 당시 라틴어나 기타 유럽 제어(諸語)에서 전설 모음 e나 i 앞의 g는 구개음화가 일어나 soft g[d͡ʒ])로 발음되었지만, 중국어에서 幾의 성모(초성)인 見母/k/ 또는 群母/ɡ/는 i 앞에서 구개음화가 일어나지 않았기 때문에 올바르지 않은 낭설이다. 즉 '幾何'는 명나라 당시의 중고음으로 [ke̯iɣɑ~ɡe̯iɣɑ]에 읽혔을 것으로 추정된다.[2] 당대 유럽 제어의 soft g[d͡ʒ]는 중국어에서 日母/ʐ/로 음역되었다.

오늘날의 기하학은 3차원까지만 시각화하는 경우가 많고 4차원 이상부터는 그런 경우가 거의 없으며 4차원 이상의 기하학 시각화는 많은 시간과 용량을 소비한다.[3]

2. 역사

기하학이 언제 시작되었는지는 알 수 없다. 또 기하학은 많은 문명에서 측량이나 건축 등에 이용되면서 발전되었기 때문에 어디서 먼저 발생하였는지를 이야기하는 것도 무의미하다. 이미 메소포타미아와 중국 등에서도 피타고라스의 정리는 널리 알려져 있었던 사실이고, 정다각형의 작도와 같은 문제도 이미 연구되어 있었다.

고대 이집트에서는 나일강이 정기적으로 범람하자 토지의 경계가 사라지는 일이 자주 발생했다. 그래서 강물이 빠질 때마다 사람들은 토지의 넓이를 새로 측정했는데, 이 과정에서 기하학 지식이 생겨났다.

역사학자 헤로도토스는 다음과 같이 기록했다.
만약 어떤 사람이 소유한 토지 일부가 강물에 휩슬려가면 국왕은 그곳에 사람을 보내 조사를 실시한다. 그리고 측량을 거쳐 유실된 면적을 정확히 계산해낸다....나는 이집트인들이 이런 과정을 통해 기하학을 이해하게 되었고 후대에 이를 그리스에게 전해 주었다고 생각한다.
―《수학의 역사》, 지즈강 지음, 권수철 옮김, 더숲, 2011

기하학의 개념은 피타고라스 등의 고대 그리스 수학자들이 연역적인 증명을 통해서 기하학을 탐구하면서 출발하였다. 기원전 300년대의 그리스 수학자 유클리드는 그의 저작 <기하학 원론>에서 선, 점, 면과 같은 몇몇 용어들[4]과 공리[5]들로 당시 알려져 있던 대부분의 정리를 연역적으로 증명하였고 이를 종합하였다. 이 기하학을 흔히 유클리드 기하학이라고도 한다.

근대적인 기하학의 모습은, 르네 데카르트의 좌표평면과 그에 따른 해석기하학적인 접근이 등장하고, 기하 문제(이를테면 3대 작도 불능 문제)를 대수적인 방법으로 풀 수 있다는 발견들이 이루어지고부터 나타나기 시작했다. 이어 평행선 공준(Parallel Postulate)이 늘 성립하지 않는 기하학도 있다는 발견도 이루어졌고, 이것을 바탕으로 하는 분야를 비유클리드 기하학이라고 부른다. 이런 발견들이 19세기 말에 완성된 집합론의 언어로 표현되면서 기하학은 현대적인 모습을 갖추게 되었다.

3. 고전 기하학

고전 기하학은 논증 기하학, 유클리드 기하학이라고도 하는데 유클리드의 원론에서 체계적으로 논의가 시작되었기 때문에 이렇게 부른다.[6] 유클리드 공리계는 체계적으로 배우는 최초의 공리계로서 공간 기하학까지 이어진다.[7]

유클리드의 방법은 직관적으로 성립하는 당연한 원리들을 공리(axiom), 도형의 성질 중에 당연히 받아들이는 성질들을 공준(postulates), 공준들을 이용해서 유도되는 원리들을 정리(theorem)라 하였다. 여기서 학자에 따라서는 아래 서술한 공리들을 common notation, 공준을 공리라고 하기도 한다. 어찌 정의하든 간에 직관적으로 성립하는 성질들이다.

원론에 입각한 기하학은 약 18세기까지도 수학의 중심이었다. 수학이 지나치게 도야적 입장으로만 발달하다 보니 실용적 측면은 소홀하게 되었고, 18~19세기가 되어서야 '수학을 사용하는' 측면적으로 학문이 발달하게 되었다.

