| 평면기하학 Plane Geometry | |||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#765432> 공통 | 도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터 | |
| 삼각형 | 종류 | 정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형 | |
| 성질 | 오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리 | ||
| 기타 | 세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점 | ||
| 사각형 | 정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양 | ||
| 그 외 다각형 | 오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형 | ||
| 원 | 단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리 | ||
| 원뿔곡선 | 포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리 | ||
| 기타 | 유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제 | }}}}}}}}} | |
1. 개요
3대 작도 불능 문제는 고대 그리스에서부터 전해져 내려온 기하학 문제로, 눈금없는 자와 컴퍼스만을 유한 번 이용하는 유클리드 작도가 불가능함이 알려져 있는 세 가지 문제이다. 문제가 제시된 것은 기원전이지만, 수학적으로 작도 불가능함이 증명된 것은 대수학이 충분히 발전한 19세기에 이르러서였다. 어찌보면 페르마의 마지막 정리를 능가하는 문제.문제 세 가지는 다음과 같다.
눈금 없는 자와 컴퍼스를 유한 번[1] 사용하여...
I. 주어진 임의의 각을 3등분한 각을 작도하시오.
I. 주어진 임의의 정육면체의 두 배 부피를 가지는 정육면체를 작도하시오.
I. 주어진 임의의 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하시오.
I. 주어진 임의의 각을 3등분한 각을 작도하시오.
I. 주어진 임의의 정육면체의 두 배 부피를 가지는 정육면체를 작도하시오.
I. 주어진 임의의 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하시오.
2. 제한사항
여기에서 작도란 "눈금 없는 자와 컴퍼스만을 유한 번 이용하여 하는 유클리드 작도" 라는 것이다. 이것 말고 눈금 있는 자를 사용하는 '뉴시스 작도' 처럼 '다른 기타 도구를 사용'한다면 3대 작도 불능 문제 자체가 성립되지 않으며, 무슨 도형이든 얼마든지 작도할 수 있다. 이 '다른 도구' 엔 눈금 없는 각도기도 포함된다. 가령 눈금 없는 자에 작은 반원을 붙여 만든 도구로 주어진 각을 삼등분할 수 있다. 종이를 접는 것을 허용할 경우에도 가능하다. 무한 번 사용할 경우에도 가능하다. 직사각형 자 2개로 각 3등분하기 원기둥으로(...) 원과 같은 둘레의 정사각형 작도하기 이 사이트는 수학이 수군수군[2]의 사이트이다.도구와 방법의 제약이 있으니 작도 불가능한 문제들은 당연히 많으며 만들기 나름이다. 유클리드 작도가 가능하다는 말은 어떤 수(작도수)를 유리수의 유한한 사칙연산과 제곱근만으로 나타낼 수 있다는 말과 동치이다. 달리 말하자면 유리수나 유리수의 제곱근만으로 나타낼 수 없는 수는 작도수가 아니다. 따라서 작도 불능 문제는 무수히 많다고 할 수 있다. 그리고 작도에서 허용하는 도구와 방법이 제한되어 있으므로 작도 불능 문제가 있다는 것은 당연한 것이지 신기한 것이 아니다.
물론 여기에 제시된 3가지 문제가 작도 불능임이 증명됐으므로 '작도 불능 문제가 존재한다' 는 증명이 끝난 셈이다. 이 사실을 이용하여 다음 사실도 알 수 있다. 종이 위에 아무렇게나 점 두 개를 찍는다. 그 두 점과 작도에서 허용하는 도구와 방법을 이용하여 새로운 점 하나를 찾는다(예를 들면 그 두 점의 중점이라든가 그 두 점과 연결하여 직각이등변삼각형을 만들 수 있는 새로운 점이라든가). 그리고 처음 점 두 개와 새로 만들어진 점을 이용하여 같은 방법으로 네번째 점을 찍고 또 같은 방법으로 다섯번째 점을 찍는다. 이것을 무한히 반복한다 하더라도 만들어지는 점들의 집합이 좌표평면을 완전히 덮을 수 없다. 만약 어떤 도형이라도 작도할 수 있다면 덮을 수 있어야 한다. 점은 넓이가 없지만, 실수 개의 점을 나열하면 길이를 가진 직선을 만들 수 있으며 실수의 제곱 개의 점이 있다면 면적이 생긴다.
참고로 이 3문제 중 위의 2개는 대수적인 모든 실수가 작도 가능한 건 아니라는 반례에 해당하며, 마지막 3번째는 대수적이지 않은 수는 작도 불가능하다는 사실의 대표적인 예시에 해당된다.
현재 이 문서에는 비유클리드 작도를 이용한 해결 방법이 모두 실려 있다.
3. 목록
3.1. 임의각의 삼등분 문제
특수각인 직각의 3등분. |
| "눈금 없는 자와 컴퍼스만을 유한 번 사용하여, 주어진 임의의 각을 3등분한 각을 작도할 수 있는가?" |
| 임의각의 2등분은 매우 쉽다. |
| 뉴시스(눈금 있는 자) 작도를 이용한 3등분. 3π/4보다 큰 각 θ는 반지름과 같은 길이의 자를 이용하여 각 φ로 3등분할 수 있다. |
| 원적곡선(quadratrix)[4]을 이용한 3등분. 원하는 각을 선분 AB 위에 그린 다음 원적곡선의 y좌표를 선분 AD상에서 3등분하면 원적곡선 상에서 3등분각이 얻어진다.[5] |
그러나 60도는 삼등분 불가능함이 증명됐다. [math( \cos20\degree=\alpha )]라 두자. 코사인 3배각 공식에 의해 [math(4\cos^3 20\degree - 3\cos 20\degree = \cos 60\degree= 1/2)]이므로 [math(4\alpha^3 - 3\alpha = 1/2)]에서 [math(8x^3-6x-1=0)]의 유리수 해는 존재하지 않으므로 저 다항식은 기약 다항식이다. 작도 가능하려면 유리수에서 기약 다항식의 차수가 2n 이어야 하므로 [math( 60\degree )]는 삼등분 불가능하다. 왜 이 이상으로 답을 구할 수 없는지는 삼차방정식, 환원 불능 문서를 참고.
