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최근 수정 시각 : 2024-10-13 19:48:28

가비의 이

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1. 개요2. 증명3. 심화
3.1. 증명
4. 활용
4.1. 피타고라스 정리
5. 예제6. 명칭 논쟁7. 기타

1. 개요

가비의 이(加比- 理; componendo and dividendo theorem) 또는 가비의 리는 아래와 같이, 두 비가 같을 때, 분자와 분모를 따로 더하여 얻은 비도 처음의 두 비와 같다는 법칙으로, 다음의 항등식으로 나타낼 수 있다.
[math(\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{a+c}{b+d})]
(단, [math(b\ne0)], [math(d\ne0)], [math(b+d\ne0)])
이것이 성립하는 이상 셋 이상의 비에서도 가비의 이는 얼마든지 성립하며, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots =\dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k})]
[math(\biggl()]단, [math(a_k\ne 0)], [math(b_k\ne0)], [math(\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})\ne 0)], [math(\sum\limits_{k=1}^n a_k\ne0\biggr))]

[math(\rm tr)]은 주대각합, [math(\otimes)]는 텐서곱, [math(I)]는 단위행렬이다. [math(\bf a)], [math(\bf b)]는 각각 [math(a_1\cdots a_n)], [math(b_1\cdots b_n)]을 벡터로 표현한 것이다.

2. 증명

두 비에 대한 경우는 대수적으로 간단히 증명할 수 있다. [math(c=ak)], [math(d=bk)] (단, [math(k\ne0)])라 놓으면
[math(\dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a+ak}{b+bk} = \dfrac{a(k+1)}{b(k+1)} = \dfrac ab)]
이는 비가 2개 뿐만 아니라 3, 4개 있다고 해도 동일하게 적용된다. 일반화된 관계식의 경우
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K)]
라 하면, [math(b_k = Ka_k)]이므로
[math(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n a_k}} = K)]
한편 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k)]는 선형 변환을 통해
[math(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = \operatorname{tr}\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{bmatrix} = \operatorname{tr}(I\otimes{\bf a}))]
로 변형할 수 있으므로, 아래의 식과도 동치가 된다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(I\otimes{\bf a})})]

3. 심화

나아가, 더욱 일반적인 차원에서 다음도 가비의 이라고 한다.
[math(\dfrac ab = \dfrac cd = \dfrac{xa+yc}{xb+yd})]
(단, [math(b\ne0)], [math(d\ne0)], [math(xb+yd\ne0)])
새로운 변수를 얼마든지 추가해도 가비의 이는 성립하는데, 이를 일반화하면 다음과 같다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n}= \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})} = \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k})]
[math(\biggl()]단, [math(a_k\ne0)], [math(b_k\ne0)], [math(\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\ne0)], [math(\sum\limits_{k=1}^n x_ka_k \ne 0\biggr))]
[math(\overline{\bf x})]는 [math(\bf x)]의 켤레이다.

3.1. 증명

[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = K)]
라 하면, [math(b_k = Ka_k)]이므로
[math(\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_kb_k}{\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k} = \dfrac{\displaystyle K\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}}{\displaystyle\cancel{\sum_{k=1}^n x_ka_k}} = K)]
위 문단과 마찬가지로 수열의 합 [math(\displaystyle\sum_{k=1}^n x_ka_k)]는 선형 변환을 통해
[math(\begin{aligned} \sum_{k=1}^n x_k a_k &= \operatorname{tr} \begin{bmatrix} x_1 a_1 & x_2 a_1 & \cdots & x_n a_1 \\ x_1 a_2 & x_2 a_2 & \cdots & x_n a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1 a_n & x_2 a_n & \cdots & x_n a_n \end{bmatrix} \\ &= \operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})\end{aligned})]
로 변형할 수 있으므로[1], 아래의 식과 동치가 된다.
[math(\dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} = \dfrac{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf b})}{\operatorname{tr}(\overline{\bf x}\otimes{\bf a})})]

4. 활용

수학 정리를 증명할 때 가비의 이를 활용할 수 있다.

4.1. 피타고라스 정리

파일:나무_가비의리_피타고라스.png
각 [math(\rm C)]를 직각으로 하는 삼각형 [math(\rm ABC)]가 있다. 점 [math(\rm C)]에서 빗변 [math(\rm AB)]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라고 하면 직각삼각형 [math(\rm ABC)], [math(\rm ACH)], [math(\rm CBH)]는 각각 닮음이고, 닮은 직각삼각형의 넓이는 닮음비에 따라 빗변의 제곱에 비례하므로
[math(\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} = \dfrac{\overline{\rm AC}^2}{\triangle\rm ACH} = \dfrac{\overline{\rm BC}^2}{\triangle\rm CBH})]
가비의 이를 적용하면
[math(\begin{aligned}\dfrac{\overline{\rm AB}^2}{\triangle\rm ABC} &= \dfrac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ACH + \triangle CBH} \\ &= \dfrac{\rm\overline{AC}^2 + \overline{BC}^2}{\rm\triangle ABC}\\ \therefore\rm\overline{AB}^2 &= \rm\overline{AC}^2 + \rm\overline{BC}^2\end{aligned})]

