위상 공간

1. 개요

2. 정의

[증명]

(1) [math( \emptyset , X )]가 열린집합이므로 [math( \emptyset = X \setminus X )]와 [math( X = X \setminus \emptyset )]은 모두 닫힌집합이다.
(2) 닫힌집합족 [math( \{C_{\alpha}:\alpha\in I \})]를 생각하자. 그러면 어떤 열린집합 [math( O_{\alpha} )]들이 존재하여 [math( \{C_{\alpha}:\alpha\in I \} = \{X \setminus O_{\alpha}:\alpha \in I \} )]이다. 이들의 교집합은 드 모르간 법칙에 의해 [math(\displaystyle \bigcap_{\alpha\in I} C_{\alpha} = \bigcap_{\alpha\in I} (X \setminus O_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha\in I} O_{\alpha})]가 성립하고, 위상의 정의에 의해 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I} O_{\alpha})]가 열린집합이므로 [math({\displaystyle X \setminus \bigcup_{\alpha\in I} O_{\alpha}})]는 닫힌집합이다. 따라서 [math(\displaystyle \bigcap_{\alpha\in I} C_{\alpha} )]는 닫힌집합이다.
(3) (2)와 유사한 방식으로 증명한다. 유한 닫힌집합족 [math( C_1 , \cdots , C_n )]들은 어떤 열린집합들 [math( O_1 , \cdots , O_n )]이 존재하여 [math( C_1 = X \setminus O_1, \cdots , C_n = X \setminus O_n)]이다. 이들의 합집합은 [math(\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} C_{i} = \bigcup_{i=1}^{n} (X \setminus O_{i}) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} O_{i})]가 성립하고, 위상의 정의에 의해 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} O_{i})]가 열린집합이므로 [math(\displaystyle X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} O_{i})]는 닫힌집합이다.

3. 내부, 폐포, 경계 , 극한점

3.1. 내부

[증명]

(1) [math( A )]에 포함되는 열린집합들의 집합족을 [math( \mathcal{O}_A )]라 하자. 그러면 [math(\displaystyle \mathrm{int}A = \bigcup \mathcal{O}_A )]이다. [math( \mathcal{O}_A )]는 열린집합족이고 따라서 [math( \mathrm{int}A )]는 열린집합이다.
(2) (1)과 같은 정의를 사용하자. 열린집합 [math( U )]가 [math( U \subset A )]라 하면 [math( U \in \mathcal{O}_A )]이다. 그러면 [math(\displaystyle U \subset \bigcup \mathcal{O}_A = \mathrm{int}A )]이 성립하므로 증명이 끝난다.
(3) [math( X )]가 모든 점의 근방임을 보이면 충분하다. 먼저 [math( X )]의 점 [math( a )]를 잡자. 그러면 [math( a \in X \subset X )]가 항상 성립한다. [math( X )]가 열린집합이므로 [math( X )]는 [math( a )]의 근방이다.
(4) [math( \mathrm{int}A )]는 [math( A )]에 포함되는 열린집합들의 합집합이다. 즉, [math( A )]에 이미 포함된 것들의 합집합이므로 합집합 결과도 [math( A )]에 포함되어야 한다.
(5) (4)에 의해 [math( \mathrm{int}(\mathrm{int}A) \subset \mathrm{int}A )]가 성립한다. 반대로, [math( x \in \mathrm{int}A )]라 하자. 그럼 어떤 열린집합 [math( O )]는 (1)에 의해 [math( x \in O \subset \mathrm{int}A \subset A )]를 만족한다. 자연히 [math( O )]는 [math( x \in O \subset \mathrm{int}A )]를 만족하고, 따라서 [math( x \in \mathrm{int}(\mathrm{int}A) )]이다.
(6) [math( A \subset B )]일 때 [math( A )]가 점 [math( a )]의 근방이면 [math( B )]가 [math( a )]의 근방임을 보이면 충분하다. 그럼 어떤 열린집합 [math( O )]가 [math( a \in O \subset A \subset B )]를 만족한다고 하자. 자연히 [math( O )]는 [math( a \in O \subset B )]를 만족한다. 따라서 [math( B )]는 [math( a )]의 근방이다.
(7) (6)에 의해 [math( \mathrm{int}(A \cap B) \subset \mathrm{int}A )] 그리고 [math( \mathrm{int}(A \cap B) \subset \mathrm{int}B )]이므로 [math( \mathrm{int}(A \cap B) \subset \mathrm{int}A \cap \mathrm{int}B )]가 성립한다. 반대로, [math( \mathrm{int}A \cap \mathrm{int}B )]는 열린집합이면서 [math( A \cap B )]에 포함되므로, (2)에 의해 [math( \mathrm{int}A \cap \mathrm{int}B \subset \mathrm{int}(A \cap B))]가 성립한다.
(8) (6)에 의해, 임의의 [math( \alpha )]에 대해 [math(\displaystyle \mathrm{int}A_{\alpha} \subset \mathrm{int}(\bigcup_{\alpha}A_{\alpha} ) )]이므로, [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha}\mathrm{int}A_{\alpha} \subset \mathrm{int}(\bigcup_{\alpha}A_{\alpha} ) )]가 성립한다.

3.2. 폐포

3.2.1. 극한점

[증명]

증명의 핵심은 직전의 논의와 같이 [math( O )]가 어떤 [math( E )]의 원소를 갖는다면, [math( O \subset U )]인 [math( U )]또한 [math( E )]의 원소를 갖는다는 것이다.

먼저 [math( a )]가 [math( A )]의 극한점이면 임의의 [math( a )]의 열린근방에 대해 [math( (O \setminus \{a \}) \cap A \ne \emptyset )]을 만족하므로 [math( a )]의 열린근방들에 속하는 [math( a )]의 국소기저의 원소들에 대해 [math( (B \setminus \{a \}) \cap A \ne \emptyset )]을 만족한다.

반대로, 임의의 [math( B \in \mathcal{B}_a )]에 대해 [math( (B \setminus \{a \}) \cap A \ne \emptyset )]을 만족한다면 [math( a )]가 [math( A )]의 극한점임을 보이자. 임의의 [math( B \in \mathcal{B}_a )]에 대해 성립하는 성질이 임의의 [math( a )]의 열린근방으로 확장할 수 있음을 보이면 된다. 그러므로 [math( a )]의 임의의 열린근방 [math( O )]를 잡자. 이때, [math( O )]에 포함되는 어떤 국소기저의 원소 [math( B(\subset O) )]가 존재한다. 가정에 의해 [math( B )]가 [math( A \setminus \{a \} )]의 원소를 포함하므로, [math( B \subset O )]인 [math( O )]또한 [math( A \setminus \{a \} )]의 원소를 포함한다. 따라서 [math( a )]는 [math( A )]의 극한점이다.

[증명]

([math( \Longrightarrow )]) [math( A )]가 닫힌집합이라 하자. 그러면 점 [math( a )]가 [math( A )]에 속하지 않으면 [math( A )]의 극한점이 아님을 보이면 충분하다. 그래서 [math( a \in X \setminus A )]를 가정하면, [math( X \setminus A )]는 열린집합이고 [math( A )]의 원소[25]를 전혀 포함하지 않는다. 따라서 [math( a )]는 [math( A )]의 극한점이 아니다.
([math( \Longleftarrow )]) 이번엔 [math( A )]가 [math( A )]의 극한점을 모두 포함한다고 하자. 최종적으로 [math( X \setminus A )]가 열린집합임을 보일 것이다. [math( a \in X \setminus A )]인 점 [math( a )]를 잡으면 [math( a )]는 [math( A )]의 극한점이 아니다. 따라서 각 [math( a \in X \setminus A )]마다 [math( A )]의 원소를 포함하지 않는 열린집합 [math( O_a )]가 존재한다.[26] 따라서 각 [math( a )] 마다 [math( O_a \subset X \setminus A )]이므로 [math( X \setminus A )]는 이러한 열린집합 [math( O_a )]들의 합집합이고 [math( X \setminus A )]는 열린집합이다.