4. 현대 기하학의 갈래

현대 기하학은 접근 방법에 따라서 다양한 분야로 나뉘었으며, 크게 세 갈래로 나눌 수 있다.

4.1. 길이와 좌표, 방정식을 중심

르네 데카르트가 발명한 좌표평면을 이용하면, 공간 위의 각 점마다 고유한 좌표를 줄 수 있고, 선과 면을 하나의 방정식으로 표현할 수 있는데, 여기에 미적분의 방법을 이용하면서 순수하게 기하학적인 방법만으로 다루기 어려운 곡선들과 곡면을 비교적 쉽게 다룰 수 있게 되었다.[8] 이런 방법은 후에 해석기하학(Analytic Geometry)을 거쳐 미분기하학(Differential Geometry)으로 이어진다. 또 선과 면을 방정식을 표현하는 것과는 반대로, 주어진 방정식을 공간 위의 곡선과 곡면으로 나타내 이 성질을 연구할 수 있는데, 이는 대수기하학(Algebraic Geometry)으로 이어진다.

4.2. 다양한 변환 속에서 유지되는 성질 중심

기하학에서는 평행이동이나 회전 대칭, 거울 대칭을 한 후에도 합동이나 수직, 교점의 존재 여부 등 기하학적인 성질이 그대로 보존된다. 또 길이를 포기하고, 모든 점의 거리를 똑같은 비율로 늘려주는 변환을 한다면, 합동은 유지되지 않지만 닮음은 유지된다. 이것을 좀 더 일반화시켜서, 원근법을 적용해 그림을 그리듯 어떤 도형을 투영해 살펴보면, 많은 기하학적인 성질이 유지되지 않지만 교차비(cross ratio)와 같은 특수한 성질과 교점의 개수 등은 유지된다. 이것보다 더 큰 범주로 길이와는 상관없이 연속적으로 도형을 변환시킬 수도 있다. 이렇게 변화를 시키면 길이 자체는 무의미해지지만, 교점의 개수 등은 여전히 유지된다. 이러한 변환들과 유지되는 성질들은 고유한 구조를 가지고 있으므로, 이런 변환 안에서 변하지 않는 고유한 성질들만을 연구할 수도 있다. 사영 속에서 유지되는 성질에 대한 연구는 파스칼과 데자르그 등에 의해 시작되어, 클라인[9] 등이 변환군 등을 이용 발전해 지금의 사영기하학(Projective Geometry)이 되었고, 오일러가 시작한 연속적인 변화에 대한 연구는 훗날 위상수학이 된다.

4.3. 공리적인 접근

사실 가장 역사가 오래된 영역으로 다른 기하학 과목과 구별해서 논증 기하학(Logic Geometry)이라고 한다.

유클리드의 다섯 번째 공준은 다른 수학자들이 보기에는 무한히 연장이라는 표현으로 인해 직관적이지 못 하기 때문에, 그 전에 언급한 네 개의 공준을 통해 증명 될 것으로 보았다. 하지만 수많은 수학자가 도전했으나, 평행선 공준의 증명은 나타나지 않았다.

다만 그와 동치인 명제만이 여럿 발견되었다. 가장 유명한 것은 플레이페어가 발견한 것으로 "한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 하나뿐이다." 설명을 쉽게 하려는 기하학 책에서는 오히려 이것을 평행선 공준이라고 서술해 놓은 것도 있다. 유클리드 제5공준은 설명이 너무 비직관적이고 어렵기 때문.

다른 예들은 "삼각형의 내각의 합은 두 직각(180도)과 같다." 같은 것들이 있으며 평행선 공준을 사용하지 않으면 "삼각형의 내각의 합은 180도 보다 작거나 같다"고 증명[10]할 수는 있지만 180도라는 증명은 불가능했다.

보여이, 로바체프스키, 가우스와 같은 수학자는 평행선 공준이 성립하지 않는다고[11] 가정하고, 다른 유클리드의 공리들은 유지하며 논리를 전개해본 결과 전혀 모순이 없다는 것을 발견했다.[12][13] 후에 리만이 리만기하학을 완성하고 클라인을 거쳐 비유클리드 기하학이 정립된다.

이렇게 공리를 통해 기하학 원리를 탐구하는 방식은 수학자 힐베르트가 칸토어의 집합론을 이용해 공리적 기하학(Axiomatic Geometry)으로 완성된다.[14]

수학사적으로 봐서도 이 평행선 공준에 대한 논란은 수리철학적으로 큰 의미를 갖는데, 평행성 공준이 성립하지 않는 비유클리드 기하학과 함께 나중에는 칸토르의 집합론에 의해 유클리드의 제5공리(전체는 부분 보다 크다)가 성립하지 않을 수도 있음(정수는 자연수보다 크지만 크기는 같다)이 알려졌다.

