나무모에 미러 (일반/어두운 화면)
최근 수정 시각 : 2024-09-15 14:45:09

계산자

계산척에서 넘어옴
수와 연산
Numbers and Operations
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)"
{{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ]
{{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px"		<colbgcolor=#765432> 수 체계 자연수 (홀수 · 짝수 · 소수 · 합성수) · 정수 · 유리수 (정수가 아닌 유리수) · 실수 (무리수 · 초월수) · 복소수 (허수) · 사원수
표현 숫자 (아라비아 숫자 · 로마 숫자 · 그리스 숫자) · 기수법(과학적 기수법 · E 표기법 · 커누스 윗화살표 표기법 · 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 ·BEAF· 버드 표기법) · 진법 (십진법 · 이진법 · 8진법 · 12진법 · 16진법 · 60진법) · 분수 (분모 · 분자 · 기약분수 · 번분수 · 연분수 · 통분 · 약분) · 소수 {유한소수 · 무한소수 (순환소수 · 비순환소수)} · 환원 불능 · 미지수 · 변수 · 상수
연산 사칙연산 (덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 구구단 · 나눗셈) · 역수 · 절댓값 · 제곱근 (이중근호) · 거듭제곱 · 로그 (상용로그 · 자연로그 · 이진로그) · 검산 · 연산자 · 교환자
방식 암산 · 세로셈법 · 주판 · 산가지 · 네이피어 계산봉 · 계산기 · 계산자
용어 이항연산(표기법) · 항등원과 역원 · 교환법칙 · 결합법칙 · 분배법칙
기타 수에 관련된 사항 (0과 1 사이의 수 · 음수 · 작은 수 · 큰 수) · 혼합 계산 (48÷2(9+3) · 111+1×2=224 · 2+2×2) · 0으로 나누기(바퀴 이론) · 0의 0제곱 }}}}}}}}}

1. 개요2. 역사
2.1. 계산자를 생산하(는/)던 기업/브랜드
3. 형태
3.1. 직선형3.2. 원형3.3. 실린더형
4. 사용법
4.1. 눈금 읽는 법
4.1.1. 계산자의 정밀도
4.2. 곱셈
4.2.1. 오프 더 스케일 문제
4.3. 나눗셈4.4. 제곱/제곱근4.5. 세제곱/세제곱근4.6. 역수4.7. 삼각함수
4.7.1. 작은 각도(< 5.7°)의 삼각함수4.7.2. 5.7°~90°의 sin, cos4.7.3. 5.7°~84°의 tan4.7.4. 라디안-육십분법 변환
4.8. 상용로그4.9. LL 눈금을 사용한 계산
4.9.1. 거듭제곱/거듭제곱근4.9.2. 자연로그4.9.3. 임의의 밑수를 가진 로그
4.10. 멀티라인 커서
4.10.1. 원의 넓이4.10.2. 마력-와트 변환
4.11. 응용계산
4.11.1. 비례식 계산4.11.2. 복합 계산4.11.3. 2차 방정식 풀이4.11.4. 복소수 형식 변환4.11.5. 덧셈/뺄셈
5. 특수목적용 계산자
5.1. 군용5.2. 항공용
6. 외부 링크7. 대중매체에서의 등장

1. 개요

"Dad says that anyone who can't use a slide rule is a cultural illiterate and should not be allowed to vote. Mine is a beauty - a K&E 20-inch Log-log Duplex Decitrig."
아버지는 계산자를 쓰지 못하는 사람은 문화적 문맹이므로 투표권을 줘서는 안된다고 하셨어. 내껀 K&E 20인치 Log-log Duplex Decitrig[1], 끝내주는 모델이지.
로버트 하인라인, 우주복 있음 - 출장 가능(1958) 중

計算尺 / slide rule

아날로그식 계산기의 일종으로 로그의 원리를 이용하여 곱셈과 나눗셈, 제곱근, 로그, 삼각함수 등의 근사값을 계산할 수 있는 도구이다. 다만 덧셈이나 뺄셈은 하지 못한다.

대체로 일반 자처럼 길이를 재거나 직선을 긋는데에 쓰기는 부적절하지만, 일부 모델의 경우 일반 자 기능을 가진 물건도 있다.

버니어 캘리퍼스와 비슷하게 생겼다고 생각하는 사람도 있을 텐데 실제로 비슷한 구조이다.

밑의 사용방법을 읽어보면 알겠지만, 계산자를 쓰는 사람은 암산력도 어느 정도 있어야 한다. 10의 거듭제곱을 넘나드는 것은 예사고, 삼각함수를 계산할 때는 아예 사인-코사인이나 45도 미만-이상의 탄젠트의 관계와 같은 수학 성질들을 적극적으로 이용해야 하기 때문이다.

2. 역사

1614년 수학자 존 네이피어가 로그를 창안한 이후, 1620년 영국의 에드먼드 건터가 로그 눈금자를 이용한 기초적인 건터자를 만들었다. 1630년에는 영국의 수학자 윌리엄 오트레드(William Oughtred)[2]가 처음으로 슬라이드가 있는 계산자를 발명했다. 이후 개량을 거듭하다가, 프랑스 육군 포병 장교이자 에콜 폴리테크니크의 교수였던 아메데 마넴(Amédée Mannheim) 박사가 1859년 처음으로 현대적인 형태의 계산자를 만들어 프랑스군 포병 부대에 보급[3]하였다.