[증명]

[math( ( A \cup A' \subset \overline{A} ) )] [math( A )]를 포함하는 닫힌집합 [math( F )]를 생각하자. [math( F )]는 [math( A )]와 [math( A' )] 모두를 포함해야 하므로 [math( A \cup A' \subset F )]이다. 폐포 [math( \overline{A} )]는 이러한 [math( F )]들의 교집합이므로 포함관계는 유지된다. 따라서 [math( A \cup A' \subset \overline{A} )]이다.
[math( ( \overline{A} \subset A \cup A' ) )] [math( A \cup A' )]는 자명히 [math( A )]와 [math( A' )]를 포함하므로 [math( A )]를 포함하는 닫힌집합이다. 이때 [math( \overline{A} )]는 이러한 닫힌집합 중 가장 작으므로, [math( \overline{A} )]는 [math( A \cup A' )]에 포함되어야 한다.

[증명]

[math( \overline{A} = A \cup A' )]가 성립함을 활용하여 증명한다.
([math( \Longrightarrow )]) 위의 논의에서 보았던 내용 그대로 보이면 된다.
([math( \Longleftarrow )] ) [math( x )]의 열린근방 [math( O )]가 [math( O \cap A \ne \emptyset )]이라면 [math( O = (O \setminus \{a \}) \cup \{a \} )]이므로 식 [math( O \cap A \ne \emptyset )]의 경우를 두 개로 쪼개서 반드시 [math( (O \setminus \{a \}) \cap A \ne \emptyset )] 거나 [math( \{a \} \cap A \ne \emptyset )] 중 하나가 성립한다. 즉, '[math( (O \setminus \{a \}) \cap A \ne \emptyset )] 또는 [math( \{a \} \cap A \ne \emptyset )]'이다. 이때 전자는 [math( x \in A' )] 와 동치, 후자는 [math( x \in A )]와 동치이므로 결국 [math( x \in A \cup A' )]이다.

[증명]

극한점에서의 증명과 똑같이 하면 된다. 먼저 [math( a \in \overline{A} )]라면 국소기저의 원소 또한 열린근방들이므로, [math( B \cap A \ne \emptyset )]가 성립하는 것은 자명하다.

반대로, 임의의 [math( B \in \mathcal{B}_a )]에 대해 [math( B \cap A \ne \emptyset )]을 만족한다고 하자. 그러면 [math( a )]의 모든 열린근방 [math( O )]에 대해 [math( O )]에 포함되는 어떤 [math( B \in \mathcal{B}_a )]가 존재하고, 가정에 의해 [math( B )]가 [math( A )]의 원소를 포함하므로 [math( ( B \subset ) O )]또한 [math( A )]의 원소를 포함한다. 따라서 [math( a \in \overline{A} )]이다.

3.2.1.1. 수열

[증명]

[math( (a_n) )]이 [math( x )]로 수렴할 때 새로운 성질이 성립하는 건 자명하므로, 반대로 새로운 성질이 성립할 때 실제로 [math( (a_n) )]이 [math( x )]로 수렴함을 보이자. 따라서 [math( x )]의 임의의 열린근방 [math( O )]를 잡으면 [math( \mathcal{B}_x )]가 국소기저이므로, [math( O )]에 포함되는 [math( \mathcal{B}_x )]의 원소 [math( B (\subset O) )]가 존재한다. 이때 가정에 의해 [math( \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{s.t.} \quad N<n \Rightarrow a_n \in B )]이고, [math( a_n \in B )]이면 [math( a_n \in O )]이므로 대체하면 [math( \exists N \in \mathbb{N} \quad \text{s.t.} \quad N<n \Rightarrow a_n \in O )]가 성립하며, [math( x )]의 임의의 열린근방에 대해 이것이 성립하기 때문에 수열 [math( (a_n) )]은 [math( x )]로 수렴한다.

[증명]

위상공간 [math( X )]가 위에서 소개한 가산 개의 점을 분리할 수 있는 공간이라고 하자. 그리고 [math( X )]의 수열 [math( (a_n) )]을 잡자. [math( (a_n) )]의 극한값이 유일하게 존재함을 보이기 위해 귀류법으로 [math( (a_n) )]이 [math( X )]의 서로 다른 두 점 [math( x,y )]로 수렴한다고 하자. 먼저 [math( x,y )]중 하나인 [math( y )]를 선택하고, [math( y \in U )]의 임의의 가산 부분집합 [math( A \subset U )]에 대해 [math( O \cap A = \emptyset )]인 [math( x )]의 열린근방 [math( O )]가 존재하는 이러한 [math( y )]의 열린근방 [math( U )]가 존재한다. [math( (a_n) )]이 [math( y )]로 수렴하므로, 어떤 [math( N \in \mathbb{N} )]이 존재하여 [math( N<n )]이면 [math( a_n \in U )]이다. 이러한 [math( a_n )]들의 집합을 [math( A = \{a_n: N<n \} )]이라 하자. 그러면 [math( A )]는 [math( U )]의 가산 부분집합이다. 따라서 [math( A )]에 대해 [math( U )]의 조건을 이용할 수 있다. 즉, [math( O \cap A = \emptyset )]인 [math( x )]의 열린근방 [math( O )]가 존재한다. [math( A )]의 원소가 [math( O )]에 포함되지 않으므로 이러한 [math( O )]는 [math( N<n )]인 모든 자연수 [math( n )]에 대해, [math( a_n \notin O )]이기 때문에 [math( O )]에서는 [math( M<m \Rightarrow a_m \in O )]인 자연수 [math( M )]이 존재할 수 없다.[35] 따라서 [math( (a_n) )]은 [math( x )]로 수렴하지 않는다. 이는 가정에 모순이므로, 결국 [math( (a_n) )]은 서로 다른 두 점으로 동시에 수렴할 수 없다.

[증명]

[math( x )]의 임의의 열린근방 [math( O )]에 대해 [math( a_i \in O )]인 수열의 원소 [math( a_i )]를 잡을 수 있다. 이때, [math( a_i )]는 [math( x )]가 아닌 [math( A )]의 원소이므로, 정리하면 [math( x )]의 임의의 열린근방은 [math( x )]가 아닌 [math( A )]의 원소를 포함한다. 따라서 [math( x )]는 [math( A )]의 극한점이다.

[증명]

아까 정리와 정확히 같은 방법으로 증명하면 된다. [math( x )]의 임의의 열린근방이 수열의 원소 [math( a_i \in A )]를 포함하므로 정리하면 [math( x )]의 임의의 열린근방이 [math( A )]의 원소를 포함한다. 따라서 [math( x \in \overline{A} )]이다.

[보완하는 방법들]

- 첫째, [math( x )]가 [math( A )]의 극한점일 때, [math( x )]로 수렴하는 [math( A \setminus \{x \} )]의 수열을 구성할 수 있는 위상공간을 제공한다.

