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1. 개요
Riemannsche Mannigfaltigkeit / Riemannian manifold / Riemann 多樣體미분기하학에서, 리만 다양체는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운동 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemannian geometry)이라고 한다. 물리학(Physics)에서 시공간(spacetime)등의 차원을 다루는 장치로도 사용한다.
2. 리만-크리스토펠 곡률 텐서
리만 다양체(Riemannian manifold)에서 곡률(curvature)을 표현할 수 있는 텐서(tensor)이다.
3. 물리학 아이디어
현실에서 구체를 다루어보기 위해 작고 매끄러운 유리구슬을 상상해볼 수 있다. 그럼 이제 이렇게 매끄러운 유리구슬을 우리가 살고 있는 지구 크기만큼 확장해 확대하면 된다.
여전히 나(I)라는 존재의 크기는 그대로일 때, 지구만한 크기로 커진 매끄러운 유리구슬 위의 한 점을 상상해보자. 내가 바라보는 지구 크기의 매끄러운 유리구슬의 표면(surface)은 직선처럼 보이는 수평선일 것이고 내가 서있는 한 점(point)은 그 수평선 위의 한 점일 것이다.
그렇다면 이러한 맥락에서 표면의 매끄러운 곡선이 한 점과 다른 한 점을 잇는 직선처럼 보이는 수평선과 공존한다는 것을 이해해볼 수 있다.