그렇다면 "절대적으로 참인 수학적인 원리가 존재할까?"라는 본질적인 물음이 나왔는데 여기에 '절대주의' 수리철학은 수학적 지식은 절대적으로 확실한 진리라고 보는 관점으로, 주요한 관심사는 수학적 진리의 안전한 기초를 확립하는 것이었다. 그래서 논리주의는 수학을 논리로 환원하여 논리 위에 세우고자 하였다. 직관주의는 직관으로 인해 기본적인 수학적인 개념과 정리가 자명하게 되는 것이라고 주장하였다. 형식주의는 정해진 규칙에 따라 이루어지는 일종의 체계라고 보았다. 수학의 기초를 확립하려는 시도가 만족스럽지 않게 된 이후, 수학의 절대성에 의문을 던지게 되었으며, 불완전성 정리에 의해 '완전한 수학체계'란 존재하지 않는다고 결론이 났다.

5. 기하학의 정리

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기하학의 정리를 목록으로 나열하였다. 나무위키에서는 관련 내용이 상당히 부실하여 영문 위키피디아로 링크를 걸어두었으니 재량껏 찾아보기 바란다. 참고로 기하학에는 창안자의 이름이 붙은 정리가 많은데, 이건 그 사람의 이름이 생소할 뿐이지 정리의 내용 자체가 어렵다는 의미는 아니다.
※ 아래 나열 순서는 비교적 쉬운 순서로 나열했으므로 편집 시 유의할 것.

5.1. 평면 기하 정리

5.1.1. 기초 도형, 삼각형, 다각형


5.1.2. 원과 직선 정리

5.1.3. 곡선 및 사영 기하 정리

5.2. 공간 기하 정리

5.3. 위상 기하 정리

5.4. 대수 기하 정리

6. 영향

비유클리드 기하학은 물리적이지 않은 추상적인 객체로 여겨졌으나, 로렌츠나 아인슈타인 이후로 현실이 유클리드 기하보다는 쌍곡기하학에 더 적합하다는 것이 밝혀져 물리학에도 큰 영향을 미쳤다.

또한, 기하학에서 파생된 위상수학은 위상부도체, 분자생물학의 매듭이론 접목 등 이전과는 다른 새로운 연구 방향을 제시하고 있다.

7. 기타

간혹가다 "동양에는 기하학이 없었다!"는 주장을 하는 사람들이 있는데, 사실이 아니다. 오히려 중국에서는 기하학에 대한 가장 오래된 기록이 기원전 330년경의 것이며, 정황상 그 이전에도 훨씬 많은 연구가 있었지만 분서갱유로 대부분이 유실되었다는 설이 유력하다.

幾何學이라는 한자어가 앞에 있는 개요 항목에 설명하듯이 기하(幾何)라는 단어가 그 전에 있었던 단어였지만, 한편으로는 Geometry의 음차한 단어였다는 설이 있다.[32] 동양에는 기하학이 없었기 때문이 아니다. 기하학의 경우 동양에서는 항상 건축학의 일부분으로만 연구되었지만, 서양에서는 기하학을 지적 유희의 일종으로 여겼던 고대 그리스의 영향으로 아예 자유칠과 중 하나로 편입되었기 때문에 독자적 개념으로 설명할 필요가 있었다. 그마저도 고대인들에게 있어 건축이라는 분야는 항상 종교와 밀접한 관련이 있는 것으로 여겨졌다.

사실 기하학은 토지측량과 정리에 쓰이는 아주 실용적인 학문이기 때문에, 문명이 발전한 지역에는 당연히 존재한다.

2021학년도 대학수학능력시험 가형 출제 범위에서 <기하>가 제외되었다. 수학 학습부담을 줄인답시고 빼버렸는데, <기하>는 이공계에서 중요한 내용이다. 당연히 과학기술단체와 컴퓨터, 이공계 인력을 고용하는 업계에서 반발했고, 결국 2022학년도 대학수학능력시험에서 선택과목으로 재지정, 제한적으로나마 수능 시험에 포함했다. 그리고 이렇게 범위를 줄일수록 개념 학습 부담은 줄어들지만, 좁은 범위에서 어떻게든 분별력을 만들어야 하기 때문에 수능 난이도가 높아지게 되며, 일부 문제들은 비정상적으로 어려워질 수 밖에 없기 때문에 학습 부담은 오히려 더 늘어난다. 자세한 내용은 수포자 문서 참고.
μὴ εἶναι βασιλικὴν ἀτραπὸν ἐπί γεωμετρίαν. (고전 그리스어)
Non est regia ad Geometriam via (라틴어)
기하학에는 왕도(王道)가 없습니다.
There is no Royal Road to Geometry.
유클리드[33][34]