어떤 위상공간은 실수와 다르게 비가산 개의 원소들은 [math( x )]로 점점 가까이 다가갈 수 있지만 가산 개의 원소만으로는 다가갈 수 없다. 따라서 가산 개의 원소로도 [math( x )]에 접근할 수 있는 위상공간을 찾자. [math( x )]가 [math( A )]의 극한점이라 할 때, [math( x )]로 수렴하는 [math( A \setminus \{x \} )]의 수열을 구성하는 과정을 묘사해보자. 먼저 [math( x )]의 근방 [math( O_1 )]을 잡는다. [math( A )]의 극한점이므로, [math( a_1 \in O_1 )]인 [math( a_1 \in A \setminus \{x \} )]가 존재한다. 이를 수열의 첫 번째 원소로 삼는다. [math( x \in O_2 \subset O_1 )]인 더 작은 근방을 잡는다. 마찬가지로 [math( a_2 \in O_2 )]인 [math( a_2 \in A \setminus \{x \} )]가 존재한다. 이 과정을 반복하면 [math( x )]의 근방 [math( O_1 \supset O_2 \supset O_3 \cdots )]들과 수열 [math( \{a_n \}_{n=1}^{\infty} )]이 만들어진다. 그러나, 일반적인 위상공간에서는 [math( x )]의 근방들 [math( O_1 \supset O_2 \supset \cdots )]보다 더 작고 수열 [math( a_n )]들을 전혀 포함하지 않는 [math( x )]의 근방 [math( U )] [math( \sf{s.t.} )] [math( \forall n \in \mathbb{N}, U \subset O_n )]이 존재할 수도 있기 때문에 수열 [math( \{a_n \}_{n=1}^{\infty} )]이 [math( x )]로 수렴한다는 보장이 없다. 여기서 아이디어는 수열 [math( \{a_n \}_{n=1}^{\infty} )]가 [math( x )]로 수렴하지 못하게 만드는 요인 '모든 가산 개의 [math( x )]의 근방 [math( O_1 \supset O_2 \supset \cdots )]보다 더 작은 근방 [math( U )]가 존재한다.'을 없애버리는 것이다. 즉, 위상공간이 다음과 같은 성질을 만족한다고 하자. "가산 개의 [math( x )]의 근방 [math( O_1 \supset O_2 \supset \cdots )]이 존재하여 이것들보다 더 작은 열린집합을 잡을 수 없다." 이때, 이들보다 더 작은 근방이 존재하지 않는 [math( x )]의 열린근방들의 모임이 바로 [math( x )]의 국소기저이므로, 이 조건은 가산 국소기저를 가짐 즉 [math( X )]는 제1가산이다로 해석된다. 지금까지 논의를 정리하면 아래 정리를 얻는다.

[정리] 위상공간 [math( X )], 점 [math( x \in X )]와 집합 [math( A )]에 대해,

---

[math( X )]가 제1가산이면,
1. [math( x )]가 [math( A )]의 극한점이다. [math( \Leftrightarrow )] [math( x )]로 수렴하는 [math( A \setminus \{x \} )]의 수열이 존재한다.
1. [math( x \in \overline{A} )] [math( \Leftrightarrow )] [math( x )]로 수렴하는 [math( A )]의 수열이 존재한다.

[증명]

1번 성질을 증명할 것이다. 우선 [math( \Leftarrow )]방향은 처음에 증명하였으므로, [math( \Rightarrow )]방향만 증명하면 충분하다. [math( X )]가 제1가산이므로, [math( x )]의 가산 국소기저 [math( \{O_n \}_{n=1}^{\infty} )]를 잡자. 수열을 구성하기 편하게 [math( O_1 \supset O_2 \supset O_3 \supset \cdots )]인 축소수열이었으면 좋겠다. 이것은 각 [math( n \in \mathbb{N} )]에 대해 [math( U_n = \bigcap_{i=1}^n O_n )]라 정의하면 [math( U_1 \supset U_2 \supset U_3 \supset \cdots )]이므로 [math( \{U_n \}_{n=1}^{\infty} )]가 [math( x )]의 가산 축소 국소기저가 됨으로써 해결된다. 이제 [math( x )]가 [math( A )]의 극한점이므로, 각 [math( U_n )]에 포함되는 [math( A \setminus \{x \} )]의 원소 [math( a_n \in U_n )]을 뽑자. 그러면 수열 [math( \{a_n \}_{n=1}^{\infty} )]이 유도된다. 이제 [math( \{a_n \}_{n=1}^{\infty} )]이 [math( x )]로 수렴함을 보이자. 이때 [math( x )]의 임의의 열린근방 대신 [math( x )]의 국소기저 [math( \{U_n \}_{n=1}^{\infty} )]의 임의의 원소에 대하여만 성립함을 보이면 충분하다. 임의의 [math( U_n )]을 잡자. 그러면 [math( n < m )]인 자연수 [math( m )]에 대해, [math( m \in U_m \subset U_n )]이므로 [math( a_m \in U_n )]이다. 따라서 [math( N )]을 [math( N = n )]로 잡으면 [math( N < m \Rightarrow a_m \in U_n )]을 만족한다. 그러므로 [math( \{a_n \}_{n=1}^{\infty} )]는 [math( x )]로 수렴한다.

2번 성질 또한 위 1번 성질의 증명을 똑같이 하되, [math( x \in \overline{A} )]이므로 [math( a_n )]들을 [math( A )]의 원소로 잡는다는 것만 다르게 하면 된다.

- 둘째, 수열을 일반적인 열린집합의 실정에 맞게 확장한다.

일반적인 위상공간에서 극한점에 비해 수열은 오직 가산 개의 원소만 허용하므로 괴리가 생긴다면, 수열을 보다 더 유연하게 확장하자. 이때 확장된 수열은 비가산 개의 원소를 허용한다. 이러한 수열의 확장된 개념에는 그물이 있다. 이것은 기존 실수에서 성립하던 수열을 이용한 접근법이 일반적인 위상공간으로 확장되며 생긴 괴리를 해결한다. 즉, 아래 정리가 성립한다.

[정리] 위상공간 [math( X )], 점 [math( x \in X )]와 집합 [math( A )]에 대해,

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1. [math( x )]가 [math( A )]의 극한점이다. [math( \Leftrightarrow )] [math( X )]로 수렴하는 [math( A \setminus \{x \} )]의 그물이 존재한다.
1. [math( x \in \overline{A} )] [math( \Leftrightarrow )] [math( x )]로 수렴하는 [math( A )]의 그물이 존재한다.

[증명]

3.2.2. 내부와 폐포의 쌍대성

[증명]

두 정리 [math( ( A \cap B = \emptyset \Longleftrightarrow A \subset X \setminus B ) )] 와 [math( ( p \Rightarrow q \Longleftrightarrow \neg p \vee q ) )]임을 다시 한 번 유념하자. [math( x \in X \setminus \mathrm{int}A )]와 [math( x \in \overline{X \setminus A} )]가 동치임을 보일 것이다.
[math( x \in X \setminus \mathrm{int}A )] 라 하면 [math( x )]는 [math( \mathrm{int}A )]의 원소가 아니므로 [math( ( x \in X \setminus \mathrm{int}A ) \Longleftrightarrow )] [math( ( )] '모든' 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( x \notin O \vee O \nsubseteq A ) )]이다. [math( O \nsubseteq A )]는 [math( O \cap (X \setminus A) \ne \emptyset )]과 동치이고, 이에 더해 [math( ( x \notin O \vee O \nsubseteq A ) \Longleftrightarrow ( x \in O \Rightarrow O \cap (X \setminus A) \ne \emptyset ) )]가 성립하므로 최종적으로 [math( x \in X \setminus \mathrm{int}A )]는 다음 식과 동치이다.

• [math( ( x \in X \setminus \mathrm{int}A ) \Longleftrightarrow )] [math( ( )]모든 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( x \in O \Rightarrow O \cap (X \setminus A) \ne \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in \overline{X \setminus A} ) )]
  

[기호 배제된 증명]

[math( x \in X \setminus \mathrm{int}A )]라 하자. 그러면 [math( x )]의 임의의 열린근방은 항상 [math( A )]에 포함되지 않아야 하며, [math( A )]에 포함되지 않는다는 뜻은 반드시 [math( X \setminus A )]의 원소를 최소 하나 이상 갖고 있어야 한다는 의미이다.[38] 정리하면, [math( x )]의 임의의 열린근방은 항상 [math( X \setminus A )]의 원소를 갖고 있다는 결론이 되며, 따라서 [math( x )]는 [math( \overline{X \setminus A} )]에 속한다. 이때, '[math( x )]의 임의의 열린근방이 [math( A )]에 포함되지 않는다.' 와 '[math( x )]의 임의의 열린근방이 [math( X \setminus A )]의 원소를 갖고 있다.' 는 [math( O \nsubseteq A \Longleftrightarrow O \cap (X \setminus A) \ne \emptyset )]를 통해 동치임을 확인할 수 있으므로, 사실상 [math( x \in X \setminus \mathrm{int}A )]와 [math( x \in \overline{X \setminus A} )]이 동치임을 증명한 셈이다

[증명]

앞선 내부의 8가지 성질로부터 폐포와 내부의 쌍대성을 나타내는 정리 [math( X \setminus \mathrm{int}A = \overline{X \setminus A} )] 또는 [math( X \setminus \overline{A} = \mathrm{int}(X \setminus A) )]가 핵심이다. 혹여나 이 정리들을 다루는 것이 익숙지 않다면 드 모르간 법칙을 사용한다고 생각하라.[41] 드 모르간 법칙를 사용하는 것과 최대한 비슷한 느낌을 주기 위해 아래 증명에서만 폐포 [math( \overline{A} )]를 [math( \mathrm{cl}A )]으로 표기하겠다.