이후에도 여러 개량을 거치면서 20세기 중반까지 잘 쓰였다. 파버카스텔, 스테들러 등 문구업체에서도 계산자를 생산했다.[4] 당시 공대생들에겐 재산목록 1호이자 현재의 공학용 계산기의 위치에 있었다.[5] 오래전 공학 교재의 솔루션을 보면 계산기로 푼 것과 값이 조금 다른 경우가 있는데, 계산자를 써서 반올림 오차가 생긴 경우다. 당시에도 사칙연산이 가능한 기계식 계산기가 있었음에도 계산자가 사용되었던 이유는, 값이 적당하고 휴대가 가능하면서 아주 큰 수 및 작은수의 계산도 가능하고 삼각함수 및 지수, 로그함수 계산이 모두 가능한 도구가 계산자밖에 없었기 때문이다.

아폴로 계획에서도 당연하지만 계산자가 사용되었다[6]. 우주선 설계는 당연하고, 계획의 진행에서도 사용되었다. 영화 아폴로 13에서 사고로 사령선에서 달착륙선으로 위치 데이터값을 옮기는데, 두 우주선은 제작사도 다르고 형태가 다른 관계로 위치기준값을 변환시켜줘야 하는 상황이 생긴다. 우주선에서는 이걸 사람 머리로 계산하고[7] 지상에서 우주인이 계산한 결과값을 전달받은 후, 지상 연구원 3명이 계산자로 재계산을 해서 값의 정확도를 체크하였다.

1970년대 이전에는 고등학교에서 계산자의 원리와 사용법에 대해 배웠다.

1972년에 휴렛팩커드에서 최초의 휴대형 공학용 계산기 HP-35를 출시하자 급격하게 도태되었다. 1976년에는 TI에서 당시 25달러로 일부 고급 계산자보다도 싼 TI-30을 출시한다. 결국 1976년 7월 11일 K&E에서 마지막 계산자를 생산한 것을 끝으로 (직선형) 계산자는 단종되었다.#[8] TI-30이 나온 바로 그해에 단종되섰다. 오늘날 계산자는 eBay 같은 중고상점[국내]에서나 구할 수 있으며, 수집가의 수요 정도만 남아있다. EMP 아포칼립스 수준의 재난이 아닌 이상 계산자가 다시 전면에 나설 일은 없을 것이다.[10]

2.1. 계산자를 생산하(는/)던 기업/브랜드

이하는 현재도 생산하는 브랜드다.

이하는 더 이상 생산하지 않는 곳들이다.

3. 형태

크게 직선형과 원형, 실린더형이 있는데, 대개 계산자라고 하면 직선형으로 된 것을 가리킨다.

3.1. 직선형

파일:external/effectivecio.files.wordpress.com/slide-rule.png
직선형 계산자
직선형은 위 사진과 같이 몸체가 되는 어미자(Body)와 움직이는 아들자(Slide)로 이루어져 있고 이를 감싸며 움직이는 투명한 커서가 있다. 커서에는 가는 헤어라인이 그어져 있다.

다양한 눈금이 있어서 용도에 맞게 사용된다. 눈금이 다양할 수록 곧 다양한 계산을 할 수 있다는 것이기 때문에, 고급형은 양면 빼곡하게 눈금들로 가득 차 있다.
<rowcolor=#ffffff> 이름 의미 설명
C, D [math(x)] 10개로 나눈 로그 눈금자. 가장 기본이 되는 눈금들로 일반적인 곱셈, 나눗셈 계산은 이것만으로도 가능하다.
A, B [math(x^2)] 20개로 나눈 로그 눈금자. C, D 눈금의 제곱이 된다. 역으로 A, B를 기준으로 C, D를 읽으면 제곱근을 구할 수 있다.
K [math(x^3)] 30개로 나눈 로그 눈금자. 세제곱, 세제곱근을 구할 수 있다.
CF, DF [math(\pi x)]
Folded 		C, D와 동일하지만 눈금 시작점이 [math(\pi)](원주율)이다. 수학, 과학 계산시 [math(\pi)]값을 곱할 일이 많아 아예 따로 눈금이 생긴것. [11]
CI, CIF,
DI, DIF 		[math(\dfrac1x)]
Inverted 		원래 눈금을 좌우 반대로 한 것이다. 역수를 뜻한다. 역수 눈금들은 빨간색으로 표시하는게 암묵의 룰이다.
S, T, ST [math(\sin x)]
[math(\tan x)] 		사인, 탄젠트 같은 삼각함수를 구할 수 있는 눈금. 코사인, 코탄젠트는 사인, 탄젠트 값을 통해서 구할 수 있다.
L [math(\log_{10}x)]
Linear 		선형 눈금. 상용로그 값을 구할 때 사용한다.
LL [math(e^x)]
Log-Log 		로그의 로그값. 거듭제곱을 계산할 수 있다.
P [math(\sqrt{1 - x^2})]
Pythagorean 		직각삼각형의 피타고라스의 정리값을 구할 수 있다. 주로 유럽의 계산자에 많이 보인다.
R, W, Sq[12] [math(\sqrt x)] C, D의 2배 길이의 로그 눈금자. 한줄에 표시가 안되므로 2줄로 나뉘어져 있다. CD 눈금과 함께 사용해 제곱근과 제곱을 구할 수 있다. A,B 눈금으로 동일한 연산을 할 수 있으므로 두 가지가 같이 있는 경우는 거의 없다. AB눈금을 사용하는 것에 비해 정밀도가 더 높은 것이 장점이다. CD 대신 메인 계산에 사용해서 원래 길이보다 2배 긴 계산자와 동등한 수준의 정밀도를 얻을 수 있다.
Sh,Ch, Th Hyperbolic 쌍곡함수([math(\sinh)], [math(\cosh)], [math(\tanh)])를 구하는데 사용한다.