8. 관련 문서


[1] 해당 저서는 "기하원본(幾何原本)"이라는 이름으로 번역되었는데, 1권 첫머리에 "무릇 역법·지리·악률·산장·기예·공교 등 여러 가지 도(度)와 수(數)를 다루는 분야는 모두 십부(十府)에 의뢰할 때 그 가운데 기하부(幾何府)에 속한다"는 말이 나온다. 여기서 '도'는 자나 저울로 재는 연속 수량(連續數量)을 의미하며, '수'는 세는 개념인 이산 수량(離散數量)을 의미한다. 또 '10부'란 아리스토텔레스가 제시한 열 개의 카테고리를 뜻하며 그중 두 번째 카테고리가 'peson(영어로 'how much'에 가까운 의미)'인데 이를 같은 의미의 한문 표현 '기하(幾何)'로 옮긴 것. #[2] 베른하르트 칼그렌의 재구에 따름.[3] 단, 4차원 이상의 기하학 시각화가 반드시 용량을 많이 소모하는 건 아니다[4] 수학적인 표현은 아니지만, 직관적으로 이해가 가능한 말을 사용했다. 두께와 길이가 없는 것이 점, 두께가 없는 것이 선, 선 중에서 곧게 뻗은 것이 직선, 이런 식이다.[5] 두 점을 지나는 직선은 하나이다 등[6] 그렇다고 저 두개의 기하학의 의미는 미묘하게 다르다. 보통 고전 기하학을 논증 기하학 쪽으로 무게를 두고 유클리드 기하학은 유클리드 공간을 다루는 모든 기하학 하위 학문을 뜻하는 경우가 많다.[7] 수학사적으로 본다면 체의 공리 같은 것들은 너무나 당연하게 사용했기 때문에 본격적으로 연구하기 시작한 것은 얼마 안 된다.[8] 이미 아르키메데스는 구분구적법과 비슷한 방법으로 구의 부피와 표면 넓이를, 페르마는 극한과 유사한 방법으로 접선을 구해냈다. 그러나 더 일반적인 방법으로 발전한 것은 이때.[9] 클라인의 병의 그 클라인 맞다.[10] 귀류법을 쓴다. 내각의 합이 180도 보다 큰 삼각형이 존재한다고 가정한 후에 모순을 찾음.[11] 한 직선과 평행이고 그 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나는 직선은 두 개 이상 존재한다, 또는 이러한 직선은 존재하지 않는다.[12] 가우스는 유클리드 제5공준을 빼도 기하학이 성립한다는 것을 발견했지만, 그걸 발표하면 "무지몽매한 자들의 짹짹거림"에 시달릴 것이 두려워 발표하지 않았다고. 사실 아이작 뉴턴도 프린키피아를 라틴어와 논증기하로 떡칠(비록 라틴어나 논증기하로 증명하는 것은 당시에 자주들 했지만)해서 쓴 이유가 잡놈들이 조금 안다고 설치는 꼴이 보기 싫어서라는 얘기도 있고, 쉽게 설명하는 것을 즐기던, 혹은 그것이 진정으로 현상을 이해하는 길이라 여기던 리처드 파인만도 당시 철학자들이 상대성 이론 가지고 삽질하는 꼴을 보고 빡쳤던 것을 보면 꼭 소심해서 그런 거라고 하기엔 씁쓸한 감이 있다.[13] 실제로 보여이 야노시라는 수학자가 제 5공준을 바꿔서 생각해서도 모순이 없는 공간을 만들 수 있다는 걸 발견한 후 그의 아버지의 친구인 가우스에게 편지를 보내서 자랑했지만, 가우스는 이미 그것을 알고 있었고, 보여이는 낙심하게 된다. 게다가, 로바체프스키가 이미 3년 전에 그와 일치되는 내용을 발표했다.[14] 공리적 기하는 유한한 점과 선으로 이루어진 공간이라든지, 다른 공리를 이용할 때 등장할 수 있는 공간 등에 대해서 연구한다.[15] '이등변 삼각형'의 내용을 외각 법칙과 연계하여 확장한 도형이다.[16] 일본에서 건너 온 용어인 '파푸스의 중선 정리'로 잘못 알고 있는 경우가 많으므로 유의(수학의 정석이 원인인 것으로 보임)[17] 이전에 해당 주석에서 '체바'가 한국과 일본에서만 통용되는 독법이라고 했으나, 이는 옳지 않은 진술이다. 