* 정리가 8개로 꽤 많고 기호로 범벅되어 있어서 난해하고 어렵게 느껴질 수 있는데, 막상 들여다보면 증명 과정은 다 똑같다. 결국 일련의 기계적인 절차를 통해 내부의 성질들을 대응하는 폐포의 성질로 옮겨오는 것일 뿐이기 때문이다. 절차 즉, 옮겨오는 방법은 내부의 성질 안의 집합에다가 모두 여집합을 취하고 내부연산에도 여집합을 취해주면 된다. 그러니까 대충 [math( X \setminus \mathrm{int} (X \setminus A) )] [42] 이런 모양을 만들어주면 된다. [43]

(1) 내부 성질 (1)에 의해 [math( \mathrm{int}(X \setminus A) )]가 열린집합이므로 [math( X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A) = \mathrm{cl}(X \setminus (X \setminus A)) = \mathrm{cl}A )] 는 닫힌집합이다. [44]

(2) 닫힌집합 [math( F )]가 [math( A \subset F )]라 하자. 그러면 [math( X \setminus F )]는 열린집합이고 [math( X \setminus F \subset X \setminus A )]가 성립하므로, 내부 성질 (2)에 의해 [math( X \setminus F \subset \mathrm{int}(X \setminus A) )]이다. 따라서 [math( X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A) \subset X \setminus (X \setminus F) \Longleftrightarrow \mathrm{cl}(X \setminus(X \setminus A)) = \mathrm{cl}A \subset F )]이다.

(3) 내부 성질 (3)에 의해 [math( \mathrm{int}X = X )]이므로 [math( \mathrm{cl}\emptyset = \mathrm{cl}(X \setminus X) = X \setminus \mathrm{int}X = X \setminus X = \emptyset )]이다.

(4) 내부 성질 (4)에 의해 [math( \mathrm{int}(X \setminus A) \subset X \setminus A )]가 성립하므로, [math( A \subset X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A) = \mathrm{cl}A )]이다.

(5) 내부 성질 (5)에 의해 [math( \mathrm{int}(\mathrm{int}(X \setminus A)) = \mathrm{int}(X \setminus A) )]이므로, 다음과 같이 좌변에 정리를 두 번 적용한다. (한 번) [math( X \setminus \mathrm{int}(\mathrm{int}(X \setminus A)) = X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A) \Longleftrightarrow \mathrm{cl}(X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A)) = \mathrm{cl}A )] (두 번) [math( \mathrm{cl}(X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A)) = \mathrm{cl}A \Longleftrightarrow \mathrm{cl}(\mathrm{cl}(A)) = \mathrm{cl}A )]이 성립한다.

(6) [math( A \subset B )]라고 하자. 그러면 [math( X \setminus B \subset X \setminus A )]이므로, 내부 성질 (6)에 의해 [math( \mathrm{int}(X \setminus B) \subset \mathrm{int}(X \setminus A) )]가 성립한다. 다시 되돌리면([math( A )]와 [math( B )]의 위치를 다시 바꾸면) [math( X \setminus \mathrm{int}(X \setminus A) \subset X \setminus \mathrm{int}(X \setminus B) \Longleftrightarrow \mathrm{cl}A \subset \mathrm{cl}B )]가 성립한다.

(7) 드 모르간 법칙을 같이 이용할 것이다. 내부 성질 (7)에 의해, [math( \mathrm{int}( (X \setminus A) \cap (X \setminus B) ) = \mathrm{int}(X \setminus A) \cap \mathrm{int}(X \setminus B) )]임을 기억하자.

• [math( \mathrm{int}( (X \setminus A) \cap (X \setminus B)) = \mathrm{int}( X \setminus (A \cup B) = X \setminus \mathrm{cl}( A \cup B ) )]
• [math( \mathrm{int}(X \setminus A) \cap \mathrm{int}(X \setminus B) = (X \setminus \mathrm{cl}A) \cap (X \setminus \mathrm{cl}B ) = X \setminus (\mathrm{cl}A \cup \mathrm{cl}B) )]

이다. 최종적으로 [math( X \setminus \mathrm{cl}( A \cup B ) = X \setminus (\mathrm{cl}A \cup \mathrm{cl}B) \Longleftrightarrow \mathrm{cl}( A \cup B ) = \mathrm{cl}A \cup \mathrm{cl}B )]이 성립한다.

(8) 내부 성질 (8)에 의해 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha}\mathrm{int}(X \setminus A_{\alpha}) \subset \mathrm{int}(\bigcup_{\alpha} (X \setminus A_{\alpha})) )]가 성립함을 기억하자.

• [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha}\mathrm{int}(X \setminus A_{\alpha}) = \bigcup_{\alpha} (X \setminus \mathrm{cl}A_{\alpha} ) = X \setminus \bigcap_{\alpha} \mathrm{cl}A_{\alpha} )]
• [math(\displaystyle \mathrm{int}(\bigcup_{\alpha} (X \setminus A_{\alpha}) ) = \mathrm{int}( X \setminus \bigcap_{\alpha} A_{\alpha} ) = X \setminus \mathrm{cl}( \bigcap_{\alpha} A_{\alpha} ) )]

이다. 최종적으로 [math(\displaystyle X \setminus \bigcap_{\alpha} \mathrm{cl}A_{\alpha} \subset X \setminus \mathrm{cl}( \bigcap_{\alpha} A_{\alpha} ) \Longleftrightarrow \mathrm{cl}( \bigcap_{\alpha} A_{\alpha} ) \subset \bigcap_{\alpha} \mathrm{cl}A_{\alpha} )]이 성립한다.

3.3. 경계

[증명]

(1) 정의로부터 자명하므로 생략하겠다.

(a)[math( \Longleftrightarrow )](b) [math( \partial A = \overline{A} \setminus \mathrm{int}A )]임을 보이면 된다. [math( X \setminus \mathrm{int}A = \overline{X \setminus A} )]이므로 양변에 [math( \overline{A} )]를 교집합하여 [math( \overline{A} \cap X \setminus \mathrm{int}A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} )] 이다. [math( \overline{A} \cap X \setminus \mathrm{int}A )]는 [math( \overline{A} \setminus \mathrm{int}A )] 이므로, 따라서 [math( \partial A = \overline{A} \setminus \mathrm{int}A )]를 얻는다.
(a)[math( \Longleftrightarrow )](c) [math( x \in \partial A )]라 하면 [math( \partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} )]이므로 [math( x )]의 임의의 열린근방은 [math( A )] 와 [math( X \setminus A )]의 원소를 모두 포함해야 한다.

[증명]

크게 두 단계에 걸쳐 증명한다.