ABCD 눈금은 위에서 말한 마넴(Mannheim)이 사용한 이후로 표준처럼 굳어져 쭉 사용되고 있다. 눈금에 별 뜻이 없는것은 둘째 치고, 덕분에 세제곱 눈금(Cube)이 발음이 비슷한 K가 되었다. 마넴이 만든 배열을 베이스로 최소한의 눈금만 추가한 단면 기본 배열을 Mannheim 타입이라고 부른다. (A[B CI C/S L T][14]D K) 비슷하게 표준에 가까운 기본 배열로 유럽에서 자주 쓰인 Rietz 배열(K A[B CI C/S ST T]D L)과 단면자에 LL눈금을 포함시킨 Darmstadt 배열(S T A[B K CI C/L LL1 LL2 LL3]D P) 등이 있다. 양면 모델로 넘어가면 조합 가능한 가지수가 너무 많아져 따로 이름이 붙은 눈금 배열은 없다.

기본적으로 단종되긴 했지만, 미국 등에서 자갈 부피 당 무게나 아스팔트의 두께 예측 등 매우 니치한 용도의 직선형 계산자가 드물게 명맥을 잇고 있다.

3.2. 원형

파일:slide-rule-no270n-a.jpg
파일:slide_rule_spiral.gif
<rowcolor=#ffffff> 원형 계산자 나선형 계산자(Atlas Slide Rule)
원형 계산자엔 크게 싱글라인, 동심원형, 나선형이 있다. 직선형보다 더 컴펙트하면서 동등하거나 그 이상의 정밀도를 제공할 수 있는 장점이 있다. 다만 2차원으로 찾아야 되기 때문에 값을 찾기가 힘들고 동심원 안쪽으로 갈수록 읽기가 힘들어지는 것이 단점이다. 직선형 자는 70년대에 모두 단종되었지만 원형 계산자는 아직까지 일본의 Concise사에서 생산되고 있다.(좌측 사진) 필요하다면 아마존 재팬에서 직구할 수 있다.로그-로그 모델

3.3. 실린더형

파일:slide_rule_fuller3-730.jpg
파일:fuller3-730_2.jpg
<rowcolor=#ffffff> 실린더형 계산자(Fuller 41') 사용중인 모습(1945년)[16]

원형 계산자의 심화발전형. 긴 눈금을 실린더에 나선형(Helical)으로 말아놓은 것이다. 이쪽은 눈금을 찾는데 3차원으로 돌려봐야된다. 사진의 풀러 모델의 눈금은 총 12.6 m 길이로, 4.7에서 5자리의 유효숫자를 제공한다.

4. 사용법
<rowcolor=#ffffff> 미국 교육부에서 1943년에 제작한 영상 1944년에 제작된 교육 영상

4.1. 눈금 읽는 법

파일:slide_rule2.png
눈금 읽기 예시[17]
로그 스케일의 특성상 앞쪽 부분은 널널하고 뒷쪽으로 갈수록 빽빽해지기 때문에 구간별로 눈금의 간격이 다르다. 표준적인 10인치 계산자(눈금 길이 25 cm)는 아래의 규칙을 따른다.즉, 계산 가능한/읽을 수 있는 정확도는 값이 1로 시작할 때 제일 높고, 뒤로 갈수록 오차/근사값이 커지게 된다. 하지만 실제 많은 숫자들은 벤포드의 법칙[18]을 따르는 경우가 많아 큰 문제는 아니다.

4.1.1. 계산자의 정밀도

계산자의 정밀도는 보통 유효숫자 3자리 수준이다. 예를 들어 [math(123^2=15129)]지만 계산자에서는 '약 [math(15100)]'으로 읽을 수밖에 없다.[19] 부족해 보이지만 이는 오차율 [math(0.19\,\%)] 수준으로 실제 20세기 중후반까지는 공학에 적용하기에도 무리가 없는 수준이었다. 이 정도 오차율로도 원자폭탄을 만들고 인간을 달에 보내기에 모자람이 없었다![20]

보통은 자가 길수록 더 정밀하게 측정할 수 있고, 특정 상황에선 보간법, 추정, 눈대중 등으로 더 아랫자리까지 어림할 순 있다(예를 들어, 위의 [math(123^2)]을 계산할 때 1의 자리 숫자가 0이 아니라 9라는 것은 쉽게 암산하는 등). 길이별 유효숫자 계산치(영어) 더 길고 촘촘한 눈금을 위해 일반적인 10인치 대신 20인치 이상인 대형자를 사용하거나, 파버 카스텔 2/83N처럼 C, D 눈금보다 길이가 2배가 되는 W1, W2눈금을 채용하기도 했다. 더 나아가면 Hemmi 200처럼 C와 D 눈금을 6줄에 걸쳐서 쓰기도 했다. 하지만 유효숫자를 확실하게 늘리기 위해선 자가 정말로 길어져야 한다. 유효숫자 한 자리 더 늘리려면 길이를 10배로 늘리고 눈금을 10배로 박아넣는 수밖에 없다. 직선형 계산자를 이정도로 늘리는 것은 무리였기 때문에 이를 위해 원형 계산자, 실린더형 계산자가 등장했다. 눈금의 길이와 정밀도에 대한 페이지(영어)

오늘날 눈금이 가장 긴 계산자는 2012년에 개인이 만든 Eximius Diu 6로, 175 m짜리 눈금을 30인치 원형자에 감아놓았다. 모든 구역에서 유효숫자 6자리까지 제공한다. 여기에서 모양을 확인하고 설계도를 다운받을 수 있다.

