1. 개요
'리 군'이라고 불리는 수학적 대상이 둘 존재한다. 이 문서에서는 둘을 모두 소개한다.2. Lie group
노르웨이의 수학자인 마리우스 소푸스 리(Marius Sophus Lie)가 1888년에 발표 및 기술한 개념으로,[1][2] 위상군 중 매끄러운 위상군을 뜻한다. 이 리군(Lie group)에서 정의될 수 있는 또 하나의 독특한 대수적 구조가 있는데, 이걸 리 대수(Lie algebra)라고 한다.리 군과 리 대수는 기하학적 변환의 대수적 표현에서 영감을 받아 탄생한 개념으로 선형대수학뿐만아니라 물리학에서도 주요하게 다루어진다.
2.1. 정의
좀 더 구체적인 정의는 다음과 같다.주어진 군 [math((G, \cdot))]이 매끄러운 다양체 (smooth manifold) 구조를 가지고 있으며, [math(\cdot : G \times G \to G)]와 [math(i : G \to G \; (G \ni g \mapsto g^{-1}))]가 매끄러울 때, 그리고 그럴 때에만 [math((G, \cdot))]를 리 군(Lie group)이라고 부른다.
2.2. 예시
사실 리 군들은 유한 군들보다 더 친숙한 대상이라 할 수 있을 것이다. 다음과 같은 예들을 보자.- 실수 집합[3]은 가장 단순한 예 중 하나이다.
- 벡터 공간 [math(\R^n)]에서 덧셈 연산만 생각한 것 역시 리 군이다.
- 원주 상의 두 점을 각각의 각(예를 들어 [math(x)]축과 이루는 각)을 더한 각에 대응하는 점을 대응시키는 것으로 두 점 간의 "곱셈" (혹은 덧셈)을 정의할 수 있다. 이 역시 리 군이다. 이와 동형인 (isomorphic) 것으로, 크기가 1인 복소수들을 모두 모은 집합에 보통 복소수 곱을 생각해 볼 수 있다. 보통 이걸 [math(S^1)]이라고 표기한다.
- 물론 [math(\R^n)]과 같이 [math((S^1)^n)]에도[4] 리 군 구조를 자연스럽게 줄 수 있다. 따라서 도넛을 리 군으로 간주할 수 있다!
- 당연하지만 [math(\R^m \!\times \!(S^1)^n)] 역시 리 군으로 간주할 수 있다.[5]
가환(commutative) 리 군만 봤는데, 물론 가환이지 않은 리 군도 있고, 훨씬 더 다채롭다. 몇 개만 들어 보자.
- [math(n \times n)] 행렬들 중 역행렬을 갖는 행렬들만 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 주면 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm GL}(n, F))]라고 표기하고 선형(변환)군(general linear group)이라고 부른다. 여기서 [math(F)]는 주어진 field이며, 잘 모르면 그냥 [math(\R)], [math(\mathbb{C})] 중 하나라고 생각해도 좋다.
- 그 중에서 행렬식이 1인 행렬들만 모은 것도 역시 리 군이 된다.[6] 보통 이걸 [math({\rm SL}(n, F))]라고 표기하고 special linear group이라고 부른다. 앞으로 'S'가 붙은 것들은 이름에도 'special'을 붙인다.
- [math(n \times n)] 실수 행렬들 중 orthogonal한 것들을 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 준 것 역시 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm O}(n))]이라고 표기하고[7] 직교군(orthogonal group)이라고 부른다. 물론 그 중에서 행렬식이 1인 것들만 모은 것도 리 군이 되며, 이건 [math({\rm SO}(n))]이라고 표기하고 특수 직교군(special orthogonal group)이라고 부른다.
- [math(n \times n)] 복소수 행렬들 중 unitary한 것들을 모은 집합에 행렬곱을 곱 연산으로 준 것 역시 리 군이 된다. 보통 이걸 [math({\rm U}(n))]이라고 표기하고 유니터리군(unitary group)이라고 부른다. 물론 그 중에서 행렬식이 1인 것들만 모은 것도 리 군이 되며, 이건 [math({\rm SU}(n))]이라고 표기하고 특수 유니터리군(special unitary group)이라고 부른다.