• 세 집합 [math( \mathrm{int}A )] 와 [math( \partial A )] 와 [math( \mathrm{int}(X \setminus A) )]는 모두 각각 서로소이다.
• [math( ( \mathrm{int}A \cap \partial A = \emptyset ) )] (1)에서 [math( \partial A = \overline{A} \setminus \mathrm{int}A )]임을 보였으므로, [math( \mathrm{int}A \cap \partial A = \mathrm{int}A \cap \overline{A} \setminus \mathrm{int}A = \mathrm{int}A \setminus \mathrm{int}A = \emptyset )]이 성립한다.
• [math( ( \partial A \cap \mathrm{int}(X \setminus A) = \emptyset ) )] 방금 전과 같은 방법으로 보일 수 있다. 먼저 [math( \partial A = \overline{A} \cap \overline{X \setminus A} = \partial (X \setminus A) )]임을 알 수 있다. 따라서 [math( \partial A \cap \mathrm{int}(X \setminus A) = \partial (X \setminus A) \cap \mathrm{int}(X \setminus A) = \mathrm{int}(X \setminus A) \setminus \mathrm{int}(X \setminus A) = \emptyset )]이 성립한다.
• [math( ( \mathrm{int}A \cap \mathrm{int}(X \setminus A) = \emptyset ) )] 이는 자명하게 보일 수 있으므로 생략한다.
• 세 집합의 합집합은 [math( X )] 이다.
  [math( \mathrm{int}A \cup \partial A \cup \mathrm{int}(X \setminus A) )]에서 [math( \mathrm{int} )]와 [math( \partial )]을 각각 하나씩 맞추기 위하여 [math( ( \mathrm{int}A \cup \partial A ) \cup ( \partial A \cup \mathrm{int}(X \setminus A) ) )]로 변형하겠다. 그러면 [math( \mathrm{int}A \cup \partial A = \overline{A} )]이고, [math( \partial A = \partial (X \setminus A) )]라는 사실로부터 [math( \partial A \cup \mathrm{int}(X \setminus A) = \partial (X \setminus A) \cup \mathrm{int}(X \setminus A) = \overline{X \setminus A} )]이므로 [math( \mathrm{int}A \cup \partial A \cup \mathrm{int}(X \setminus A) = \overline{A} \cup \overline{X \setminus A} )] 이다. [math( \overline{A} \cup \overline{X \setminus A} )]가 [math( X )]가 됨은 자명하게 보일 수 있으므로 증명이 끝났다.

3.4. 내부(근방), 폐포, 경계, 열린집합, 닫힌집합

3.4.1. 위상수학의 기반이 꼭 열린집합이어야 할까?

[펼치기]

열린집합이 기반, 또는 주인공이 될 필요 없이 여섯 가지 개념들 중 누구라도 기반으로 삼을 수 있으므로, 여기 한정으로는 위상을 더 이상 열린집합들의 모임의 의미로 지칭하지 않겠다. 따라서 어떤 집합 [math( X )]가 주어졌을 때, [math( X )]의 위상은 여섯 가지 개념들을 이용한 다음 방법들로 정의될 수 있다.

||<#fff> 바로가기 || 내부, 폐포, 경계, 근방, 열린집합, 닫힌집합 ||

[열린집합] 맨 처음의 위상의 정의를 만족하는 [math( X )]의 집합족과 같다. 이 경우 열린집합을 선언한 위상공간은 열린집합들의 집합족 [math( \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) )]가 정의된 [math( (X,\mathcal{T}) )]이다.

[닫힌집합] 다음 조건을 만족하는 [math( X )]의 집합족 [math( \mathcal{C} )]이다. 이 경우 닫힌집합을 선언한 위상공간은 닫힌집합들의 집합족 [math( \mathcal{C} \subset \mathcal{P}(X) )]가 정의된 [math( (X,\mathcal{C}) )]이다.
1. [math( \emptyset , X \in \mathcal{C} )]
2. 닫힌집합족 [math( C_{\alpha} \in \mathcal{C} )]에 대해 [math(\displaystyle \bigcap_{\alpha}C_{\alpha} \in \mathcal{C} )]이다.
3. 유한 닫힌집합족 [math( C_1 , \cdots , C_n \in \mathcal{C} )]에 대해 [math(\displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_i \in \mathcal{C} )]이다.
맨 처음에 나오는 위상의 정의 바로 다음에 소개했던 닫힌집합에 대한 성질인 [정리 2.1]과 같다.

열린집합의 정의: 어떤 [math( C \in \mathcal{C} )]에 대해 [math( O = X \setminus C )]인 [math( O )] [54]
폐포의 정의: [math( \mathrm{cl}_{\mathcal{C}}A )]는 [math( A )]를 포함하는 [math( \mathcal{C} )]의 원소들의 교집합
내부의 정의: [math( \mathrm{int}_{\mathcal{C}}A = X \setminus \mathrm{cl}_{\mathcal{C}}(X \setminus A) )] (또는 [math( A )]에 포함되는 위상 [math( \mathcal{C} )]의 열린집합들의 합집합)
경계의 정의: [math( \partial_{\mathcal{C}} A = \mathrm{cl}_{\mathcal{C}} A \cap \mathrm{cl}_{\mathcal{C}} (X \setminus A) )]
근방의 정의: 점 [math( x \in X )]를 잡고, 어떤 [math( \mathcal{C} )]의 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( x \in O \subset A )]을 만족하는 [math( A )]가 점 [math( x )]의 근방

[폐포] 다음 조건을 만족하는, 집합을 집합으로 보내는 함수 또는 연산 [math( c: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) )]이다. 이 경우 폐포를 선언한 위상공간은 [math( X )]의 폐포 [math( c: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) )]가 정의된 [math( (X,c) )]이다.
1. [math( c(\emptyset) = \emptyset )]
2. [math( A \subset c(A) )] [55]
3. [math( c(c(A)) = c(A) )]
4. [math( c(A \cup B) = c(A) \cup c(B) )] [56]

참고로 [math(\displaystyle c(\bigcap_{\alpha} A_{\alpha}) \subset \bigcap_{\alpha} c(A_{\alpha}) )]이다. 모든 [math( A_{\alpha} )]에 대해 [math(\displaystyle c(\bigcap_{\alpha} A_{\alpha}) \subset c(A_{\alpha}) )]이므로 이들의 교집합 [math(\displaystyle \bigcap_{\alpha} c(A_{\alpha}) )] 또한 [math(\displaystyle c(\bigcap_{\alpha} A_{\alpha}) \subset \bigcap_{\alpha} c(A_{\alpha}) )]이기 때문이다. 반대의 포함관계는 보장되지 않는다.

열린집합의 정의: [math( c(X \setminus A) = X \setminus A )]인 [math( A )]
닫힌집합의 정의: [math( c(A) = A )]인 [math( A )] [57]
내부의 정의: [math( \mathrm{int}_c A = X \setminus c(X \setminus A) )] (또는 [math( A )]에 포함되는 [math( c )]의 열린집합들의 합집합)
경계의 정의: [math( \partial_c A = c(A) \cap c(X \setminus A) )]
근방의 정의: 점 [math( x \in X )]를 잡고, 어떤 [math( c )]의 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( x \in O \subset A )]을 만족하는 [math( A )]가 점 [math( x )]의 근방

[내부] 다음 조건을 만족하는 연산 [math( i: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) )]이다. 이 경우 내부를 선언한 위상공간은 [math( X )]의 내부 [math( i: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) )]가 정의된 [math( (X,i) )]이다.
1. [math( i(X) = X )]
2. [math( i(A) \subset A )] [58]
3. [math( i(i(A)) = i(A) )]
4. [math( i(A \cap B) = i(A) \cap i(B) )] [59]

참고로 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha} i(A_{\alpha}) \subset i(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}) )]이다. 모든 [math( A_{\alpha} )]에 대해 [math(\displaystyle i(A_{\alpha}) \subset i(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}) )]이므로 이들의 합집합 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha} i(A_{\alpha}) )] 또한 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha} i(A_{\alpha}) \subset i(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}) )]이기 때문이다. 반대의 포함관계는 보장되지 않는다.