5. 예제

[문제]
세 상수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여

[math(\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = k)]

를 만족시키는 [math(k)]의 값을 구하시오. (단, [math((3a-b-c)(3b-c-a)(3c-a-b)\ne0)])

[풀이 보기]
-----
[1] [math(\bm{a+b+c\ne0})]
가비의 이에 의하여
[math(\begin{aligned} \dfrac a{3a-b-c} &= \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} \\ &= \dfrac{a+b+c}{(3a-b-c)+(3b-c-a)+(3c-a-b)} \\ &= \dfrac{a+b+c}{a+b+c}= 1 \end{aligned})]

[2] [math(\bm{a+b+c=0})]
가비의 이를 사용하지 못하므로 [math(a+b+c=0)] 자체를 단서로 활용한다.
[math(\begin{aligned} \frac a{3a-b-c} &= \frac a{3a+a} = \frac14 \\ \frac b{3b-c-a} &= \frac b{3b+b} = \frac14 \\ \frac c{3c-a-b} &= \frac c{3c+c} = \frac14 \end{aligned} \\ \therefore\dfrac a{3a-b-c} = \dfrac b{3b-c-a} = \dfrac c{3c-a-b} = \dfrac14)]
가비의 이는 분모가 [math(\bm0)]이 되지 않는 한에서 성립함을 상기해야 두 가지 경우에 대한 [math(k)]의 값을 완벽히 찾아낼 수 있다.

6. 명칭 논쟁


일본에서 加比の理로 칭하는 것이 그대로 직역된 표현이다. 비(比)의 덧셈(加)에 대한 정리(理)라는 뜻으로, 일본식 용어를 한국에서 그대로 받아들인 수많은 예 중 하나. 사실 '가비의 리'로 더 널리 알려져 있으나, 두음 법칙을 생각하면 '가비의 이'가 한글 맞춤법에 부합하며[2] 표준국어대사전에도 '가비의 이'만이 표준어로 등재되어 있다. 여기서 '이'는 '정리'(定理)를 의미하는 일반 명사이며 한글맞춤법 3장 5절 11항에도 한자음 '리'가 단어 첫머리에 올 때에는 두음 법칙에 따라 '이'로 적되 의존 명사일 때에만 본음대로 적는다고 명시되어 있기 때문에 '리'라고 쓰는 건 명백히 틀린 표현이다. '서울에서 인천까지 몇 리냐?', '그럴 리가 없다'의 '리'는 모두 의존 명사이기 때문에 본 사례와는 무관하다.

용어의 의미 투명성이 낮아 오해가 생기는 일도 더러 있는데, '이'부터 전혀 다른 의미의 수학 용어가 있고[3] 가비도 사람 이름[4] 같아서 "가비라는 사람이 만든 술어 부정 정리인갑다" 하고 잘못 받아들일 수 있다.

'-의'가 관형격(소유격) 조사에 대응하는 の일 뿐이므로 생략하는 방안도 고려해볼 수 있다. 실제 피타고라스 정리, 질량 보존 법칙 등 과거에 쓰였던 '의'가 불필요한 일본식 어투라는 이유로 교육과정 개정을 거쳐 삭제된 적이 있다. 이 논리에 따르면 '가비리'가 되지만, 가리비라는 유사한 발음이 있어 혼동될 여지가 있다. 여담으로 이처럼 '가비의 리'를 잘못 듣고 '가리의 비'로 착각하는 경우도 많다. "정리"라는 뜻의 "리(理)"보다 수학 용어 "비(比)"에 익숙하고, 이것이 '가리(칼륨)[5]의 비율'이라는 뜻으로 오해하기도 쉽다.

자주 사용하는 용어로 바꾸어 이르자면 '비의 합 정리', '유리식의 덧셈 정리' 같은 이름이 될 것이다. 합비(合比)의 이(리)라고도 하지만 잘 쓰이지 않으며, 중국어의 '합비 정리(合比 定理)'도 괜찮은 대안이 될 수 있다.

7. 기타


[1] [math(\bf x)]에 켤레를 취하는 이유는 텐서곱이 반쌍형 연산이기 때문이다.[2] 理(다스릴 리)의 본음이 '리'이지만 어두에 왔으니 '이'로 발음하는 것이 표준이다.[3] 한자 표현이 裏로 다르기는 하나 본음이 '리'이면서 두음 법칙이 적용되었다는 점은 똑같다.[4] 실제로 스페인어권에서 가브리엘, 가브리엘라의 애칭으로 '가비'(gabi(e))가 쓰인다. 대표적인 예로 국가비가 있다.[5] 사이안화 칼륨보다 청산가리라는 명칭이 익숙할 것이다.[6] 다만 삭제되긴 했으나 대한민국의 수학 교육과정의 분량 자체가 너무 줄기도 했고 내신 수학이라는 특수성을 감안할 때, 2015 개정교육과정의 학생들 여전히 배우고 있는 상황이다. 이러한 상황 때문에 쎈과 같은 문제집에서는 여전히 찾아볼 수 있다.

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