그러므로 임의의 각도가 모두 3등분이 가능한것은 아니다. 만약에 임의의 각의 3등분 작도가 가능하다면, 작도가 불가능함이 이미 증명된 각인 60도가 주어지더라도 60도인지 모른 채 그 방법대로 3등분이 가능해야 되는데, 60도는 이미 삼등분이 안 되는 것이 증명됐으므로, 반례를 보였으니 불가능하다는 것이다. 정9각형이 이래서 작도 불가능하다. 구체적으로는 작도가 가능한 각의 3배각이 3등분 가능한 각이라고 할 수 있다. 즉, 특정 조건에 한해 3등분이 가능하다면 그 특정 조건을 모른다는 가정하에서는 3등분이 가능하다고 말할 수 없는 것이다.[6] 주의해야 할 것이 어떤 각이 다른 각의 3등분각이라고 무조건 작도가 불가능한 것은 아니다. 예를들어 정 15각형의 한 외각의 크기는 24도이고, 정 5각형의 한 외각인 72도의 3등분각이지만 72도를 작도하지 않고 바로 24도가 작도 가능하므로 정 15각형은 작도가 가능하다.[7]
3.1.1. 삼등분가(유사과학)
임의각의 3등분이 불가능하다는 것이 밝혀지고 나서도 수 세기동안, 그리고 오늘날에도 "자신이[8] 모든 각이 3등분 가능함을 증명했다"고 주장하는 사람들은 나타나는데, 이들을 소위 '삼등분가'라고 하며, 영어권에서는 '트라이섹터(trisector)'라는 은어로도 불린다. 한국에도 여러 명 존재하는데 이 사람들의 주장을 계속 보다보면 유사과학 문서에 나와있는 유사과학의 패턴과 똑같다. 삼등분가들이 임의의 각을 3등분하는 데 성공했다고 주장하면서 수학자들이 그 주장에 오류를 친절하게 찾아내서 지적을 해줘도 이를 인정하지 않으려고 들어서 수학자들에게 민폐를 끼치는 일이 빈번하자 현재는 세계적으로 삼등분가들의 주장을 담은 논문은 학계에서 전혀 거들떠보지도 않는다. 다만 수학이 아닌 수학교육학에서는 어느 정도 연구 대상이 될 수 있다. 이런 인간이 왜 생기는지, 이런 인간을 없애려면 어떻게 해야 할지등.[9]실제로 이러한 사람들이 풀었다는 방법은 반드시 하자가 있다. 그 예를 들자면 다음과 같다.
- 허용되지 않는 방법을 이용함: 이 경우 '작도 불능 문제'가 아닌 전혀 다른 문제를 푼 것이 된다. '눈금 없는 자'와 '컴퍼스'만을 '유한 번' 이용해 '임의의 각'을 삼등분하는 것임에도, 풀이 과정에 작도에서 허용하는 도구와 방법 이외의 장치를 포함시킨다. 이 종류의 삼등분가에게는 이것을 아무리 지적해줘도 이러한 전제 자체를 받아들이지 못한다. 이미 불가능하다는 것이 밝혀졌으므로 어떻게 해서든 삼등분이 가능하다면, 무언가 허용되지 않는 방법을 이용했다는 뜻이다.
- 눈금이 있는 자를 이용한 작도: 이러한 작도를 뉴시스 작도(Neusis construction)라고 한다. 일반 작도로는 불가능한 도형 중에서도 뉴시스 작도로 가능한 도형이 있다. 대표적으로 정칠각형. 임의의 각을 3등분하는 문제도 뉴시스 작도법을 이용하면 가능하다. 그러나 앞서 말했듯 이 문제는 눈금이 없는 자를 이용해서 풀어야 하므로 뉴시스 작도법을 절대로 인정하지 않으며 일반 작도법으로는 여전히 임의의 각을 3등분할 수 있는 방법이 없다. 눈금 없는 자 위에 눈금을 그려서 쓰는 것도 뉴시스 작도로 간주된다. 실제 뉴시스 작도를 이용한 방법은 위 그림 참조.
- 종이접기 작도: 종이접기 작도를 할 경우, 각의 3등분은 허무할 정도로 쉽다는 점이 이미 잘 알려져 있다.# 하지만 이 경우 눈금 없는 자와 컴퍼스 외에 '접은 종이'라는 도구를 이용하게 되는 것으로, 유클리드 작도의 정의를 벗어난다. 종이접기는 주로 서양보다는 동양 수학에서 연구됐던 분야이며 컴퍼스가 없는 대신 종이접기를 허용할 경우 어떻게 작도하는지 살펴보면 신기한 나름 흥미로운 분야이다. 그러나 이것은 완전히 별개의 문제이고 여전히 유클리드 작도에서는 불가능하다.
- 무한 반복을 허용하는 작도: 컴퍼스를 특정한 너비로 펼쳐 놓고 '셀 수 없이 많이 원을 그리면 특정한 점이 나온다'든가 하는 식으로 사고실험을 시도하는 부류.[10] 역시 오류이다. 작도 횟수는 반드시 유한해야 하며[11] 무한 반복하는 방법은 인정하지 않는다. 예를 들면 각의 2등분의 반복을 이용하여 임의의 각을 3등분에 근사할 수 있다. [math(displaystyle frac{1}{2}-frac{1}{4}+frac{1}{8}-frac{1}{16}+cdots=frac{1}{1+2}=frac{1}{3})]이 되어 [math(\displaystyle \frac{1}{2^n})]인 수들의 급수합으로 [math(\displaystyle \frac{1}{3})]에 수렴하는 수를 만들 수 있으므로.(Wolfram Alpha 공식) 그러나 무한 반복해야 하므로 인정되지 않는다.
- 또한 자는 반드시 선분이나 직선을 긋는 용도로만, 컴퍼스는 원을 그리는 용도로만 사용할 수 있으며 그 밖의 용도는 허용하지 않는다. 예를 들면 자 분지르기, 컴퍼스 눕히기, 어떤 선분을 컴퍼스로 펼쳐서 길이를 잰 뒤 그대로 다른 곳에 갖다대기, 자의 직각 부분을 이용해 사각형을 긋기, 삼각자를 이용해 삼각형을 긋기, 모양자의 모양 틀을 이용하는 방법 등은 도구를 허용되지 않은 방법으로 사용했으므로 규칙 위반이다.
- 수학적으로 정확하지 못한 값을 구함
- 근삿값을 인정하자는 경우: 정확한 답이 아닌 근삿값만을 구한 후 구했다고 하는 경우도 있는데 수학적으로 정확한 값을 구해야 한다. 가끔 유사수학자의 경지까지는 이르지 못한 일부가 '정확한 값은 못 구했지만 근삿값은 구했다' 고 이야기하는 경우도 있는데 그건 아마 '눈으로 구분할 수 없을 정도의 근삿값을 구하는 문제'는 애초에 불가능이 아니었다는 것을 몰랐기 때문일 것이다. 당연하게도 모든 유리수는 작도 가능한데, 실수 전체에서 유리수는 조밀하기 때문에 참값에 충분히 가까운 유리수를 얼마든지 찾을 수 있기 때문. 덧붙이자면 일반인들이 '각 3등분 작도 불능'이라는 개념을 막연하게만 생각하지 구체적으로 어떤 의미인지를 알지 못하기 때문인 것도 있다. 어떤 조건이 있고 어떤 제약이 있는지를 완벽하게 알지 못하고 그러한 상황에서 불가능한 것이라는 개념이 잡히지 않은 것이다. 위의 무한반복과 사실상 같은 내용이다.
- 우연성을 주장하는 경우: 점을 우연히 찍었더니 원하는 답이 나온 경우도 인정하지 않는다. 재현성이 있는 방법만을 인정하기 때문이다. 애초에 수학적으로 정밀하게 생각해보면 '우연히 어떤 점을 찍었더니 그 점이 2였어요!' 라는 식은 절대로 성립할 수 없다. 실수집합의 크기는 무한하므로 어느 수를 원해서 찍었더라도 그 찍은 수가 원하는 수일 확률은 0이기 때문이다.