열린집합의 정의: [math( i(A) = A )]인 [math( A )] [60]
닫힌집합의 정의: [math( i(X \setminus A) = X \setminus A )]인 [math( A )]
폐포의 정의: [math( \mathrm{cl}_i A = X \setminus i(X \setminus A) )] (또는 [math( A )]를 포함하는 [math( i )]의 닫힌집합들의 교집합)
경계의 정의: [math( \partial_i A = \mathrm{cl}_i A \cap \mathrm{cl}_i (X \setminus A) )] 또는 [math( \partial_i A = X \setminus (i(A) \cup i(X \setminus A)) )]
근방의 정의: 점 [math( x \in X )]를 잡고, 어떤 [math( i )]의 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( x \in O \subset A )]을 만족하는 [math( A )]가 점 [math( x )]의 근방

[경계] 다음 조건을 만족하는 연산 [math( b: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) )]이다. 이 경우 경계를 선언한 위상공간은 [math( X )]의 경계 [math( b: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) )]가 정의된 [math( (X,b) )]이다.
1. [math( b(\emptyset) = \emptyset )]
2. [math( b(A \cup b(A)) \subset A \cup b(A) )]
3. [math( (A \cup B) \cup b(A \cup B) = (A \cup B) \cup b(A) \cup b(B) )]

열린집합의 정의: [math( b(A) \subset X \setminus A )]인 [math( A )]
닫힌집합의 정의: [math( b(A) \subset A )]인 [math( A )]
폐포의 정의: [math( \mathrm{cl}_b A = A \cup b(A) )] (또는 [math( A )]를 포함하는 [math( b )]의 닫힌집합들의 교집합) [61]
내부의 정의: [math( \mathrm{int}_b A = X \setminus \mathrm{cl}_b (X \setminus A) )] (또는 [math( A )]에 포함되는 [math( b )]의 열린집합들의 합집합)
근방의 정의: 점 [math( x \in X )]를 잡고, 어떤 [math( b )]의 열린집합 [math( O )]에 대해, [math( x \in O \subset A )]을 만족하는 [math( A )]가 점 [math( x )]의 근방

[근방] 다음 조건을 만족하는, 각 점에 그것의 근방들을 할당하는 함수 [math( \bold{N}: X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) )]이다. 즉, [math( \bold{N}(x) )]는 [math( x )]의 근방들의 집합족이라고 볼 수 있다. 따라서 '[math( N )]이 [math( x )]의 근방이다.' 는 '[math( N \in \bold{N}(x) )]이다.' 와 동치이다. 이 경우 근방를 선언한 위상공간은 [math( X )]의 근방 [math( \bold{N}: X \rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) )]가 정의된 [math( (X,\bold{N}) )]이다.
1. 모든 점 [math( x )]에 대해, [math( X \in \bold{N}(x) )] [62]
2. [math( N \in \bold{N}(x) )]이면 [math( x \in N )]이다. [63]
3. [math( N,M \in \bold{N}(x) )]이면, [math( N \cap M \in \bold{N}(x) )]이다. [64]
4. [math( N \in \bold{N}(x) )]이면 [math( N \subset M )]인 [math( M \subset X )]도 [math( M \in \bold{N}(x) )]이다. [65]

열린집합의 정의: [math( A )]가 [math( A )]의 모든 점의 근방인 [math( A )] 즉, [math( \forall x (x \in A \Rightarrow A \in \bold{N}(x)) )]인 [math( A )] [66]
닫힌집합의 정의: 어떤 [math( N )]의 열린집합 [math( O )]에 대해 [math( A = X \setminus O )]인 [math( A )]
내부의 정의: [math(\mathrm{int}_N A)]는 [math( A )]에 포함되는 [math( N )]의 열린집합들의 합집합
폐포의 정의: [math(\mathrm{cl}_N A)]는 [math( A )]를 포함하는 [math( N )]의 닫힌집합들의 교집합
경계의 정의: [math(\partial_N A = \mathrm{cl}_N A \cap \mathrm{cl}_N (X \setminus A) )]

[닫힌집합 선언] 여유한위상

||<#fff><(> 먼저 집합 [math( X )]를 가져오자. 이제 [math( X )]의 유한집합들과 추가로 전체 [math( X )]를 원소로 갖는 집합족을 생각하자. 이때 [math( \emptyset )]이 유한집합이므로, [math( \emptyset , X )]는 집합족에 속하고, 교집합과 유한 합집합에 대해 닫혀있음을 쉽게 보일 수 있기 때문에, 이들은 [math( X )]의 어떤 위상의 닫힌집합이 되기에 충분하다. 따라서 이들을 닫힌집합으로 갖는 위상을 [math( \mathcal{T} )]라 하면, [math( A \in \mathcal{T} )]일 필요충분조건은 [math( O )]가 [math( X \setminus X )]이어서 공집합이거나, 유한집합 [math( A )]에 대해 [math( O = X \setminus A )]인 것이다. 이렇게 만들어진 위상을 [math( X )]의 여유한위상(cofinite topology)이라고 한다.

여유한위상은 직관적으로 다루던 실수의 보통위상 수준보다 매우 약하며, 따라서 기존에 있던 직관에 반하는 예시가 많이 나온다. 또한 정의도 쉽기 때문에 보통 위상수학에 익숙해지는 초반에 등장하는 경우가 많다. ||

[닫힌집합 선언] 자리스키 위상

||<#fff><(> 간단하게 n차원 실수공간 [math( \mathbb{R}^n )]을 생각하자. 그리고 '[math( n )]개의 실변수 [math( x_1 , \cdots , x_n )]으로 이루어진 실수 계수 다항식' 들의 집합 [math( \mathbb{R}[x_1 , \cdots , x_n] )]을 생각하자. 그리고 [math( \mathbb{R}[x_1 , \cdots , x_n] )]의 부분집합 [math( S )]의 공통적인 해들의 집합을 [math( V(S) )]라 하자. 즉, [math( V(S) = \{x \in \mathbb{R}^n: \forall f \in S, f(x) = 0 \} )]이다. 이러한 [math( V(S) )]들의 집합은 [math( \emptyset , \mathbb{R}^n )]를 포함하고[67], 교집합, 유한 합집합에 대해 닫혀있음을 보일 수 있다. 따라서 어떤 위상의 닫힌집합이 될 수 있으며, 이를 닫힌집합으로 하는 위상을 [math( \mathcal{T} )]라 하자. 이는 'n개의 실변수에 대한 어떤 다항식들의 해집합'의 여집합으로 이뤄진 위상이다. 이러한 위상을 [math( \mathbb{R}^n )]의 자리스키 위상(Zariski topology)이라고 한다.

[math( n=1 )]인 경우, [math( \mathbb{R} )]의 자리스키 위상은 [math( \mathbb{R} )]의 여유한위상과 같다. [math( \mathbb{R}^n )]의 유한집합은 [math( \mathbb{R}^n )]의 1변수 다항식의 해집합과 일대일 대응하고,[68] 나머지 전체 [math( \mathbb{R} )]과 [math( \emptyset )]은 각각 영 다항식[69]의 해집합과 공통인 해가 없는 두 다항식, 예를 들어 [math( x-1 )]와 [math( x-2 )]의 공통적 해집합 [math( V(\{ x-1 , x-2 \}) )]로 표현될 수 있기 때문이다. 그러나 [math( 1 < n )]인 경우에는 더 이상 여유한위상과 같지 않다. 예를 들어 2변수 다항식 [math( x + y )]의 해집합은 [math( \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x=-y \} )]이므로 무한집합이기 때문이다. 오히려 자리스키 위상은 여유한위상을 포함한다.(더 섬세한 위상이다.) 즉, 여유한위상의 열린집합은 모두 자리스키 위상의 열린집합이다.||

4. 기저와 부분기저

4.1. 기저

4.2. 부분기저

4.3. 국소기저

[증명]

국소기저의 원소도 [math( x )]의 열린근방이므로, [math( \forall(x )] 의 열린근방 [math( ) O, P(O) )]이면 [math( x )]의 임의의 국소기저의 원소 [math( B )]에 대해 [math( P(B) )]인 것은 자명하다. 반대로 [math( x )]의 임의의 국소기저의 원소가 [math( P )]를 만족한다고 하자. [math( x )]의 임의의 열린근방 [math( O )]를 잡으면 그보다 더 작은 [math( x )]의 국소기저의 원소 [math( B \subset O )]가 존재하고, 가정에 의해 [math( P(B) )]이므로 [math( P )]의 성질에 의해 [math( B )]보다 더 큰 [math( (B \subset)O )]또한 [math( P(O) )]이다. 따라서 [math( x )]의 임의의 열린근방이 [math( P )]를 만족한다.