- 조금 특이한 걸 꺼내보자. 다음 행렬을 생각해 보자.
[math(M = \left( \begin{array}{cc} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{array} \right))].
여기서 [math(I_n)]은 [math(n \times n)] 단위행렬이다. 이제 [math(A^T MA = M)]을 만족하는 [math(A)]들을 모은 집합을 [math({\rm Sp}(2n, F))]라고 표기하자. 그러면 이 집합에 속하는 임의의 두 행렬을 곱한 것과 어떤 한 행렬의 역행렬(항상 역행렬을 가진다는 것 또한 보일 수 있다) 또한 저 집합에 속한다는 것을 알 수 있다. 좀 더 살펴보면 [math({\rm Sp}(2n, F))] 역시 리 군임을 알 수 있다. 이 군을 가리켜 symplectic group이라고 부른다. - 이번엔 다음과 같은 실수 행렬을 생각해 보자.
[math(J_{n,m} = \left( \begin{array}{cc} I_m & 0 \\ 0 & -I_n \end{array} \right))].
이제 [math(A^T MA = M)]을 만족하는 [math(A)]들을 모은 집합을 [math({\rm O}(m, n))]이라고 표기하자. 이 역시 리 군을 이룬다는 것을 볼 수 있다. 물론 위와 똑같이 [math({\rm SO}(m, n))] 역시 정의할 수 있다. 특히, [math({\rm SO}(1, 3))] (혹은 [math({\rm SO}(3, 1))])을 가리켜 로런츠 군(Lorentz group)이라고 부른다. - 여기까지 소개된 군들 중 special group(S가 붙은 것)들을 모으고, 여기에 사원수를 성분으로 갖는 행렬들로 비슷한 몇몇 리 군들을 구성한 다음 끼얹으면, 소위 고전 군(classical group)들이라고 불리는 한 세트를 얻을 수 있다.
- 위에서 [math(\R^n)]이 리 군임을 보았다. 한편, 우리는 [math(\R^n)]에 가해지는 [math({\rm SO}(n))]의 매우 자연스러운 작용(action)을 알고 있다. 물론 그건 그냥 행렬곱이다. 이제 [math({\rm SO}(n) \times \R^n)]에 다음과 같은 곱을 주자.
[math((A, v) \cdot (B, w) = (AB, v + Aw))].
사실 이 곱은 다름 아닌 반직접곱(semidirect product) 구조를 준다. 즉, 이로부터 [math({\rm SO}(n) \ltimes \R^n)]를 정의한 셈이다. 사실 이건 보통 [math({\rm ISO}(n))]이라고 표기되며, 유클리드 군(Euclidean group)이라고 불린다. 물론 [math({\rm SO}(n))] 말고 다른 리 군을 넣어도 이런 새로운 리 군을 만들 수 있다. 그 중에서도 또 이름이 붙은 경우는 [math({\rm SO}(1, 3) \ltimes \R^4)]인데, 이건 푸앵카레 군(Poincaré group)이라고 불린다. - 다음과 같은 꼴의 행렬들을 모은 집합을 생각해 보자.
[math(J_{n,m} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right))].
이 역시 리 군을 이룬다. 이걸 하이젠베르크 군(Heisenberg group)이라고 부른다.
물론 이게 다는 아니다. 그 외에도 정말 많은 비가환 리 군이 존재한다. 심지어 행렬 꼴로 나타낼 수 없는 리 군도 존재한다![8] 위와 같이 유한한 수의 카테고리들로 모든 리 군들을 분류할 수 있는가 하는 질문은 대답하기 어려워 보인다.[9] 하지만 다행스럽게도 리 대수에서의 업적을 통해 단순 리 군(simple Lie group)들이 모두 분류가 되었으며, 이는 리 군을 다루는 데 있어서 강력한 도구로 자리매김한다.