이탈리아어에서도 Ceva를 '체바'로 읽는다. (협주곡을 뜻하는 이탈리아어 Concerto를 '콘체르토'라고 읽는다는 것을 생각해 보자.) 오히려 영어권에서 '시바'에 가까운 발음으로 읽는다.[18] 다른 나라 교육과정에서는 모두 다루고 있는데 희한하게도 우리나라랑 일본만 없다.[19] 우리나라에만 존재하는 용어.[20] Centroid는 무게중심과 질량중심을 아울러서 이르는 말이다.[21] 참고로 많은 유럽 국가에서는 중학교 때 거의 필수로 배운다. 우리나라에서는 이 일정 코드 정리를 직접적으로 다루지 않고, 법칙이 적용된 도형을 그냥 문제에 간접적으로 제시하는 편이다.[22] 대한민국 대학수학능력시험 계열의 교육청 모의고사 수학 영역(수리 영역)에 자주 출제되었던 도식이다.[23] 정규 교육과정에 속해있지는 않지만 대학수학능력시험 수학 영역에 출제되었던 도식이다. 다만 증명에 '쌍곡선 함수'가 쓰이기 때문에 고등학교 일반선택과정만의 지식으로는 이해할 순 없다.[24] '세르보어(Servoi) 정리'는 우리나라에서만 사용하는 용어이다. 이 정리의 정식 명칭은 Other properties of the nine-point circle인즉 '원의 아홉 점의 다른 성질'이나, 기하학을 공부하는 사람들 사이에서 '세르보어 정리'로 통용되므로 이곳에도 '세르보어 정리'로 작성한다.[25] 5원 정리와 융합하여 중국판 수능인 가오카오에 출제된 적이 있다. '대륙 수학 문제의 위엄'이라는 제목으로 한 때 유행을 타기도 했다. 해당 게시물 그러나 그림이 복잡하게 주어졌을 뿐 정리만 제대로 알고 시험장에 들어갔다면 그렇게 어렵지 않은 편.[26] '길이가 같은 폐곡선들 중 가장 큰 넓이를 갖는 도형은 원이다.'는 간단한 정리인데 엄밀한 증명은 19세기에 와서야 이루어졌다.[27] 피타고라스 정리를 공간으로 확장한 것이다[28] 공간에서 세 수선에 대한 정리이다[29] 코만디노는 이탈리아의 기하학자이므로 이탈리어 발음으로 표기하였다. 영어식으로 발음하면 '커맨디노우'에 가깝다.[30] 항목을 보면 알겠지만 단순히 위치를 옮기고 줄을 말거나 펴기만 하는 단순한 내용의 정리이다.[31] '임의의 폐곡선은 평면의 안팎을 나눈다'라는 초등학생도 알 법한 정리(...). 다만 이것을 증명하는 것은 매우 어렵다! 임의의 폐곡선에는 코흐 곡선 같은 특수한 사례 역시 포괄해야 하기 때문.[32] 그리스어를 직접 옮긴 표현이라는 설도 있다. 링크 참고.[33] 프톨레마이오스 왕조의 국왕인 프톨레마이오스 1세가 유클리드에게 수학을 배우고 있었는데, 어느 날 기하학을 쉽게 배우는 방법은 없냐며 질문하자, 유클리드가 '사람이 다니는 길에는 왕께서 다니는 길이 있지만, 기하학에는 그런 왕의 길(王道)이 없습니다.'라고 대답했다는 이야기가 있다. 메네쿰스나 아리스토텔레스가 하는 버전도 있다.[34] 실제로 초등학생/중학생 수준에서는 기하학이 시각적으로 쉽게 표현이 가능한 대상만을 다루기에 수학 중 가장 친숙하고 쉽게 느껴지는 파트로 받아들여지는 경우가 많지만, 사실 중학교 과정에서도 기하가 제일 어렵다. 2학기마다 배우는 기하학은 바로 논증기하학이기 때문.고등학교에서 기하로 도형과 좌표가 결합되는 해석기하학을 처음 만나보게 되면서 "기하학이 이런 거였나" 하는 회의에 빠지고, 학부 과정에서 미분기하학을 접하다보면 이 노가다가 무슨 놈의 기하학인가(...) 하는 심각한 환멸마저 느끼게 된다. 특히 수학교사를 꿈꾸는 사람이라면 이 말이 뼈저리게 느껴질 것이다.

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