[증명]

[math(\displaystyle \{x \} \subset \bigcap \mathcal{B}_x )]임은 자명하다. 반대쪽을 보이기 위해 일종의 대우명제로 [math( x \ne y )]인 [math( y )]는 [math(\displaystyle y \notin \bigcap \mathcal{B_x} )]임을 보일 것이다. [math( X )]가 [math( T_1 )]이고 [math( x \ne y )]이므로 [math( y \notin O )]인 [math( x )]의 열린근방 [math( O )]가 존재한다. 이때 [math( \mathcal{B}_x )]가 [math( x )]의 국소기저이므로 [math( O )]에 포함되는 [math( \mathcal{B}_x )]의 원소 [math( B(\subset O) )]가 존재하고 [math( B )]또한 [math( O )]와 마찬가지로 [math( y \notin B )]이다. 결국 [math( x \ne y )]인 [math( y )]는 [math(\displaystyle \bigcap \mathcal{B}_x )]의 원소가 아니다. 따라서 [math(\displaystyle \bigcap \mathcal{B}_x = \{x \} )]이다.

5. 위상의 비교

1. [math( \mathcal{T} \cap \mathcal{T}' )]는 [math( X )]의 위상이다. 이 위상은 둘 [math( \mathcal{T} )]와 [math( \mathcal{T}' )]보다 모두 엉성하면서 동시에 그러한 위상 중 가장 섬세하다. 즉, [math( \mathcal{T} \cap \mathcal{T}' \subset \mathcal{T} , \mathcal{T}' )]이고, 만약 위상 [math( \bold{T} )]가 [math( \bold{T} \subset \mathcal{T} , \mathcal{T}' )]이면 [math( \bold{T} \subset \mathcal{T} \cap \mathcal{T}' )]이다.
   이는 [math( X )]의 위상들의 집합족에 포함 관계 [math( \subset )]을 부여한 순서 집합을 가져왔을 때, [math( \{ \mathcal{T} , \mathcal{T}' \} )]의 하한으로 볼 수 있다.
2. 1과 반대되는 성질을 가진 위상으로 [math( \mathcal{T} \cup \mathcal{T}' )]을 고려해볼 수 있다. 그러나 이는 [math( X )]의 위상이 아니다. 합집합과 교집합에 대해 닫혀있지 않기 때문이다. 정확히는 이것은 부분 기저가 되며, 부분 기저 [math( \mathcal{T} \cup \mathcal{T}' )]로 생성된 [math( X )]의 위상을 [math( \langle \mathcal{T} , \mathcal{T}' \rangle )]라 하면 [math( \langle \mathcal{T} , \mathcal{T}' \rangle )]는 둘 [math( \mathcal{T} )]와 [math( \mathcal{T}' )]보다 모두 섬세하면서 동시에 그러한 위상 중 가장 엉성하다. 즉, [math( \mathcal{T} , \mathcal{T}' \subset \langle \mathcal{T} , \mathcal{T}' \rangle )]이고, 만약 위상 [math( \bold{T} )]가 [math( \mathcal{T} , \mathcal{T}' \subset \bold{T} )]이면 [math( \langle \mathcal{T} , \mathcal{T}' \rangle \subset \bold{T} )]이다.
   이는 [math( X )]의 위상들의 집합족에 포함 관계 [math( \subset )]을 부여한 순서 집합을 가져왔을 때, [math( \{ \mathcal{T} , \mathcal{T}' \} )]의 상한으로 볼 수 있다.
   

6. 위상 공간으로 만들 수 있는 위상 공간

6.1. 부분공간

[증명]

(1) [math( \mathcal{T} )]가 위상을 이룸을 보이기 위해 3단계에 걸쳐 증명하겠다.

1. <[math( \emptyset , A \in \mathcal{T} )]>
   [math( \emptyset , X )]가 [math( X )]의 열린집합이므로 각각 [math( \emptyset \cap A = \emptyset \in \mathcal{T} )]와 [math( X \cap A = A \in \mathcal{T} )]이다.
2. <합집합에 대해 닫혀있다.>
   [math( X )]의 열린집합들 [math( B_{\alpha} )]에 대해 [math( A )]의 열린집합들 [math( B_{\alpha} \cap A )]들을 가져오자. 이들의 합집합은 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha} (B_{\alpha} \cap A) = (\bigcup_{\alpha} B_{\alpha}) \cap A )]이고 [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha} B_{\alpha} )]가 [math( X )]의 열린집합이므로, [math(\displaystyle \bigcup_{\alpha} (B_{\alpha} \cap A) \in \mathcal{T} )]이다.
3. <유한 교집합에 대해 닫혀있다.>
   [math( X )]의 유한 개의 열린집합들 [math( B_1 , \cdots , B_n )]에 대해 [math( A )]의 열린집합들 [math( B_1 \cap A , \cdots , B_n \cap A )]들을 가져오자. 이들의 교집합은 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} (B_i \cap A) = (\bigcap_{i=1}^{n} B_i) \cap A )]이고 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} B_i )]가 [math( X )]의 열린집합이므로, [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} (B_i \cap A) \in \mathcal{T} )]이다.

(2) 사실 3.에 의해 [math( A \setminus (O \cap A) = (X \setminus O) \cap A )]이다. 따라서
[math( D )]가 [math( A )]의 닫힌집합 [math( \Longleftrightarrow )] 어떤 [math( A )]의 열린집합 [math( B )]에 대해 [math( D = A \setminus B )] [math( \Longleftrightarrow )] [math( X )]의 열린집합 [math( O )]에 대해 [math( B = O \cap A )]라 하면, [math( D = A \setminus B = A \setminus (O \cap A) = (X \setminus O) \cap A )]이고, [math( X \setminus O )]가 [math( X )]의 닫힌집합이므로 [math( C = X \setminus O )]로 두면 증명이 끝난다.

[펼치기]

혹시나 잠깐 이런 물음이 들 수도 있다. 위상 공간 [math( X )]를 잡고 부분공간 [math( Y )], 또 그것의 부분공간 [math( Z )]를 잡자. 그러면 [math( Z \subset Y \subset X )]인데, 문제는 [math( Z )]에 부여할 수 있는 부분 위상이 두 가지 방법이 있다는 것이다. 하나는 [math( Z \subset Y )]로 해석해서 [math( Y )]에 대한 부분 위상을 부여하는 것. 다른 하나는 [math( Z \subset X )]로 해석해서 [math( X )]에 대한 부분 위상을 부여하는 것이다. 이들을 각각 [math( \mathcal{T}_Y )]와 [math( \mathcal{T}_X )]라고 하자. 이 둘은 모두 정상적인 방법이며 만약 [math( \mathcal{T}_Y \ne \mathcal{T}_X )]라면 부분 위상의 정의에 큰 문제가 생기게 되는 것이다. 사실 결론적으로 모두 같으며, 아래는 두 위상이 모두 같은 위상임을 설명하는 과정이다.

[math( A \in \mathcal{T}_Y )]라 하면 어떤 [math( Y )]의 열린집합 [math( U )]에 대해 [math( A = U \cap Z )]이고, [math( U )]는 어떤 [math( X )]의 열린집합 [math( O )]에 대해 [math( U = O \cap Y )]이다. 정리하면 [math( A = O \cap Y \cap Z = O \cap Z )]이고 [math( O )]는 [math( X )]의 열린집합이므로 [math( A \in \mathcal{T}_X )]이다.

