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1. 개요
Riemannsche Mannigfaltigkeit / Riemannian manifold / Riemann 多樣體미분기하학에서, 리만 다양체는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운동 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemannian geometry)이라고 한다. 물리학(Physics)에서 시공간(spacetime)등의 차원을 다루는 장치로도 사용한다.
2. 리만-크리스토펠 곡률 텐서
리만 다양체(Riemannian manifold)에서 곡률(curvature)을 표현할 수 있는 텐서(tensor)이다.
3. 물리학 아이디어
현실에서 구체를 다루어보기위해 작고 매끄러운 유리구슬을 상상해볼수있다.
그럼 이제 이렇게 매끄러운 유리구슬을 우리가 살고있는 지구 크기만큼 확장해 확대해보자.
여전히 나(I)라는 존재 크기는 그대로 일때 이제 작고 매끄러운 유리구슬이 엄청나게 커져있는 지구만한 크기의 유리구슬위 한점을 상상해보자.
내가 바라보는 지구 크기의 매끄러운 유리구슬의 표면(surface)은 직선처럼 보이는 수평선일 것이고 내가 서있는 한 점(point)은 그 수평선의 한 점일것이다.
그렇다면 이러한 맥락의 아이디어에서 표면의 매끄러운 곡선이 한점과 다른 한점을 잇는 직선처럼보이는 수평선과 공존한다는것을 이해해볼수있다.