4.2. 곱셈

곱셈에는 C와 D 눈금을 사용한다. C/D 눈금은 전체를 1부터 10까지 10개의 구간으로 나눈 눈금이다.
파일:slide_rule3.png
로그의 성질에 따라 [math(\log2 + \log3 = \log(2 \times 3) = \log6)]이기 때문이다.
계산자는 1부터 10까지의 눈금밖에 없으므로 여러 자릿수 계산을 하기 위해선 원래의 식을 변형시켜 계산한 뒤 마지막에 자릿수를 맞춘다. 이 방법은 곱셈 뿐 아니라 아래의 다른 모든 연산에도 적용된다.

이것은 아래에 나올 나눗셈하는 법을 역수눈금으로 한 것으로 [math(x\div\dfrac1y)]를 계산한 것이다. 이 방법은 곱하는 두 수가 맞닿기 때문에 무슨 계산인지 쉽게 알 수 있으며, C의 두 인덱스([math(1)] 또는 [math(10)]) 중 하나는 무조건 D 위에 있으므로 아래에서 설명할 오프 더 스케일 문제를 추가적인 슬라이드 이동 없이 해결할 수 있다는 장점이 있다.

4.2.1. 오프 더 스케일 문제

계산을 수행하다 보면 읽고 싶은 값이 눈금 범위 밖에 있는 경우(Off the scale)가 있다. 예를 들어 위 그림에서 [math(\boldsymbol{2\times7})]을 읽고 싶다고 하자. 하지만 C의 [math(\bf)]7이 가리키는 값은 D 눈금의 범위 밖에 있어 읽을 수가 없다. 이 경우에 사용할 수 있는 몇 가지 방법이 있다.
파일:slide_rule4.png
이 눈금을 읽으면 [math(1.4)]이다. 이것은 원래 값의 [math(\dfrac1{10})]을 계산한 것이므로 구하고자 하는 답은 [math(\bf14)]이다.
가장 정석적인 방법이지만 값을 읽는데 실패하면 반대쪽 끝까지 슬라이드를 옮겨야돼서 번거롭다는 단점이 있다.

4.3. 나눗셈

나눗셈도 C와 D 눈금을 사용한다.
파일:slide_rule5.png

4.4. 제곱/제곱근

A와 D 또는 B와 C 눈금을 사용한다. A/B 눈금은 일반 로그눈금(C,D)를 반으로 줄인 뒤 두 개를 붙여놓은 것이다.
파일:slide_rule_sqr_root.png

4.5. 세제곱/세제곱근

C/D와 K 눈금을 사용한다. K눈금은 일반 로그눈금을 [math(\dfrac13)]로 줄인 뒤 세개를 붙여놓은 눈금이다.

4.6. 역수

파일:slide_rule_ci.png

눈금에 I가 붙은 눈금은 좌우가 반대로 되어 있는 눈금으로 원래 눈금의 역수 관계이다. [math(\log{\left(\dfrac1x\right)} = \log{\left(x^{-1}\right)} = -\log x)]이기 때문이다.

[math(\bf2)]의 역수를 구한다고 하면,

4.7. 삼각함수

파일:slide_rule_trig.png

S, T, ST 눈금을 사용한다.

[math(5.7\degree)]부터 [math(90\degree)]까지는 S와 T눈금[24]을, 그보다 작은 각도는 ST눈금을 사용한다.

4.7.1. 작은 각도(< 5.7°)의 삼각함수

각도가 아주 작을 땐 [math(\theta\fallingdotseq\sin\phi\fallingdotseq\tan\phi)](단, [math(\theta)]의 단위는 [math(\rm rad)], [math(\phi)]의 단위는 도([math(\degree)]))이므로 하나의 눈금자만 사용해서 사인과 탄젠트를 모두 구할 수 있다. ST눈금은 [math(0.6\degree\sim5.7\degree)] 범위의 탄젠트 겸 사인 값이 표시되어 있으므로 이 눈금에 커서를 맞춘 뒤 C눈금의 값을 읽는다.
[math(0.6\degree)]보다 더 작은 각도는 그냥 라디안으로 변환시켜주면 된다. 아래의 변환법 참고.

4.7.2. 5.7°~90°의 sin, cos

S눈금을 사용한다.

4.7.3. 5.7°~84°의 tan

탄젠트(와 코탄젠트)는 T눈금을 사용하는데, 탄젠트의 범위가 큰 관계로 [math(45\degree)]를 기준으로 T1과 T2 두 개의 눈금으로 나뉘어져 있다. 각도에 따라 적절한 눈금에 커서를 맞추고 D의 값을 읽는다.
코탄젠트는 [math(\cot x = \tan(90\degree-x))]라는 성질로 구할 수 있다. 정의대로 탄젠트의 역수를 구해도 된다.
일부 계산자는 탄젠트 눈금이 T 하나만 있다. 이 경우 [math(45\degree)] 이상의 탄젠트 값은 [math(\tan x = \dfrac1{\tan(90\degree-x)})] 공식을 통해서 구할 수 있다. T에서 [math(90\degree-x)] 를 맞춘 뒤 DI 눈금을 읽는다.
[math(84\degree)]보다 큰 값은 너무 빠르게 발산하기 때문에 T 눈금의 커버 범위를 벗어난다. 이론적으로 T3를 만든다면 [math(84\degree)]에서부터 [math(\arctan100\fallingdotseq89.4\degree)]까지 커버할 순 있다. 하지만 ST 눈금에 위의 공식을 적용해서 구할 수 있기 때문에(예: [math(\tan89\degree)]는 ST에서 [math(\tan1\degree)]를 구하고 역수를 취한다.) 실제로 쓰이진 않았다.