더군다나 많은 분야에서 실제로 관심 있는 리 군은 컴팩트 리 군(compact Lie group)들이다. 이들은 이미 모두 분류가 끝나 있는 상태이다.[10] 심지어 이들의 표현(representation)들도 모두 분류된 상태이다! 이 결과물은 물리학의 최전선 뿐만 아니라 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다.
2.3. 리 군의 리 대수
앞에서 간간히 리 대수라는 용어를 써 왔다. 리 대수는 리 군과 별개의 것으로 따로 추상화되어서 많이 연구되긴 했지만, 리 군의 가장 중요한 요소 중 하나인 것은 분명하다. 후술할 내용들로 인하여 주어진 리 군을 알고 싶으면 그 군의 리 대수를 먼저 알아야 할 정도이다.추상화된 리 대수와는 별개로 '리 군의 리 대수'는 다음과 같이 정의된다.
주어진 리 군의 left-invariant 벡터 장(vector field)들을 모은 집합은 리 군 위의 벡터 장들을 모은 '리 대수'[11]의 리 부분대수(Lie subalgebra)를 이룬다. 이 리 부분대수를 (주어진) 리 군의 리 대수라고 부른다.
여기서 left-invarint하다는 것은 임의의 left multiplication에 대해 불변하다는 뜻이다. 다르게 표현하자면 임의의 left multiplication에 대해 자기 자신과 related하다고도 할 수 있다. 좀 더 구체적으로 설명하자면 다음과 같다. 먼저 주어진 리 군을 [math(G)]라고 표기하고, 임의의 [math(a \in G)]에 대해 [math(L_a : G \ni g \mapsto ag)]를 정의할 수 있다. 그러면 [math(G)] 위의 어떤 벡터 장 [math(X)]에 대하여 모든 [math(a, g \in G)]에 대해 [math(T_g L_a X(g) = (X \circ L_a)(g))]가 성립하면, 그리고 그럴 때에만 [math(X)]가 left-invariant하다고 말한다. 한편 이 invariance가 사실 리 괄호(Lie bracket)을 보존한다는 사실로부터 left-invariant한 벡터 장들을 모두 모은 공간이 리 대수를 이룬다는 것을 알 수 있다. 많은 경우 해당 리 군 표기에서 대문자를 소문자로 바꾼 다음 프락투어(fraktur) 글꼴로 바꿔 쓴 걸로 리 군의 리 대수를 표기하곤 한다. 지금의 예(G)에선 [math(\mathfrak g)]라고 표기한다는 뜻이다. 그리고 예를 들어 [math({\rm GL}(n, \R))], [math({\rm SO}(n))] 각각의 리 대수는 [math(\mathfrak{gl}(n, \R))], [math(\mathfrak{so}(n))]으로 표기된다는 것이다.
이 리 대수는 리 군을 연구하는 데 있어서 몹시 중요한데, 왜냐하면 리 군의 리 대수가 무엇이냐에 따라 해당 리 군의 구조 대부분이 결정되기 때문이다. 예를 들어 다음의 정리들이 있다.
두 단순 연결 리 군 간의 리 군 준동형사상(Lie group homomorphism)[12]들과 두 리 군의 각 리 대수 간의 리 대수 준동형사상(Lie algebra homomorphism) 간에 일대일 대응이 있다.
두 단순 연결 (simply connected) 리 군이 동형일[13] 필요충분조건은 두 리 군의 각 리 대수가 동형일 것이다.
주어진 연결 리 군의 연결 리 부분군(connected Lie subgroup)과 리 대수의 리 부분대수(Lie subalgebra) 간에 일대일 대응이 있다. 특히 연결 리 정규부분군(connected normal Lie subgroup)과 리 대수의 아이디얼(ideal)들 간에 일대일 대응이 있다.