- 각의 3등분이 호의 3등분과 동일함을 이용하나, 엉뚱한 호를 3등분해놓고 그 3등분점에 선을 이어서 각의 3등분을 했다고 주장한다. 예시[12] 이 경우는 구조적으로 어느 정도 근삿값은 나올 수 있지만 여전히 정확한 값은 절대 나올 수 없다.
- 삼등분한 각이 알고 보니 임의의 각이 아님
3등분해야 하는 각을 처음부터 제시하지 않고 문제 풀이 중에 적당하게 만들어 그것에 대한 3등분을 했다고 주장하는 경우. 처음 각 x가 주어지면 그걸 바탕으로 각 y를 만들고 각 y/3를 만든 후 각 y의 삼등분에 성공했다고 주장한다. 이 경우 y를 x에 관해서 표기하는게 가능할테고, 그걸 3으로 나눠보면 3등분이 아닌 전혀 다른 일을 했다는 걸 알 수 있다. 각 x/3은 보이지 못한다. 비유하자면 과녁 위에 화살을 정확히 맞히는 게 아니라 화살을 먼저 쏜 다음에 그에 맞게 과녁을 그려서 명중했다고 우기는 꼴이다[13].
훌륭한 예 이 블로그 작성자가 자신의 블로그에 언더우드 더들리 교수에게서 증명에 대해 편지를 보내 답신을 받은 내용을 남겼는데, 편지글의 일부 내용 중 "You are quite right that your method divides the angle XAY into three parts. But it is not a trisection of a general angle because ...(후략)" 이 부분으로 이 증명에 대해 요약할 수 있겠다.
덧붙이자면 이 블로그 글에서 증명한 것이 사실 뭐냐면 '직각삼각형에서 직각이 아닌 각 가운데 하나가 삼등분된 상태로 주어져 있다면, 나머지 각 하나를 삼등분할 수 있다'는 뜻[14]이다(좀더 의미를 확장하면 삼각형의 세 각 중, 두 각이 삼등분된 상태로 주어져 있으면 나머지 한 각의 삼등분은 작도 가능하다는 말이다). 이 증명이 의미가 있을지 없을지 판단하는 것은 보는 사람 몫이다. 사실 이 블로그 작성자의 핵심글은 이 글이 아니라 과녁그리기를 제대로 보여주는 이 글이다. 어떤 각을 3배 한 후, 3배 한 각을 원위치하면 3배 한 각의 3등분을 작도할 수 있다는 말을 아주 길게 돌려서 쓴 글이다. 작성자의 궤변을 요약하면 임의각(=작성자가 문제풀이 중 만든 각)의 3등분은 작도할 수 있고(다른 사람이 못해낸 것을 자기가 해냈고) 60도의 3등분을 작도할 수 없다고 치더라도, 60도는 임의각이 아니므로 임의각 3등분 작도 문제와 아무 상관 없다는 것이다.[15] 또한 40도의 2등분은 작도할 수 없다 치더라도(당연히 가능한데 왜 불가능하냐고 그러는지 이해가 안 된다면 다음 문단 참고) 40도는 임의각이 아니므로 임의각의 2등분이 작도 가능한 것과 아무 상관이 없다는 것이다. 즉 임의각의 의미를 완전히 자의적으로 끼워맞추고 있는 것. 참고로 이 사람은 05년부터 22년 현재까지 무려 17년 동안이나 꾸준히 해당 글의 댓글에서 똑같은 소리를 하고 있다. 다만 블로그에 올린 게 그때고 본인은 이것을 1967년에 알아냈다고 말한다.
앞서 이야기한 60도의 경우 60도의 3등분 작도 불가능을 인정하면서도 그것이 '크기를 모르는 각' 의 3등분 작도 문제와는 아무런 상관이 없다고 주장하는 인간들이나[16] 아니면 그것을 인정하지 않고 60도도 3등분 작도를 할 수 있다고 주장하는 인간들이나 유사수학자들의 유형은 다양하다. 위에 링크된 화살 쏘고 과녁 그린 삼등분가의 글에서도 찾아볼 수 있다.
결국 이재율[17]등의 엉터리 수학자들이 풀었다고 했으나 경남대학교 수학교육과 박부성 교수에 의해 모두 반박되었다.
3.2. 입방체의 배적 문제
| "눈금 없는 자와 컴퍼스만을 유한 번 사용하여, 주어진 임의 정육면체의 두 배 부피의 정육면체를 작도할 수 있는가?" (=[math(\sqrt[3]{2})]값 작도[18]) |
고대 그리스의 델로스 섬에 갑자기 전염병이 돌았다. 그리스인들은 전염병을 종식시킬 해법을 찾기 위해 델포이의 아폴론 신전에 빌었고 신탁은 다음과 같았다.
"신전의 제단의 부피를 2배로 늘려라. 단, 세 변의 비율은 같아야 한다."[19]
그러자 그리스인들은 제단 각 변의 길이를 2배로 늘렸지만, 전염병은 계속됐다. 이는 각 변의 길이를 2배로 늘리면 부피가 8배로 늘어나 버리기 때문이었다. 제단의 각 변의 길이가 x, y, z라고 하면 2배로 늘리면 부피는 2x×2y×2z=8xyz 즉 8배. 부피를 2배로 늘리려면 각 변의 길이를 [math(\sqrt[3]{2})](≒1.25992105)배로 늘려야만 했다.
물론 '실제 제단'이라는 걸 더 유념하면 오차범위를 작게 줄여 만들 수는 있어도 수학적인 방법은 아니다. 이 일화의 후일담이 수학 교육 만화에 언급된 바 있는데 어느 학자가 뉴시스 작도법으로 문제를 해결하긴 했지만 당시 교육 풍토상 사도에 가까운 행위였기 때문에 사람을 구하기 위해서라지만 외도를 했다는 이유로 자책하다가 잠적해버렸다는 이야기[20]가 있다. 물론 만화는 만화일 뿐이며, 실제로는 당시에도 실용적인 목적으로 도형을 그려야 할 경우에는 굳이 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 불편하게 '작도'를 하는 것이 아니라, 그보다 더 좋은 도구들을 가지고 '제도'를 하는 것이 당연하게 받아들여져 왔다."신전의 제단의 부피를 2배로 늘려라. 단, 세 변의 비율은 같아야 한다."[19]
그러자 그리스인들은 제단 각 변의 길이를 2배로 늘렸지만, 전염병은 계속됐다. 이는 각 변의 길이를 2배로 늘리면 부피가 8배로 늘어나 버리기 때문이었다. 제단의 각 변의 길이가 x, y, z라고 하면 2배로 늘리면 부피는 2x×2y×2z=8xyz 즉 8배. 부피를 2배로 늘리려면 각 변의 길이를 [math(\sqrt[3]{2})](≒1.25992105)배로 늘려야만 했다.
또 웃긴 점은, 사실 아폴론의 신탁에는 자와 컴퍼스만을 이용하라는 말은 없었다. 즉, 불가능한 것은 작도일 뿐이지, 제도는 얼마든지 해도 상관없었다는 이야기. 자와 컴퍼스 말고도 좋은 도구 많으니 그런 거 써서 제작하면 되며, 아주 간단하게 가로, 세로, 높이의 곱으로 제단의 부피를 측정해 점토로 제단 부피의 2배 크기를 만들어도 된다.