4.7.4. 라디안-육십분법 변환

실용적인 이유로 계산자의 각도 단위는 도([math(degree)])를 사용한다. 이를 라디안으로 변환하기 위해선 [math(\dfrac{\pi}{180} \approx 0.0175)]를 곱해주면 된다. 다행히도(?) 몇몇 계산자는 이 값이 따로 눈금에 표시되어 있으니 바로 사용하면 된다. ([math(1.7\sim1.8)] 사이에 있다. 100배 된 값이니 마지막에 1/100을 곱해줘야한다.)
반대로 라디안 → 도 변환은 [math(\dfrac{180}{\pi} \approx 57.3)]을 곱해준다. 위에 표시된 눈금의 역수를 구하면 되므로 따로 외울 필요는 없다.
전술한대로 작은 각도(보통 ST 눈금이 커버하는 [math(0.6\degree\sim5.7\degree)])는 [math(\theta\fallingdotseq\sin\phi\fallingdotseq\tan\phi)]이므로 ST 눈금을 바로 읽어도 된다. 이 때문에 ST를 SRT라고 쓰는 계산자도 있다.

4.8. 상용로그

파일:slide_rule_log.png

D와 L눈금을 사용해 계산한다. L 눈금은 눈금 간격이 일정한 선형 눈금자로, 로그 눈금인 D를 통해 선형눈금 L을 읽으면 (상용)로그를 구하는 효과가 있게 된다. 학문적으로는 자연로그를 더 많이 쓰지만 실용적인 이유로 계산자는 상용로그가 메인이다.
어떤 계산자는자연로그를 구할 수 있는 Ln눈금이 따로 존재하는 경우도 있다. 하지만 LL 눈금이 있는 경우 이를 통해 바로 자연로그를 구할 수 있기 때문에 흔하지는 않다. L과 Ln을 둘 다 제공하는 모델을 Dual base라고 한다.
임의의 밑수를 가진 로그는 [math(\log_ab = \dfrac{\log b}{\log a})]임을 이용해 구하거나 LL눈금을 사용해 거듭제곱의 역연산을 통해 구한다.

4.9. LL 눈금을 사용한 계산

파일:slide_rule_ll.png

로그-로그 눈금은 로그의 로그값을 표시한 눈금이다. 값의 범위에 따라서 다양한 눈금들이 있다.
LL0: [math(e^{0.001x}\\ \footnotesize1.001\sim1.01)]LL1: [math(e^{0.01x}\\ \\ \footnotesize 1.01\sim1.11)]LL2: [math(e^{0.1x} \\ \footnotesize1.1\sim\,~)][math(footnotesize e)]LL3: [math(e^x \\ \footnotesize e\sim22000)]
LL00: [math(e^{-0.001x} \\ \footnotesize0.999\sim0.99)]LL01: [math(e^{-0.01x}\\ \footnotesize0.99\sim0.95)]LL02: [math(e^{-0.1x}\\ \footnotesize0.95\sim\dfrac1e)]LL03: [math(e^{-x}\\ \footnotesize\dfrac1e\sim0.0004)]

보다시피 다 넣으면 자가 매우 두꺼워지기 때문에 보통 양면(duplex) 모델 같은 고급형에나 들어가거나 일부 눈금이 생략되기도 한다. LL0과 D 눈금을 통합시킨 모델도 있다. 숫자에 [math(\dfrac1{1000})]을 곱하고 [math(1)]을 더해서 읽는다.[26] LL0x눈금들이 통째로 생략되는 경우도 있는데, LLx의 역수관계임을 이용해 값을 구할 수 있다.

LL 눈금에 대한 이론은 1815년에 발명되었다. 지수를 계산할 때 사용하지만, 제곱근은 지수의 역수이고, 로그는 지수의 역연산인 특성상 굉장히 다양한 연산에 사용될 수 있다.

스케일에 영향을 받지 않는[27] 다른 눈금들과는 다르게 LL눈금들은 쓰여진 값만을 나타낸다. 대부분의 모델에서 LL 눈금의 밑수는 [math(e)]이지만 Pickett N4 같은 경우 [math(10)]을 밑수로 한다. 최대 [math(e^{10}\fallingdotseq22000)]까지 계산할 수 있는 다른 모델에 비해 최대 [math(10^{10})]까지 계산할 수 있다. 물론 유효숫자 1~2자리 수준으로 정밀도는 기대할 수 없다.

4.9.1. 거듭제곱/거듭제곱근

별도의 눈금이 제공되는 제곱, 세제곱을 포함한 임의의 [math(n)]제곱과 제곱근을 구할 수 있다. [math(n)]이 정수 뿐 아니라 소수(小數; decimal)일 경우에도 가능하다는 것에 유의.

4.9.2. 자연로그

[math(e^x)]를 역으로 계산하면 자연로그 [math(\ln x)]를 구할 수 있다.
  1. LL 눈금에서 [math(\boldsymbol x)]를 찾는다.
  2. D 눈금에서 값을 읽는다. 자릿수를 맞춘다.