비록 단순 연결 리 군 혹은 연결 리 군만 이야기하고 있긴 하지만, 어차피 비연결 리 군의 경우 연결 성분(connected component)들이 모두 미분기하학적으로 동형이기 때문에 (diffeomorphic) 이걸로도 충분하며, 단순 연결이지 않은 경우, 이 리 군의 universal covering group을 생각한 다음에 이것의 적당한 몫군(quotient group)을 생각하여 원하는 리 군의 구조를 파악할 수 있다. 결국 몇몇 광역적인 성질들을 제외한 대부분의 성질들이 리 대수로 인해 결정된다고 말할 수 있는 것이다.
3. Ree group
한국계 캐나다인 수학자인 이임학이 발표한 개념으로, 유한 단순군의 일종이다. 위의 Lie group을 연구하다가 나온 아이디어를 유한 단순군 이론에 적용시켜 얻은 새로운 유한 단순군 족들[14] 중 하나이다. 따라서 리 군(Lie group) 중 하나라고 보기엔 애매하다.[1] Theorie der transformationsgruppen by Lie, Sophus(1842-1899) Engel, Friedrich(1861-1941) https://archive.org/details/theotransformation01liesrich[2] 마리우스 소푸스 리(Marius Sophus Lie) #[3] 덧셈만 생각했을 때이다. 양의 실수 집합에 실수 곱만 냅둔 것도 한 예이다. 심지어 이 둘은 리 군 동형(Lie group isomophic)이다.[4] 물론 [math(n \ne 1)]일 때 [math(S^n)]과는 다르다. 이건 구이다.[5] 왜 굳이 이런 것까지 쓰냐면, 이것들이 사실 연결 가환 행렬 리 군(connected and commutative matrix Lie group)들의 전부이기 때문이다. Brian Hall의 Lie Groups, Lie_Algebras, and Representations (Springer, 2015)의 Proposition 11.2를 보자. 단, 이 책에 써져 있는 것만 놓고 보면 컴팩트한 경우만 분류한 것으로 보이나, 사실 증명 말미를 자세히 보면 컴팩트하지 않은 경우까지 커버하고 있다는 것을 볼 수 있다. 단지 그 파트에서 컴팩트하지 않은 경우는 관심이 없어서 그렇지.(...)[6] 곱 연산에 대해 닫혀 있고 역행렬 역시 모두 포함하며, 이들 연산이 매끄럽다는 것을 보이는 건 이 예를 포함하여 아래 모든 예제들에서 매우 간단한 문제이다. 하지만 문제는 저 녀석들이 정말로 잘 정의된 매끄러운 부분다양체(submanifold) 구조를 가지느냐를 보이는 것이다. 이건 보통 쉬운 일이 아니고, closed group theorem 같은 다른 성질들의 도움을 받아서 증명한다.[7] 주의: 점근 표기법과 표기가 비슷하다. O의 기울임꼴 유무의 차이에 주의할 것. 때에 따라서는 점근 표기법을 흘림체([math(\mathcal O)])로 쓰기도 한다.[8] Brian Hall, Lie Groups, Lie_Algebras, and Representations (Springer, 2015), Proposition 5.16.[9] 다만 Levi decomposition으로 주어진 리 군의 구조를 어느 정도 잘 뜯어 볼 수 있긴 하다. 특히 해당 리 군의 리 대수를 들여다 보면 Levi decomposition도 더 수월하게 할 수 있다. 광역적 위상 성질(globally topological property)들도 조사해야 하고 이건 또 별개의 일이지만...[10] 그 중 일부는 이 링크에 잘 정리되어 있다.[11] 벡터 장들을 모은 집합에 물론 벡터 공간 구조를 줄 수 있으며, 리 괄호(Lie bracket)을 통해 정의된 두 벡터 장의 '곱'을 생각할 수 있다.[12] 매끄러운 군 준동형사상(group homomorphism)[13] 군 동형사상(group isomorphism)이 존재하며 이 사상과 그 역사상이 모두 매끄러울 경우[14] 이에 따라 (simple) groups of Lie type이라고 부른다.