참고로 주어진 정사각형의 두 배의 면적을 갖는 정사각형은 피타고라스 정리를 이용해서 대각선의 길이를 따는 방법으로 작도할 수 있다. 그러나 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체는 이 방법으로도 작도할 수 없다. 한변의 길이가 1인 정육면체의 대각선의 길이는 [math(\sqrt[3]{2})]이 아닌 [math(\sqrt3)]이기 때문이다.
뉴시스 작도를 이용한 작도법. 정삼각형을 그리고 두 변을 적당히 늘려준 다음, 선분 AH를 눈금을 이용해 선분 GH의 길이가 1이 되도록 작도하면 된다.
|
입시명문 사립 정글고등학교의 한 에피소드에 이 문제가 나오기도 했다. 이 화에서 전교 1등 불사조는 그냥 종교를 바꿔라라는 패기로운 해답을 내놓았다.[21]
판타지 수학대전에서도 등장. 마왕군의 군단장인 아슈르가 제 4봉인을 지키고 있는 인간국인 '이토니아'의 공략이 빅마운틴의 정공법으로는 어렵다 판단, 공략 방법을 루시엘라에게 묻자 그녀가 내놓은 방법이다. 루시엘라는 단신으로 이토니아의 성 밖으로 접근, '이토니아에서 가장 현명한 자에게 묻겠다! 내 물음에 답한다면 마왕군은 이토니아 공격을 멈출 것이다!' 고 외쳤고, 이에 피타고라스 학파의 제자 중 리더격인 로즈가 성 밖으로 나와 '속는 셈 치고 믿어보지, 대신 말도 안 되는 문제를 낸다든가 약속을 지키지 않으면 이 자리에서 널 없애겠다.' 라고 응답하자마자낸 문제가 이것. 그 후 답이 없는 문제이니만큼 피타고라스 학파는 당연히 답을 내지 못했고, 자연스레 이토니아의 자부심은 박살났다. 그 여파로 봉인을 지키려는 의지까지 한번에 무너져 간단히 4봉인을 내주고 만다. 말도 안 되는 문제는 무효라고 해 놓고도 이런 문제를 받아들인 건 바보가 아닌가 싶겠지만 사실 작품 내 피타고라스 학파가 모든 수학문제는 무리수가 없어도 풀 수 있다는 자존심으로 똘똘 뭉친 집합체여서 당연히 풀 수 있겠지 하고 이 문제를 받아들인 탓이다.[22]
3.3. 원의 정방화 문제
| "눈금 없는 자와 컴퍼스만을 유한 번 사용하여, 주어진 임의의 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도할 수 있는가?" (= [math(\sqrt{\pi})]값 작도[23]) |
- 각의 삼등분: 8x3 -6x+1 = 0(3배각 공식을 이용하면 나온다. 이 식 자체는 60도의 불가능만 보여주는 것이지만 60도 하나만 찾아내도 그걸로 증명이 끝나는 이유는 이미 설명했다)
- 주어진 부피의 2배가 되는 정육면체: x3 = 2
하지만 이 문제는 아무도 이러한 방정식을 찾을 수 없었기 때문에 위의 두 경우보다 논란이 더 길게 지속됐다. 결국 19세기에 수학자 린데만에 의해 [math(\pi)]가 어떠한 유리계수 방정식의 근이 될 수 없다(즉 [math(\mathbf{\pi})]는 초월수이다)는 사실이 증명되면서 논란이 종료됐다.[24]
이 문제를 풀 수 있으려면, 딱 한마디로 [math(pi)]가 대수적 수여야 한다. 즉, 푼다는 건 말도 안 되는 소리. 그리고 길이가 [math(\pi)]인 선을 작도할 수가 없다. 작도가 가능한 수는 그 길이를 직선으로 나타낼 수 있어야 한다.
고대 이집트의 파피루스의 기록에는 반지름이 1인 원과 넓이가 같은 정사각형의 한 변의 길이(즉, [math(\sqrt \pi)]의 값)의 근삿값을 [math(16/9)][25]으로 제시하고 있지만, 어디까지나 근삿값일 뿐.
이건 뉴시스 작도(neusis construction)와 종이접기 작도로도 해결할 수 없는 문제이다.[26]
| 위 3등분 문제에서 나왔던 원적곡선을 이용한 원적법. 사실 "원적" 곡선이라는 이름에서 보이듯이 원래 원적문제를 위해 개발된 것이다. |
영어로 "Square the circle"이라는 말은 불가능에 가깝거나 아예 불가능한 문제를 푸는 것을 나타내는 비유 표현으로 자리잡기까지 했다.
한편 이 원적문제의 존재는 수학사적으로도 상당한 의미가 있다. 가령 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용한 유클리드 작도 자체는 분명히 고대 그리스 지식층들의 지적 유희에서 비롯된 것이었음에도 의외로 이미 대항해시대 훨씬 이전 시기부터도 구대륙 전체에서 널리 유행하는 행위로서의 입지를 누리고 있었다. 그런데 이러한 유클리드 작도의 폭발적 흥행을 견인했던 요소가 바로 이 원적문제의 존재였다. 당시 구대륙 각지 수학자들의 입장에서 유클리드 작도의 다른 문제들은 그다지 흥미롭지 않을 수도 있었으나 딱 이 원의 정방화 문제만큼은 구대륙 어느 지역에서나 수학자들의 큰 이목을 끌었던 것.
4. 작도 불가능한 이유와 의의
풀 수 없는 까닭을 한마디로 요약하면 '이 문제들을 풀기 위해 필요한 도구와 방법 중 작도 규칙상 허용되지 않는 것이 있기 때문'이다.각의 삼등분과 정육면체의 부피를 두 배로 하는 문제가 작도불능이라는 수학적인 증명을 원한다면 여기를 참고하자. [math(\pi)]의 작도불능([math(\pi)]가 초월수임의 증명)은 아주 복잡해서 전공서적을 찾아야 한다.[27] 그리고 불가능함이 증명돼 있으니 탐구 문제 이상으로 심각하게 생각하지 말자. 이거 풀려고 평생 바치다가 인생 망치는 사람 많다. "불가능함을 증명하는 것"을 기존의 방법보다 좀 더 쉬운 방법으로 하는 방법을 찾는 것 쪽으로 가면 가치 있는 일일 것이다. 의미 있는 도전과 어리석은 도전은 종이 한 장 차이이다. 가령 위에서 종이접기 작도로 각 3등분이 가능함을 소개했지만, 이 증명을 이해한 사람이, 고대 그리스 사람들이 정한 도구와 방법의 제약에 대한 취지를 이해하고, 그냥 '제약 조건을 완화하면 안 풀릴 게 풀린다.' 정도로만 생각하면 정상적으로 문제를 이해하는 것이다. 하지만 만약에 종이접기로 가능함을 증명한 사람이, '종이를 접지 말라는 규칙은 없다. 그래서 내가 종이를 접는 새로운 아이디어를 이용하여 그 누구도 풀지 못했던 아주 오랜 난제를 풀어냈다. 기득권에 빠진 수학자들이 내 아이디어를 폄훼하는 것이다.'고 주장했다면 (그냥 예시이다. 실제로 그랬다는 말은 아니다.) 유사과학이 여기서 시작되는 것이다.