4.9.3. 임의의 밑수를 가진 로그

4.10. 멀티라인 커서

파일:slide_rule_cursor.png
파버카스텔 52/82의 커서
커서는 자의 바디에서 움직이며 눈금을 정확히 읽는 것을 도와주는 역할을 한다. 커서에는 가는 직선이 그어져 있는데 이를 헤어라인(Hairline)이라고 하고 여기에 눈금을 맞춘다. 그런데 어떤 모델은 Cursor Marks라는 보조 헤어라인들이 그어져 있는 경우가 있다. 특정 계산을 더 간편하게 하기 위한 용도로 쓰인다. 참고 이하의 예시는 상단 그림에 있는 파버카스텔 모델의 커서를 기준으로 한다.

4.10.1. 원의 넓이

지름(diameter)이 [math(x)]인 원의 넓이를 구하기 위해서는 C/D에서 [math(x)]를 찾아 [math(d)]에 맞추고 왼쪽 위의 s 라인에 있는 A/B의 값을 읽으면 된다.
두 라인의 거리차는 C 눈금을 기준으로 [math(\sqrt\dfrac{\pi}4)]가 되는데, 지름에 대한 원의 넓이의 공식은 [math(\dfrac{\pi}4d^2 = {\left(\sqrt\dfrac{\pi}4d\right)}^2)]가 되어 지름에 [math(\sqrt\dfrac{\pi}4)]를 곱한 값을 제곱하면 원의 넓이가 나오기 때문이다.

4.10.2. 마력-와트 변환

kW눈금과 HP/PS 눈금 중 한 곳에 값을 맞추고 다른쪽 눈금을 읽으면 마력-와트 간의 변환이 가능하다. 두 눈금의 차가 변환상수 크기이기 때문이다.

야드파운드법의 마력(HP)인지, 미터법의 마력(PS)인지에 따라 값이 다르기 때문에 미국과 유럽의 자는 이 부분이 너비가 다르다. 오늘날에야 마력이 엔진 출력 같은 제한된 용도로만 사용되지만, 계산자가 쓰였던 당시만해도 마력이 자주 쓰였기 때문에 필요했던 기능이다.

4.11. 응용계산

4.11.1. 비례식 계산

파일:slide_rule3.png
비례식 [math(a:b = c:x)]를 구하고 싶을 땐 C와 D에 a와 b를 맞추고 c를 찾으면 된다. 예를들어 [math(\boldsymbol{2:4 = 3:x})]를 풀고 싶을 땐 CD를 [math(2)]와 [math(4)]에 맞추고 C에서 [math(3)]을 찾아 D에서 해당하는 값을 읽는다.([math(=\bf6)])

이 방식으로 인치-센티미터 등 단위 변환이 가능하다. 두 단위의 비례관계를 알고 있다면([math(\rm1\,in = 2.54\,cm)]) 위의 방식으로 원하는 값을 변환할 수 있다. 이를 위해 부록으로 단위변환 카드가 들어있거나 뒷면에 쓰여있는 경우가 많다.

4.11.2. 복합 계산

여러 연산이 엮인 계산의 경우, 슬라이드를 여러번 옮겨 계산할 경우 시간이 오래 걸려 비효율적이고, 실수 또는 오차가 누적될 수 있다. 따라서 슬라이드를 최대한 적게 움직이는 계산법이 유용하다.

[math(\dfrac{2 \times 6}4)]처럼 곱셈과 나눗셈이 같이 있는 계산을 일반적인 순서대로 풀어보자.
  1. 슬라이드를 움직여 [math(2)]와 [math(6)]의 곱을 찾고([math(1.2\boldsymbol{\rightarrow12})])
  2. 이 값에 다시 슬라이드를 움직여 [math(4)]를 맞춰 최종 값을 구한다.([math(\bf3)])
이 방법은 슬라이드를 총 2회 움직여야 한다. 하지만 나눗셈을 먼저 풀게되면 나눗셈의 중간 결과를 무시할 수 있고 1회의 슬라이드 이동만으로 풀 수 있다.
  1. 슬라이드를 움직여 [math(2)]와 [math(4)]를 서로 맞춘다.(이 나눗셈의 결과는 [math(5\boldsymbol{\rightarrow0.5})]지만, 읽을 필요 없다.)
  2. 이 상태에서 슬라이드의 [math(6)]이 가리키는 값이 답이다.([math(\bf3)])

[math(\dfrac{a \times b \times c}{d \times e \times f})]처럼 복잡한 계산의 경우에도 나눗셈을 우선으로 풀고 곱셈과 나눗셈을 번갈아가며 계산하면 3회의 슬라이드 이동으로 해결할 수 있다.
나눗셈 없이 곱셈만 연속되어 있는 경우: 곱셈 문단에서 CI와 D 눈금을 사용해서 나눗셈을 하는 방식으로 곱셈을 하는 방법을 소개했는데, 이 방법을 이용한다.
기타 곱셈, 나눗셈, 제곱, 세제곱 및 제곱근, 역수 등이 엮여 있는 계산들도 A B C D K xI xF 눈금들을 조합해서 간단하게 풀 수 있다. 눈금 종류가 많은 비싼계산자일수록 이런 복잡한 계산을 빠르게 끝낼 수 있다. 예를들어 [math(\dfrac1{x^2})] 꼴의 경우, 커서를 CI 눈금의 [math(x)]에 맞추고 A를 읽으면 슬라이드 이동 없이 바로 구할 수 있다. 더 다양한 모양의 식들과, 이때 어떤 눈금들을 이용해야되는지는 이곳을 참고.

4.11.3. 2차 방정식 풀이

2차 방정식 [math(x^2+bx+c=0)]의 근을 구할 수 있다. 출처.