반대로 [math( A \in \mathcal{T}_X )]라 하면 어떤 [math( X )]의 열린집합 [math( O )]에 대해 [math( A = O \cap Z )]이고, [math( Z \subset Y )]이므로 [math( A = O \cap Y \cap Z )]이다. 이때 [math( O \cap Y )]가 [math( Y )]의 열린집합이므로 [math( A \in \mathcal{T}_Y )]이다.

따라서 [math( \mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_X )]이다.[84]

6.1.1. 부분 공간의 기저,부분기저,국소기저

[증명]

사실 1.에 의해 자명하게 증명된다. [math( \mathcal{B}_A )]가 [math( A )]의 기저임을 보이기 위해 [math( A )]의 임의의 열린집합 [math( U )]를 가져오고 [math( X )]의 열린집합 [math( O )]에 대해 [math( U = O \cap A )]라 두자. 먼저 [math( \mathcal{B} )]가 [math( X )]의 기저이므로 [math( O )]는 [math( B_{\alpha} \in \mathcal{B} )]들의 합집합 [math(\displaystyle O = \bigcup_{\alpha} B_{\alpha} )]로 표현된다. [math( U )]는 사실 1.에 의해 [math(\displaystyle U = O \cap A = (\bigcup_{\alpha} B_{\alpha}) \cap A = \bigcup_{\alpha} (B_{\alpha} \cap A) )]이고 [math( B_{\alpha} \cap A )]가 [math( \mathcal{B}_A )]의 원소들이므로 [math( \mathcal{B}_A )]는 [math( A )]의 기저이다.

[증명]

[math(\displaystyle \mathcal{B}_A = \{\bigcap_{i=1}^{n} (S_i \cap A): S_i \in \mathcal{S} \} )]가 [math( A )]의 기저임을 보이면 충분하다.
[math( \mathcal{S} )]가 [math( X )]의 부분기저이므로 [math(\displaystyle \{\bigcap_{i=1}^{n} S_i: S_i \in \mathcal{S} \} )]는 [math( X )]의 기저이다. 한편, [math( \mathcal{B}_A )]의 각 원소들은 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} (S_i \cap A) = (\bigcap_{i=1}^{n} S_i) \cap A \in \mathcal{S} )]이므로 모두 [math(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} S_i)]에 [math( A )]를 교집합한 것임을 알 수 있다. 따라서 [정리 6.1.1.1]에 의해 [math( \mathcal{B}_A )]는 [math( A )]의 기저이다.

[증명]

[math( \forall B \in \mathcal{B}_a, a \in B )]를 만족하고 [math( a \in A )]이므로 [math( a )]는 모든 [math( B \in \mathcal{B}_a )]와 [math( A )]에 동시에 포함된다고 할 수 있다. 따라서 [math( \forall B \cap A \in (\mathcal{B}_a)_A, a \in B \cap A )]또한 성립한다. 이로써 [math( (\mathcal{B}_a)_A )]는 국소기저의 첫 번째 조건을 만족한다.

[math( \forall )]([math( X )]의 열린집합) [math( O, \exists B \in \mathcal{B}_a \quad \mathrm{s.t.} \quad B \subset O )]이다. 이때, 양변에 [math( A )]를 교집합하여도 관계식은 유지된다. 따라서
[math( \forall )]([math( A )]의 열린집합) [math( O \cap A, \exists B \cap A \in (\mathcal{B}_a)_A \quad \mathrm{s.t.} \quad B \cap A \subset O \cap A )]가 성립하며 [math( (\mathcal{B}_a)_A )]는 국소기저의 두 번째 조건 또한 만족한다. 그러므로 [math( (\mathcal{B}_a)_A )]는 부분공간 [math( A )]안에서 [math( a )]에서의 국소기저이다.

6.1.2. 부분 공간의 내부, 폐포, 경계, 극한점

[증명]

[증명]

6.1.3. 계승적 성질

[증명]

[math( X )]가 제1가산이라고 하자. 그리고 임의의 [math( X )]의 부분공간 [math( A )]를 잡자. 임의의 점 [math( x \in X )]에서의 가산 국소기저를 [math( \mathcal{B}_x )]라 하면, 부분공간 [math( A )]의 임의의 점 [math( a \in A )]에 대해 [math( \mathcal{B}^A_a = \{B \cap A: B \in \mathcal{B}_a \} )]는 [math( a )]의 (부분공간에서의) 국소기저다. 이때 [math( \mathcal{B}^A_a )]의 기수는 [math( \mathcal{B}_a )]의 기수보다 작거나 같으므로, [math( \mathcal{B}^A_a )]또한 가산 국소기저이며 따라서 [math( A )]는 제1가산이다.

[증명]

[math( X )]가 제2가산이라고 하자. 그리고 임의의 [math( X )]의 부분공간 [math( A )]를 잡자. [math( X )]의 가산 기저를 [math( \mathcal{B} )]라고 하면, [math( \mathcal{B}^A = \{B \cap A: B \in \mathcal{B} \} )]는 부분공간 [math( A )]에서의 기저이다. 이때 [math( \mathcal{B}^A )]의 기수가 [math( \mathcal{B} )]의 기수보다 작거나 같으므로 [math( \mathcal{B}^A )]또한 가산 기저이며, 따라서 [math( A )]는 제2가산이다.

6.2. 곱공간

6.3. 몫공간

7. 연속함수

7.1. 위상동형사상(Homeomorphism)

7.2. 열린사상과 닫힌사상

8. 공리

8.1. 분리공리

8.2. 가산성 공리들

8.2.1. 제1가산 공리

8.2.2. 제2가산 공리

8.2.3. 린델뢰프의 공리

8.2.4. 분리 가능성 공리

8.2.5. 예시들

8.3. 콤팩트성의 변형 공리들

8.3.1. 콤팩트(Compact)

8.3.1.1. 관련된 정리들

• 르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma)

8.3.2. 가산 콤팩트(countably compact)

8.3.3. 점렬 콤팩트(sequentially compact)

8.3.4. 극한점 콤팩트(limit point compact)

8.3.5. 국소 콤팩트(locally compact)

• 점에서의 국소 콤팩트

• 전체에서의 국소 콤팩트

8.3.6. 관련된 정리들

• 하우스도르프 국소 콤팩트 공간에 한 점 [math(\infty)]을 추가하여 위상을 적절히 주면, 하우스도르프 콤팩트 공간이 되고 기존의 공간을 부분공간으로 갖는다. 이를 한점 콤팩트화(one point compactification)이라 한다. 이때 적절한 위상이란, 국소 콤팩트 공간(locally compact space)를 [math(X)]라고 두면, 임의의 점 [math(p)]를 추가해 [math(Y = X \cup \{p\})]라고 두자.
  
  이때, [math(Y)] 공간의 위상을
  
  (1) [math(X)]에서 열린 집합
  
  
  (2) [math(p)]를 포함하는 임의의 집합 [math(Z)]에서, [math(Y\setminus Z)] 가 [math(X)]에서 콤팩트한 집합
  
  으로 주자.
  
  이때 [math(Y)]를 [math(X)]의 한 점 콤팩트화(one-point compactification of X)라고 하며, 이 공간은 자명하게 콤팩트하다.[101]

• 거리 공간에서 콤팩트성, 점렬 콤팩트성, 극한점 콤팩트성은 모두 동치이다. 거리공간이 아닌 경우 반례가 종종 성립하는데, 위상수학을 공부하는 학생이라면 이 반례들을 제대로 외워두길 바란다. 보통 자주 나오는 예시는, I^I(I = [0,1] 에 대해 I로 product를 건 것, 즉, f : [0,1] → [0,1] 인 함수공간, topology는 product topology) 와 같은 것들이다.

8.4. 포함 관계

9. 연결 공간

10. 예시

10.1. 거리 공간

10.1.1. 폴란드 공간

10.2. 다양체

10.3. 위상군

10.4. 함수 공간

11. 위상수학의 활용

11.1. 소수의 무한성의 위상수학적 증명

• 임의의 유한 개의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다.