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과일 분수방정식 문제

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1. 개요2. 해설3. 여담4. 관련 문서

1. 개요

파일:main-qimg-5b0690e302a38cf2a8068158199e7a21-c.jpg
[math(
\dfrac x{y+z} +\dfrac y{z+x} +\dfrac z{x+y} = 4 \qquad (x,y,z \in \N)
)]

인터넷에 돌아다니는 방정식 퀴즈 중 하나. SNS에 나도는 어이없는 "과일 문제"[1]들을 풍자하기 위해 만든 문제로, 미지수가 귀여운 과일 아이콘으로 되어 있어 마치 초등학생용 문제로 보이게끔 함정이 파여 있다.

원문에서는 MIT졸업생의 95%는 풀 수 없다는 문제였으나, 이 문제를 푼 수학자 Alon Amit는[2] 99.999995%의 사람들은 못 풀 거고, 그 중에서는 단지 정수론을 전공하지 않았을 뿐인 명문대 수학 교수도 포함될 것[3]이라고 했을 정도로 무진장 어려운 문제다.

2. 해설


Alon Amit의 과일 분수방정식 문제 해설

이 문제의 가장 작은 해는 자그마치 79, 80, 81자리나 되는 숫자다.
[math(\{x,\, y,\, z\} = \{ \\ \quad 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036, \\ \quad 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579, \\ \quad 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999 \\ \})]

집합 기호로 쓴 이유는 윤환식이기 때문이다. 덧붙여서 우변의 상수항 값이 클수록 해의 자릿수가 눈덩이처럼 불어난다는 사실까지 밝혀냈다. 가령 4 대신 178을 대입해봤더니 거의 4억에 육박하는 자릿수가 튀어나왔다고 한다. 다만 엄밀하게는 상수항이 커질수록 자릿수가 증가하는 것이 아니라 줄어들기도 한다.

Alon Amit의 의견을 더 들어보면...즉, 삼차 이상으로 넘어가면 일반인 수준도 물론이고 석박사 전공자, 그 중에서도 디오판토스 방정식을 연구하는 입장에서마저 대부분 답이 없다는 뜻이다. 그리고 이 디오판토스 방정식은 삼차다. 더 나아가서, (원문의 수식을 가져오자면) 기쁘게도, 또는 끔찍하게도, 타원곡선의 형태다. 그래서 미해결 문제까진 아니지만, 해만 터무니없이 큰 게 아니라 풀이법[5]도 까다롭다.
[math(\dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{x+y} = n \ \ (x, y, z \in \mathbb{N}))]
이 꼴의 방정식 형태와 풀이도 지금은 은퇴한 수학자인 Allan MacLeod가 겨우 몇 년 전에야 제시했고, [math(n)]이 홀수일 경우의 정수해는 없다고 한다.

3. 여담

[math(x)], [math(y)], [math(z)]가 0이 아닌 정수로 조건이 붙으면 [math(\{x,\, y,\, z\}=\{-1,\, 4,\, 11\})]로 간단한 답이 나온다.

4. 관련 문서


[1] 일명 Fruit math 밈. 미지수를 알록달록한 과일 그림으로 치환한 방정식 문제들로 약 2016년부터 페이스북 등을 중심으로 퍼져나갔다. 대다수는 일차연립방정식 수준의 간단한 문제임에도 불구하고 "오직 극소수의 사람들만이 이 문제를 풀 수 있다"나 "너무 어려워서 풀 수 없다"같은 문장들이 덤으로 달려 있다. 범람하고 있는 조악한 모바일 게임 광고들과 유사한 면이 있다.[2] 예루살렘 히브리 대학교 수학 박사로 에르되시 번호가 2이다.[3] Roughly 99.999995% of the people don’t stand a chance at solving it, and that includes a good number of mathematicians at leading universities who just don’t happen to be number theorists.[4] 즉, 버치-스위너턴다이어 추측 같은 문제가 수백만 개씩이나 있다는 뜻이다.[5] 타원곡선 교점을 찍고 치환식에 대입해 푸는 노가다를 9번이나 해야 한다.

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