먼저 식의 두 근을 [math(u)], [math(v)]라고 할 때,
[math((x-u)(x-v) = x^2-(u+v)x+uv = 0)]
임을 알 수 있다. 따라서 [math(u+v = -b)], [math(uv = c)]가 된다. 이 성질을 이용해서 구한다.

예를 들어, [math(\boldsymbol{x^2+10x+15=0})]의 해를 구해보자.
  1. C눈금의 [math(1)]을 D 눈금 위의 [math({\bf15}(\rightarrow1.5))]에 맞춘다.
  2. 커서를 천천히 움직여가며 CI눈금과 D 눈금의 합이 [math(\bf10)]이 되는 지점을 찾는다.(D[math(=1.84)], CI[math(=8.16)])(만족하는 지점이 없다면 실근이 없는 것이다.)
  3. 두 근의 합은 음수([math(-10)])인데 곱은 양수([math(15)])이므로 이차방정식의 실근의 부호 판별법에 따라 두 근 모두 음수임을 알 수 있다. 두 근이 모두 음수이므로 [math(u = \bf-1.84)], [math(v = \bf-8.16)]이 된다. 실제 계산결과
그 외에 [math(x^3-px+q=0)], [math(x^4-px+q=0)], [math(x^4-px^3+q=0)] 꼴의 방정식도 풀 수 있다. 출처

4.11.4. 복소수 형식 변환

직교형식 [math(a+bi)]의 복소수 표기를 극형식 [math(r(\cos\theta+i\sin\theta))] 또는 지수형식 [math(re^{i\theta})]으로 변환할 수 있도록 [math(r)]과 [math(\theta)]를 구할 수 있다.

[math(\boldsymbol{7.2+4.5i})]를 지수형식으로 변환해보자. [math(\tan\theta = \dfrac ba)]임을 이용한다.따라서 [math(7.2+4.5i = 8.49e^{i32\degree})]이다. 실제 계산결과

4.11.5. 덧셈/뺄셈

일반적으로 계산자는 덧셈과 뺄셈은 계산할 수 없지만 수학적인 트릭을 통해 덧뺄셈을 곱셈과 나눗셈으로 변환해서 계산할 수는 있다.
[math(\begin{aligned} x+y &= {\left(\dfrac xy + 1\right)}y \\ x-y &= {\left(\dfrac xy - 1\right)}y\end{aligned})]
더하기 빼기 [math(1)]은 암산으로 한다고 쳐도 나눗셈, 곱셈을 각각 한 번씩 해야 하는데다가 유효숫자 5자리의 한계가 자비 없이 적용되기 때문에 어지간하면 그냥 손으로 계산하는게 더 정확하고 효율적이다.

Pickett Microline 115처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있도록 특수한 눈금을 넣은 모델도 있었으나, 흔한 것은 아니다.

어떤 계산자는 뒷면에 Addiator(덧뺄셈을 할 수 있는 서양식 주판) 또는 전자계산기를 부착하기도 했다.파버카스텔 67/54 RB와 파버카스텔 TR 시리즈

5. 특수목적용 계산자

5.1. 군용

위에서 언급했다시피 계산자는 애초에 포병부대에 보급할 목적으로 만든 것이 시초이고, 디지털 시대에 접어든 현재에도 전자 회로를 전혀 사용하지 않으면서 간단한 조작법을 익히는 것만으로도 빠르게 사용할 수 있다는 장점은 전혀 퇴색되지 않았기에 다양한 형태로 남아있다.
파일:RoyalOrdnance_81mm_Mortor_RangingSlideRule_1986_DonaldBachelorCollection.jpg
파일:Howitzer_155mm_Oct1972_GFT_Charge_2-4.jpg
M252 MERM 박격포의 신관 계산용 계산자 155mm 견인곡사포의 장약 계산용 계산자
사진의 계산자들은 매우 오래된 물건이기는 하나, 얼마 전까지만 해도 FDC에서 사용했다는 증언을 어렵지 않게 들을 수 있고, 현재도 EMP와 같이 전자기기를 사용할 수 없을 때는 펜과 종이와 함께 사실상 유일한 계산 방법이므로 여전히 사용법 훈련이 이루어지는 것으로 보인다.
핵 계산척[30]
파일:m28a1-f.jpg
파일:m28a1-d.jpg
M4A1 핵위력계산척 M1A1 오염지역이탈계산척
화생방 상황에서 일선에서 관측한 자료를 바탕으로 핵무기의 위력을 계산하는 핵위력계산척, 낙진에 오염된 지역을 통과할 때 받는 피해를 계산하는 오염지역이탈계산척 등도 있다.
소련제 오염지역이탈계산척
파일:오염지역이탈계산척_소련_패키지.jpg
파일:오염지역이탈계산척_소련.jpg
파우치 및 구성물 본체
당연하다면 당연하게도 미국의 가상적국이었던 소련도 똑같은 용도의 똑같이 생긴 물건을 가지고 있었다. 계산자의 편리성은 국적을 가리지 않는다.