사실 작도, 특히 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용해 도형을 그리는 유클리드 작도 행위 자체는 고대 그리스 수학자들의 하나의 지적 유희에 불과했다.[28] 즉, 오늘 말로 하자면 퀴즈라는 이야기. 철학과 수학의 영역이 완전히 분리되지 않았던 고대 그리스 시대에는 수를 측정하고 계산하는 것보다 이러한 간결한 방식으로 도형의 진리를 구현하는 것을 이상적이라고 여겼으며, 3대 작도 불능 문제라는 거창한 도전과제가 생기고 수많은 사람들이 이를 연구한 것도 그런 역사적 배경의 산물이었다.
다만, 근대 이후 작도가 왜 불가능한가?에 중점을 두고 연구한 수학자들에 의해 그 가치가 조금은 부여됐을지도 모르겠다. 굳이 의의가 있다면 순수하게 기하학의 영역이라고 여겨졌던 작도 문제가 대수학의 방법으로 문제가 풀렸다는 것에 있다[29][30][31](그 역사를 거슬러 올라가자면 가우스가 정n면체의 작도 가능성으로 올라가지만). 더불어 군 이론이 등장하면서 대칭 역시 군으로 표현가능한 대상이 되면서 기하학은 더욱 더 풍부한 도구들을 가지게 됐다.
자칭 이 문제들을 풀었다는 사람들 왈, 편견과 고정관념에 사로잡혀서 문제를 못 푸는 거라고. 그것 자체는 맞는 말이다. 원래 작도라는 것은 '특정한 도구와 방법만 허용하고 그 외의 것을 일절 불허하며 허용하는 도구의 측정 오차는 없다고 가정하는' 전제 하에 고대 그리스 지식인들이 벌인 '지적 스포츠'다. 다시 말해, 위와 같은 사람들이 '편견과 고정관념'이라고 말하는 그것은 작도라는 스포츠를 하는 '게임의 규칙'이다. 수학자들도 그 '게임의 규칙'을 버리면 저 문제들 얼마든지 푼다.[32] 몇백 년 동안 수학자들이 증명하려는 것도 '혹시 그런 편견과 고정관념에 사로잡히고도 풀 수 있나' 였고 결론도 '역시 그런 편견과 고정관념에 사로잡히면 못 푼다' 였다. 한마디로 저 사람들 말은 전공자라면 다들 뻔히 아는 것을 마치 자기들만 알고 있는 것처럼 유세하고 있는 것.[33] 또한 이런 사람들은 원래 문제가 안 풀리다 보니 그때 그 문제를 그대로 푸는 것이 아니라 조건을 첨삭해서 불가능한 문제를 가능한 문제로 바꾸거나 가능한 문제를 불가능한 문제로 바꿔버린다. 당연히 조건을 첨삭한 문제는 그때 그 문제가 아니다.[34] 물론 '고정관념 중 일부는 그대로 남기고 일부는 깰 때 불가능한 문제가 가능한 문제로 바뀌는가?'는 여전히 수학자들의 관심거리다.
이는 마치 축구 경기를 하는데 공격수가 축구공을 손으로 잡고 냅다 돌진해서 골대에 꽂고는, '공을 꼭 발로 다루어야 한다는 고정관념에 집착하니 골을 못 넣는 것이다' 라고 말하는 격이다. 물론 축구라는 단서를 빼고 단지 '공을 골대 안에 가져다 넣는다'라는 결과만 두고 보면, 공을 손으로 잡아 넣을 수도 있고 던져 넣을 수도 있고 라켓 따위로 쳐서 넣을 수도 있고 볼링하듯이 굴려서 넣을 수도 있다. 다른 선수들도 그건 다 알고 있으며, 하려고만 한다면 누구나 쉽게 할 수 있다. 하지만 그건 축구가 아니다. 축구 시합을 하는데 그렇게 넣고 자기가 골을 넣었다고 주장한다면 당연히 반칙이고, 인정되지도 않는다. 작도를 하는데 '고정관념을 버린 새로운 방법'으로 푸는 사람은, 축구 경기에서 '고정관념을 버리고' 럭비를 하려는 사람과 마찬가지인 것이다. 고대 그리스인이 정한 '게임의 규칙'을 벗어난다면 그건 작도가 아니다.[35] 작도 규칙을 어기거나 재해석해도 된다면, 하다못해 계산기로도 위의 문제들을 얼마든지 풀어낼 수 있다. 그러나 그걸 작도라고 주장해서는 안 된다. 그렇게 하고 싶다면 그냥 작도라는 게임의 판에서 떠나야 한다.
[1] "될때까지 무한히 시도해서 성공한다" 혹은 "무한급수를 이용해 특정한 값에 수렴시킨다."는 가정을 하는 것이 불가능하다는 뜻. 하술할 삼등분가 참조.[2] 여기서는 첫번째 문제는 안 다뤘으며 만약 이 문제들을 풀면 영원한 명성을 얻을 거라고 한다.[3] 한국의 중학교 작도 파트에 실려 있는 내용이다.[4] 선분 DC를 선분 AB로 등속으로 내리고, 선분 AD를 선분 AB로 등속으로 회전시킨다고 하자. 이때 맨 마지막에 두 선이 선분 AB에서 겹치도록 설정한 다음, 두 선의 교점을 모두 그리면 원적곡선이 된다.[5] 원적곡선 자체가 해당 점의 각과 y좌표가 정비례하는 곡선이기 때문에 가능한 일이다. 문제가 있다면 원적곡선을 유한번의 과정으로 작도하는게 불가능하기 때문에 작도로 해결해야 하는 문제에는 적용을 못 하는 것.[6] 삼차방정식의 근의 공식을 총동원하면 다음과 같이 된다. [math(\theta)]를 삼등분하라고 했을 때, [math(\cos \theta = X)]라고 두자. 그러면 [math(\displaystyle \cos\frac{\theta}{3}=\frac{\sqrt[3]{X+\sqrt{X^2-1}}+\sqrt[3]{X-\sqrt{X^2-1}}}{2})]가 작도수여야 한다.(복소수 해는 여기서는 관심 외)
그리고 이 방정식의 근이 제곱근의 짝수번 반복으로 풀어지는 조건을 찾아내는 것과 동일하며, 그 결과는 [math(\theta)]가 [math(\angle\mathrm{R})]의 [math(\displaystyle \frac{n}{2^{k}}(n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}))]배여야만 한다는 것과 동치가 된다. 참고로 이 결과는 환원불능이 될 수 밖에 없는데, [math(\displaystyle \cos\frac{\theta}{3}=Y)]라고 두어 위의 식을 다시 전개하면 [math(4Y^{3}-3Y-X=0)]이 되고, 이에 대한 판별식을 보면 [math(\displaystyle D=\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}=\frac{X^2-1}{64})]이다. 그런데 [math(X=\cos \theta\leq 1)]이기 때문에 [math(\cos \theta=\pm 1)]인 경우를 제외하면 기본적으로 [math(D<0)]을 만족해서 환원불능이 될 수 밖에 없는 것이다.