5.2. 항공용

한편 원형 계산자의 일종으로 로그 곱/나눗셈(C, D)이 가능한 항법계산기(Flight Computer)는 지금도 여러군데[31]에서 구할 수 있다. 특히 거의 표준 형식인 E-6B가 평균 5만원 정도로 구하기 쉽다.모습 파일럿 워치에도 간략화된 계산자를 탑재하는 경우가 있는데, 문서의 에이비에이션 워치 문단 참조.관련 설명 블로그

6. 외부 링크

7. 대중매체에서의 등장

파일:external/krabov.net/1477656196_07.gif
[1] 모델명을 설명하자면,
K&E: 당시 유명 계산자 제작사인 Keuffel and Esser.
20인치: 말 그대로 길이가 20인치(약 50.8cm). 보통 계산자는 10인치(약 25.4cm)가 표준이고 20인치는 주로 고급형인 대형 모델이다.
Log-log: LL눈금을 지원해 거듭제곱 계산 가능. LL눈금은 개수가 많으므로 필연적으로 두꺼워진다.
Duplex: 양면에 모두 눈금이 있음.
Decitrig: 삼각함수(trig)를 지원하며, 도 단위 아래로는 분, 초가 아닌 십진법(deci)을 사용함.([math(10.5\degree=10\degree\,30')])
종합해보면 K&E N4081-5모델로 보인다.[2] 이 사람은 곱셈 기호([math(\times)])도 발명하였다고 한다.[3] 현대의 포병 또한 아직까지도 계산자를 완전히 버리지는 않고 있다. 다만 포병들이 쓰는 계산자는 일반적인 계산자와는 다르다.[4] 특히 파버카스텔이 만든 2/83N Novo Duplex 모델의 경우 계산자 시대를 통틀어 최고의 모델로 꼽히며 시세도 높다. 문구업계에서 파버카스텔과 오랜 라이벌 관계인 스테들러의 플래그십 모델로 Mars 544 28이 있었는데 상당히 2/83N을 의식한 듯한 구성이었을 정도.[5] 심지어 오늘날 컨닝기법으로도 쓰이는 '공학용 계산기 뚜껑에 공식 쓰기'도 과거 계산자 뒷면에 공식 쓰기가 원조다(!).[6] 아폴로 11호의 버즈 올드린이 가져간 계산자는 Pickett N600-ES Log Log Duplex 5인치 모델.[7] 영화에서는 우주선 안에 실린 미션계획서에 있는 공식을 참고하였다.[8] 여담으로 이 계산자는 스미소니언 박물관에 기증되었다.[국내] 가장 확률이 높은 곳은 서울풍물시장인데, 워낙 드물게 출품되고 나오는 것도 15cm 휴대용 Simplex(단면) 제품일 확률이 크다. (제조사는 일본의 Hemmi가 대부분인데, 다행히 내구도는 좋은 편이다.) 한편 네이버 쇼핑 등에서도 "로그자"라는 이름으로 검색ㅇ하면 중국 항공 계산자 직선형을 평균 4만원 정도로 구할 가능성이 있다.[10] 현대문명의 기계들은 웬만하면 EMP 차폐가 생각보다 잘 되어 있다.[11] 눈금자의 정확히 절반인 [math(\sqrt{10}=3.16)]만큼 이동한 경우도 있지만 [math(3.14)]와 거의 비슷할 뿐더러 [math(\sqrt{10})]을 곱하는 일은 별로 없기 때문에 범용성에서 [math(\pi)]에 밀린다.[12] 영: Square Root, 독: Wurzel[13] 대표적으로 hemmi 257, hemmi 257L[14] S L T는 슬라이드 뒷면에 쓰여있다.[15] Gunter's Scale; 로그눈금 한 개와 디바이더를 가지고 계산한다. C눈금의 역할을 디바이더가 한다고 보면 된다.[16] 여담으로 왼쪽에 건너편에 앉은 여자가 들고 있는건 휴대용 실린더형 계산자 Otis King Calculator이다.[17] 가장 왼쪽에 오류가 있는데 1.17이 아니라 1.27이다.[18] 숫자들로 구성된 데이터에서 첫자리의 값이 고르게 분포되어있지 않고 1인 경우가 제일 많은 현상. 분포비는 로그값에 비례한다. #[19] 123이 측정값이라면, 유효숫자 계산법에선 곱셈 연산의 결과 유효숫자 개수가 변하지 않으므로 [math(1.51\times10^4)]이라는 결과에는 딱히 문제가 없다.[20] 최초의 공학용 계산기는 1972년 선보인 휴렛팩커드의 HP-35. 우리가 쓰는 계산기 형태가 아닌 건 1968년에 출시된 휴렛펙커드의 HP 9100A이긴 한데, 문제는 크기가 말이 계산기지 컴퓨터 수준이라...[21] 스케일을 왼쪽, 오른쪽으로 평행이동할 때마다 [math(\dfrac1{10})], [math(10)]배의 효과가 있다.[22] [math(9)], [math(144)], [math(14400)] 등[23] [math(25)], [math(49)], [math(1440)] 등[24] [math(\sin5.7\degree\fallingdotseq0.1)], [math(\sin90\degree=1)][25] P는 [math(\sqrt{1 - x^2})]에 해당하는 눈금인데, 공식 [math(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1)]을 정리한 것이다.[26] 2는 1.002, 5.5는 1.0055 등[27] 예를들어 C 눈금의 2는 0.2, 2, 20, 200 등을 모두 표현할 수 있다.[28] 더 자세하게는, [math(\log(y \times \log x) = \log y+\log(\log x))]가 되어 로그와 로그-로그 눈금의 덧셈으로 거듭제곱이 표현된다.[29] T눈금이 C와 같은 슬라이드에 있는 경우에 가능. T가 바디에 있는 경우 CD를 바꿔서 계산한다.[30] 국방과학기술용어사전[31] 네이버 쇼핑에서도 확인되었다.[32] 솔제니친은 수학과 물리학을 전공했고, 수용소 시절 소련의 핵개발에도 차출됐음을 암시하는 내용이 있을 정도로 고등 수학에 능했다.

분류