[7] 사실 72도는 3등분 작도가 가능하다. 72도를 이등분한 후 정삼각형의 작도법으로 60도를 그린 후 빼면 24(=72/3)이 되기 때문이다.[8] 이게 핵심이다. 각 3등분을 작도할 수 있음을 보이는 게 목적이 아니라 그 작도를 자기가 세계 최초로 했다는 것을 보이는 것이 목적이라 3등분가끼리 서로 협력하지 않는다. 즉 각 3등분 작도가 가능하다고 주장하는 사람 중 '각 3등분 작도를 처음으로 해낸 사람은 누구누구(자신이 아닌 타인)이다.'라고 말하는 사람이 없다.[9] 이 쯤되면 철학으로 가야하지만 사실 연구 대상은 커녕 그 무엇에도 가치가 없다. 저런 인간이 생기는 이유는 자신의 겉핥기식 지식에 대한 교만 때문에 생기는 것이며, 따라서 P-NP문제등의 겉보기엔 쉬워보이는 수학문제들은 멍청한 유사 수학자들이 필연적으로 꼬인다.[10] 그 외에도 원적곡선 역시 무한번의 작도를 거쳐야만 작도가 되는 케이스라서 여기에 포함된다. 게다가 정확히 말하면 이에도 어폐가 있는데, 무한번의 작도로 커버가 가능한 것은 원적곡선에서 y좌표에 대한 고유다항식이 유리수체에서 2의 거듭제곱 차수인 좌표 뿐이다. 즉, 여기서 말하는 무한번이란 가산무한을 의미하는 것. 따라서, 각도가 육십도법 기준으로 고유다항식이 2의 거듭제곱차수가 아니라면 작도가능점을 커버하는 가산집합에 포함되지 않기 때문에 아예 작도가 불가능하다.[11] 이 문제가 나왔을 당시에는 '무한'을 다루는 해석학이라는 것이 존재하지 않았다. 아르키메데스가 비슷한 개념을 깨우쳤지만 주류 그리스 수학에는 편입되지 못했고, 오귀스탱루이 코시에 이르러서야 해석학이 주류 수학으로 자리잡았다.[12] 중심각의 크기가 90°인 호를 새로 만들어서 그걸 삼등분했다. 당연히 원래각의 삼등분과는 다소 오차가 있다.[13] 이게 가능한 이유는 세 가지 문제 중 각 3등분 문제가 유일하게 그 역은 작도 가능한 문제이기 때문이다. 즉, 어떤 정사각형과 넓이가 같은 원, 어떤 정육면체의 부피를 절반으로 하는 정육면체는 작도할 수 없지만 각의 3배는 작도할 수 있어서 그렇다.[14] 사실상 같은 의미로 문제를 이렇게 쓸 수 있다. "임의의 직각삼각형 ABC(각 BCA가 직각)가 있다. 변 BC 위에 2× 각 BAD = 각 DAC를 만족시키는 점 D를 잡는다. 각 ABC의 삼등분선을 작도하라." 이 문제는 각 ABC의 크기에 관계없이 풀 수 있는 문제이다. 점 D의 존재 때문이다. 그저 고대 그리스 사람들은 각 ABC를 임의각이라고 인정하지 않으나 작성자가 자기 임의대로 임의각이라고 할 뿐이다.[15] 60도의 3등분이 가능하다는 주장도 하기는 한다.[16] 한마디로 그 크기를 모르는 각이 60도라면? 에 답할 수도 없으면서 가능하다고 우기는 꼴이다.[17] 이 사람은 수학의 온갖 난제를 해결했다면서 논문이라기도 뭐한 논문을 제출했다가 당연하게 거절당했는데, 자기가 틀린 건 생각 못하고 심사가 엉터리라며 1인시위까지 해 대한수학회를 괴롭혔다. 인터넷에서 볼 수 있는 게시판이라는 게시판은 몽땅 찾아다니면서 자신의 엉터리 수학을 올리기도 했다.[18] 주어진 정육면체의 한 모서리가 [math(a)]이고 그려야 하는 정육면체의 한 모서리를 [math(x)]라고 하면 [math(x^3=2a^3 \rightarrow x=a\sqrt[3]{2})].[19] 또는 원래부터 제단이 정육면체이며 그 모양은 그대로 부피만 2배로 늘리라고 하기도 한다.[20] 후일담 말고도, 철학자 플라톤 여러 수학자들과 궁리를 한 끝에 정육면체의 부피를 2배로 늘어나게 하는 장치의 설계도를 그려서, 그걸로 '델로스 문제'라는 괴물을 퇴치하는 내용의 만화도 있다. 웅진에서 출판한 <수학마왕 3 - 풀리지 않는 세 가지 문제> 참고.[21] "종교를 바꾸면 돼. 빌어먹을 아폴론 같으니. 처음부터 낫게 해 줄 생각이 없었던 거 아냐."[22] 수학 문제가 단순한 학문 이상의 것으로 받아들여지며 전투 자체의 결과에도 강력한 영향을 미치는 해당 세계관의 특성도 한 몫 했다. 또한 마왕군의 해당 제안을 들은 병사들 역시 피타고라스 학파가 해결할 수 없는 문제는 있을 리 없으니 이제 전쟁은 끝났다고 축제 분위기기도 했으니 이제 와서 저 문제를 해결 불가능하다고 선언하면 병력들의 사기 역시 떨어질 것이 자명했었기 때문이었다.[23] 주어진 원의 반지름을 [math(r)]라 하고 그려야 하는 정사각형의 한 변의 길이를 [math(x)]라고 하면 [math(\pi r^2=x^2 → x=r\sqrt{\pi})]. 여기서 [math(r=1)]이라 가정 시 [math(x=\sqrt{\pi})][24] [math(\sqrt{\pi})]가 초월수라는 것은 [math(\pi)]가 초월수라는 사실만 알고 있다는 가정 하에서 고등학생 수준에서도 증명 가능하다. 간단히 말해서 [math(sqrt{pi})]가 초월수가 아닌 대수적인 수라고 가정한 뒤 대수적인 수의 제곱도 대수적이므로 (이 명제 증명은 연습문제로 남긴다. A(x) = 0인 정수계수다항식에 적당한 다항식을 곱해 B(x^2) = 0인 정수계수다항식 B를 만들 수 있다) [math(\pi)]는 대수적인 수여야 하는데 [math(\pi)]는 초월수이므로 전제에서 모순이 생긴다고 증명하면 된다.[25] 1.7777777 ... 로 계속 순환한다. 실제 [math(\sqrt \pi)]의 값(약 1.77245385091)과 소수점 이하 둘째 자리까지 일치한다.[26] 대신 (이론적으로) 끈을 쓰면 가능하긴 하지만 이건 이미 작도의 범주에서 한참 벗어난 해결방법이다.[27] 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용한 빠르고 (상대적으로) 간단한 증명법이 있는데, 이쪽의 경우는 굳이 따지면 린데만-바이어슈트라스 정리의 증명을 따로 하지 않고 맞다고 인정한 뒤에 사용하여 증명한거라서 전체 과정이 복잡하지 않다고 단언하기는 힘들다.[28] 당시에도 실용적인 목적으로 도형을 그려야 할 경우에는 굳이 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 불편하게 '작도'를 하는 것이 아니라, 그보다 더 좋은 도구들을 가지고 '제도'를 하는 것이 당연하게 받아들여져 왔다.[29] 이를 수학적으로 표현한다면 도형에 관한 문제를 수학식으로 바꾸어 풀었다는 말로 표현된다. 이를 발전시킨 것이 대수기하학이다.[30] 사실 작도가 불능하다는 증명을 믿지 못하는 사람들이 계속 나오는 이유도 근본적으로 여기에 있다고 할 수 있다. 아무리 봐도 기하학만의 영역으로 생각되는 문제를 전혀 쌩뚱맞아 보이는 대수적 방법으로 해결했으며 증명 과정 또한 추상적이기 그지없기 때문이다. 그리고 가르치는 사람들이 '쓰지 말라는 도구와 방법이 많으므로' 안 되는 것이 당연한데, 그것을 마치 신기한 것처럼 가르치기 때문인 것도 있다.[31] 비슷한 케이스로 타원곡선을 이용해 증명에 성공한 페르마의 마지막 정리, 미분기하학을 이용해 증명한 푸앵카레 정리 등이 있다. 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 기하학의 영역인 타원곡선을 표현하는 방정식이 피타고라스 수의 관계식과 유사한 형태를 띠고 있다는 것에 착안해 출발했으니 3대 작도 불능 문제와는 정반대인 셈. 결국 이들의 공통점은 본래 문제의 수학 분야와는 다른 분야를 들고 와서 푼 것이다.[32] 근삿값을 구해 정칠각형과 정십일각형 같은 작도 불가능한 도형들도 얼마든지 제도할 수 있다. 당연하겠지만 이런 '제도'는 작도의 정의에서 벗어난다.[33] 즉 그 편견과 고정관념을 깨고 이 문제를 푼 사람은 고대부터 헤아리면 엄청나게 많으며 현대에 누군가 해냈다는 것은 그저 뒷북이다.[34] 가령 '삼각형'에서 한 각을 3등분하는 것은 작도 불능이지만, '다른 두 각이 삼등분되어 있는 삼각형'에서 한 각을 삼등분하는 것은 작도 가능하다. 마찬가지로 '이미 그려져 있는 40도의 각을 이등분'하는 것은 작도 가능하나 '40도의 각을 그려서 이등분'하는 것은 작도 불가능하다.[35] 이들 중에는 규칙의 전부가 아닌 일부만 드러내면서, 규칙을 어기면서 어기지 않는 척을 하는 경우도 있다. 자와 컴퍼스 이외의 도구만 안 쓴다면 무슨 짓을 해도 되는 것이 절대 아니다. 축구로 치면 적진 깊숙하게 들어간 자기 편 선수에게 발로 정확하게 패스를 한 후 패스를 받은 선수가 골을 넣었는데, 주심이 득점을 인정하지 않자 편파판정한다고 우기면서 온갖 축구의 반칙을 한 가지만 빼고 쭉 나열한 후 자기가 이 중 무슨 반칙을 했느냐고 외치는 것이나 똑같다.
그리고 이 방정식의 근이 제곱근의 짝수번 반복으로 풀어지는 조건을 찾아내는 것과 동일하며, 그 결과는 [math(\theta)]가 [math(\angle\mathrm{R})]의 [math(\displaystyle \frac{n}{2^{k}}(n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}))]배여야만 한다는 것과 동치가 된다. 참고로 이 결과는 환원불능이 될 수 밖에 없는데, [math(\displaystyle \cos\frac{\theta}{3}=Y)]라고 두어 위의 식을 다시 전개하면 [math(4Y^{3}-3Y-X=0)]이 되고, 이에 대한 판별식을 보면 [math(\displaystyle D=\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}=\frac{X^2-1}{64})]이다. 그런데 [math(X=\cos \theta\leq 1)]이기 때문에 [math(\cos \theta=\pm 1)]인 경우를 제외하면 기본적으로 [math(D<0)]을 만족해서 환원불능이 될 수 밖에 없는 것이다.[7] 사실 72도는 3등분 작도가 가능하다. 72도를 이등분한 후 정삼각형의 작도법으로 60도를 그린 후 빼면 24(=72/3)이 되기 때문이다.[8] 이게 핵심이다. 각 3등분을 작도할 수 있음을 보이는 게 목적이 아니라 그 작도를 자기가 세계 최초로 했다는 것을 보이는 것이 목적이라 3등분가끼리 서로 협력하지 않는다. 즉 각 3등분 작도가 가능하다고 주장하는 사람 중 '각 3등분 작도를 처음으로 해낸 사람은 누구누구(자신이 아닌 타인)이다.'라고 말하는 사람이 없다.[9] 이 쯤되면 철학으로 가야하지만 사실 연구 대상은 커녕 그 무엇에도 가치가 없다. 저런 인간이 생기는 이유는 자신의 겉핥기식 지식에 대한 교만 때문에 생기는 것이며, 따라서 P-NP문제등의 겉보기엔 쉬워보이는 수학문제들은 멍청한 유사 수학자들이 필연적으로 꼬인다.[10] 그 외에도 원적곡선 역시 무한번의 작도를 거쳐야만 작도가 되는 케이스라서 여기에 포함된다. 게다가 정확히 말하면 이에도 어폐가 있는데, 무한번의 작도로 커버가 가능한 것은 원적곡선에서 y좌표에 대한 고유다항식이 유리수체에서 2의 거듭제곱 차수인 좌표 뿐이다. 즉, 여기서 말하는 무한번이란 가산무한을 의미하는 것. 따라서, 각도가 육십도법 기준으로 고유다항식이 2의 거듭제곱차수가 아니라면 작도가능점을 커버하는 가산집합에 포함되지 않기 때문에 아예 작도가 불가능하다.[11] 이 문제가 나왔을 당시에는 '무한'을 다루는 해석학이라는 것이 존재하지 않았다. 아르키메데스가 비슷한 개념을 깨우쳤지만 주류 그리스 수학에는 편입되지 못했고, 오귀스탱루이 코시에 이르러서야 해석학이 주류 수학으로 자리잡았다.[12] 중심각의 크기가 90°인 호를 새로 만들어서 그걸 삼등분했다. 당연히 원래각의 삼등분과는 다소 오차가 있다.[13] 이게 가능한 이유는 세 가지 문제 중 각 3등분 문제가 유일하게 그 역은 작도 가능한 문제이기 때문이다. 즉, 어떤 정사각형과 넓이가 같은 원, 어떤 정육면체의 부피를 절반으로 하는 정육면체는 작도할 수 없지만 각의 3배는 작도할 수 있어서 그렇다.[14] 사실상 같은 의미로 문제를 이렇게 쓸 수 있다. "임의의 직각삼각형 ABC(각 BCA가 직각)가 있다. 변 BC 위에 2× 각 BAD = 각 DAC를 만족시키는 점 D를 잡는다. 각 ABC의 삼등분선을 작도하라." 이 문제는 각 ABC의 크기에 관계없이 풀 수 있는 문제이다. 점 D의 존재 때문이다. 그저 고대 그리스 사람들은 각 ABC를 임의각이라고 인정하지 않으나 작성자가 자기 임의대로 임의각이라고 할 뿐이다.[15] 60도의 3등분이 가능하다는 주장도 하기는 한다.[16] 한마디로 그 크기를 모르는 각이 60도라면? 에 답할 수도 없으면서 가능하다고 우기는 꼴이다.[17] 이 사람은 수학의 온갖 난제를 해결했다면서 논문이라기도 뭐한 논문을 제출했다가 당연하게 거절당했는데, 자기가 틀린 건 생각 못하고 심사가 엉터리라며 1인시위까지 해 대한수학회를 괴롭혔다. 인터넷에서 볼 수 있는 게시판이라는 게시판은 몽땅 찾아다니면서 자신의 엉터리 수학을 올리기도 했다.[18] 주어진 정육면체의 한 모서리가 [math(a)]이고 그려야 하는 정육면체의 한 모서리를 [math(x)]라고 하면 [math(x^3=2a^3 \rightarrow x=a\sqrt[3]{2})].[19] 또는 원래부터 제단이 정육면체이며 그 모양은 그대로 부피만 2배로 늘리라고 하기도 한다.[20] 후일담 말고도, 철학자 플라톤 여러 수학자들과 궁리를 한 끝에 정육면체의 부피를 2배로 늘어나게 하는 장치의 설계도를 그려서, 그걸로 '델로스 문제'라는 괴물을 퇴치하는 내용의 만화도 있다. 웅진에서 출판한 <수학마왕 3 - 풀리지 않는 세 가지 문제> 참고.[21] "종교를 바꾸면 돼. 빌어먹을 아폴론 같으니. 처음부터 낫게 해 줄 생각이 없었던 거 아냐."[22] 수학 문제가 단순한 학문 이상의 것으로 받아들여지며 전투 자체의 결과에도 강력한 영향을 미치는 해당 세계관의 특성도 한 몫 했다. 또한 마왕군의 해당 제안을 들은 병사들 역시 피타고라스 학파가 해결할 수 없는 문제는 있을 리 없으니 이제 전쟁은 끝났다고 축제 분위기기도 했으니 이제 와서 저 문제를 해결 불가능하다고 선언하면 병력들의 사기 역시 떨어질 것이 자명했었기 때문이었다.[23] 주어진 원의 반지름을 [math(r)]라 하고 그려야 하는 정사각형의 한 변의 길이를 [math(x)]라고 하면 [math(\pi r^2=x^2 → x=r\sqrt{\pi})]. 여기서 [math(r=1)]이라 가정 시 [math(x=\sqrt{\pi})][24] [math(\sqrt{\pi})]가 초월수라는 것은 [math(\pi)]가 초월수라는 사실만 알고 있다는 가정 하에서 고등학생 수준에서도 증명 가능하다. 간단히 말해서 [math(sqrt{pi})]가 초월수가 아닌 대수적인 수라고 가정한 뒤 대수적인 수의 제곱도 대수적이므로 (이 명제 증명은 연습문제로 남긴다. A(x) = 0인 정수계수다항식에 적당한 다항식을 곱해 B(x^2) = 0인 정수계수다항식 B를 만들 수 있다) [math(\pi)]는 대수적인 수여야 하는데 [math(\pi)]는 초월수이므로 전제에서 모순이 생긴다고 증명하면 된다.[25] 1.7777777 ... 로 계속 순환한다. 실제 [math(\sqrt \pi)]의 값(약 1.77245385091)과 소수점 이하 둘째 자리까지 일치한다.[26] 대신 (이론적으로) 끈을 쓰면 가능하긴 하지만 이건 이미 작도의 범주에서 한참 벗어난 해결방법이다.[27] 린데만-바이어슈트라스 정리를 이용한 빠르고 (상대적으로) 간단한 증명법이 있는데, 이쪽의 경우는 굳이 따지면 린데만-바이어슈트라스 정리의 증명을 따로 하지 않고 맞다고 인정한 뒤에 사용하여 증명한거라서 전체 과정이 복잡하지 않다고 단언하기는 힘들다.[28] 당시에도 실용적인 목적으로 도형을 그려야 할 경우에는 굳이 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 불편하게 '작도'를 하는 것이 아니라, 그보다 더 좋은 도구들을 가지고 '제도'를 하는 것이 당연하게 받아들여져 왔다.[29] 이를 수학적으로 표현한다면 도형에 관한 문제를 수학식으로 바꾸어 풀었다는 말로 표현된다. 이를 발전시킨 것이 대수기하학이다.[30] 사실 작도가 불능하다는 증명을 믿지 못하는 사람들이 계속 나오는 이유도 근본적으로 여기에 있다고 할 수 있다. 아무리 봐도 기하학만의 영역으로 생각되는 문제를 전혀 쌩뚱맞아 보이는 대수적 방법으로 해결했으며 증명 과정 또한 추상적이기 그지없기 때문이다. 그리고 가르치는 사람들이 '쓰지 말라는 도구와 방법이 많으므로' 안 되는 것이 당연한데, 그것을 마치 신기한 것처럼 가르치기 때문인 것도 있다.[31] 비슷한 케이스로 타원곡선을 이용해 증명에 성공한 페르마의 마지막 정리, 미분기하학을 이용해 증명한 푸앵카레 정리 등이 있다. 페르마의 마지막 정리에 대한 증명은 기하학의 영역인 타원곡선을 표현하는 방정식이 피타고라스 수의 관계식과 유사한 형태를 띠고 있다는 것에 착안해 출발했으니 3대 작도 불능 문제와는 정반대인 셈. 결국 이들의 공통점은 본래 문제의 수학 분야와는 다른 분야를 들고 와서 푼 것이다.[32] 근삿값을 구해 정칠각형과 정십일각형 같은 작도 불가능한 도형들도 얼마든지 제도할 수 있다. 당연하겠지만 이런 '제도'는 작도의 정의에서 벗어난다.[33] 즉 그 편견과 고정관념을 깨고 이 문제를 푼 사람은 고대부터 헤아리면 엄청나게 많으며 현대에 누군가 해냈다는 것은 그저 뒷북이다.[34] 가령 '삼각형'에서 한 각을 3등분하는 것은 작도 불능이지만, '다른 두 각이 삼등분되어 있는 삼각형'에서 한 각을 삼등분하는 것은 작도 가능하다. 마찬가지로 '이미 그려져 있는 40도의 각을 이등분'하는 것은 작도 가능하나 '40도의 각을 그려서 이등분'하는 것은 작도 불가능하다.[35] 이들 중에는 규칙의 전부가 아닌 일부만 드러내면서, 규칙을 어기면서 어기지 않는 척을 하는 경우도 있다. 자와 컴퍼스 이외의 도구만 안 쓴다면 무슨 짓을 해도 되는 것이 절대 아니다. 축구로 치면 적진 깊숙하게 들어간 자기 편 선수에게 발로 정확하게 패스를 한 후 패스를 받은 선수가 골을 넣었는데, 주심이 득점을 인정하지 않자 편파판정한다고 우기면서 온갖 축구의 반칙을 한 가지만 빼고 쭉 나열한 후 자기가 이 중 무슨 반칙을 했느냐고 외치는 것이나 똑같다.