1. 개요
이 문서에서는 사이클로이드와 관련된 물리학적 문제를 다룬다. 최속 강하 곡선 문제(brachistochrone problem)와 등시 곡선 문제(Tautochrone problem)가 대표적이다.2. 상세
2.1. 최속 강하 곡선 문제
최속 강하 곡선 문제(Brachistochrone[1] problem)란, 중력장 하에서 임의의 두 점 사이를 물체가 내려올 때, 하강 시간이 최소가 되는 두 점을 잇는 곡선을 구하는 문제이다.세계의 모든 학생들이 변분법을 공부할 때 한 번쯤은 풀고 가게 되는 유명한 문제이기도 하다.
문제를 간단히 하기 위해 곡선의 시작점을 원점으로 설정하고, 임의의 한 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 이으며, 조건을 만족시키는 곡선을 [math(y)]라 놓자. 이때, 역학적 에너지 보존에 의해 [math(y)]만큼 낙하했을 때, 물체의 속력을 [math(v)]라 놓으면
[math(\displaystyle mgy=\frac{1}{2}m v^{2} \, \to \, v=\sqrt{2gy} )]
한편, [math(\mathrm{d}s)]만큼의 경로로 내려오는 데 걸린 미소 시간을
[math(\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v} )]
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\mathrm{d}s)]는 곡선의 미소 길이이다. 그런데
[math(\displaystyle \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}}\,\mathrm{d}x )]
로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2g}} \int_{0}^{x_{1}} \frac{\sqrt{1+y'^{2} } }{\sqrt{y}}\,\mathrm{d}x )]
가 된다. 범함수
[math(\displaystyle J(y,\,y',\,x) \equiv \frac{\sqrt{1+y'^{2} } }{\sqrt{y}} )]
를 오일러-라그랑주 방정식에 대입해야 하는데, 해당 범함수엔 [math(x)]가 명시적으로 나타나 있지 않으므로 벨트라미 항등식을 이용한다. 즉, 다음 식
[math(\displaystyle J-y'\frac{\partial J}{\partial y'}=\text{const.})]
에 [math(J(y,\,y',\,x))]를 대입해서 정리하면 아래와 같은 꼴을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^{2} } }=\sqrt{C} )]
여기서 [math(C)]는 상수이다. 이를 정리하면 다음의 미분 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \sqrt{\frac{1-Cy}{Cy}})]
이때, 다음과 같은 치환을 고려하자.
[math(\displaystyle y \equiv \frac{1}{C} \sin^{2}{\frac{\theta}{2}})]
여기서 [math(C)]는 상수이다.
[math(\displaystyle x=\int \sqrt{\frac{Cy}{1-Cy}} \,\mathrm{d}y )]
임을 이용하면
[math(\displaystyle x=\frac{1}{2C}(\theta-\sin{\theta})+c)]
를 얻는다. 그런데 해당 곡선은 원점을 지나야 하므로 적분 상수 [math(c)]는 [math(0)]이다. 또한, [math((2C)^{-1} \equiv r)]로 놓으면, 곡선의 매개변수 방정식은
[math(\begin{aligned}\displaystyle x&=r(\theta-\sin{\theta})\\ y&=r(1-\cos{\theta})\end{aligned})]
가 되므로 이는 사이클로이드의 매개변수 방정식이다. 이 때, 상수 [math(r)]는 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지난다는 조건을 이용하면 구할 수 있다.
아래의 그림은 위의 내용을 시각화한 것이다.
각 곡선은 위에서부터 직선, 포물선, 원, 사이클로이드, 육차 곡선[2]이다.
2.2. 등시 곡선 문제
등시 곡선 문제(tautochrone[3] problem)는 중력장 하에서 물체를 곡선 위의 어디에 놓는지에 상관없이 그 물체가 최하점에 도달하는 시간이 같아지는 곡선을 찾는 문제이다. 사이클로이드는 이 문제를 만족시키는 곡선이라는 사실이 1659년 하위헌스에 의해 증명되었다.위 그림과 같이
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\
y&=-r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq \pi) \end{aligned} )]
의 반주기의 사이클로이드 곡선을 고려하자. 이 곡선 위의 한 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]에서 물체를 놓았을 때, 곡선의 최하점인 [math(\mathrm{Q}(r\pi,\,-2r))]까지 이동하는 데 걸린 시간을 구해 보자. 이때, 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]는 매개변수 [math(\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} <\pi))]를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{0}&=r(\theta_{0}-\sin{\theta_{0}}) \\ y_{0}&=-r(1-\cos{\theta_{0}}) \end{aligned} )]
역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 이 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 이 법칙을 이용하여 [math(y)]에 도달했을 때에 대해 쓰면
[math(\displaystyle gy_{0}=gy+\frac{1}{2}v^{2} )]
이 된다. 이때
[math(\displaystyle -gr(1-\cos{\theta_{0}})=-gr(1-\cos{\theta})+\frac{1}{2}v^{2} )]
으로 쓸 수 있고, 이것을 정리하면
[math(\displaystyle v=\sqrt{2gr}\sqrt{ \cos{\theta_{0}}-\cos{\theta} })]
이므로, 미소 길이 [math(\mathrm{d}s)]를 지나는 동안 걸린 미소 시간 [math(\mathrm{d}t)]는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v} )]
한편, 곡선의 길이는 상위 문서에서 다룬 바와 같이
[math(\displaystyle \mathrm{d}s=2r\sin\frac{\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta )]
이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{d}t&=\sqrt{\frac{2r}{g}}\frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos{\theta_{0}}-\cos{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\
&=\sqrt{\frac{r}{g}}\frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}}-\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} }} \,\mathrm{d}\theta \end{aligned} )]
따라서 [math(\theta)]에 대한 영역 [math(\theta_{0} \leq \theta \leq \pi)]에 대해 적분을 함으로써 하강 시간을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle t= \sqrt{\frac{r}{g}} \int_{\theta_{0}}^{\pi} \frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}}-\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} }} \,\mathrm{d}\theta )]
적절한 변수 치환
[math(\displaystyle z \equiv \frac{\displaystyle \cos{\frac{\theta}{2} } }{\displaystyle \cos{\frac{\theta_{0}}{2} } }\, \to \, \mathrm{d}z=-\frac{1}{2}\frac{\displaystyle \sin{\frac{\theta}{2} } }{\displaystyle \cos{\frac{\theta_{0}}{2} } }\,\mathrm{d}\theta )]
을 사용하면 적분은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} t&=2 \sqrt{\frac{r}{g}} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-z^{2} } }\,\mathrm{d}z \\ &={\pi}\sqrt{\frac{r}{g}} \end{aligned} )]
따라서 점 [math(\mathrm{P})]의 위치에 관계없이 최저점 [math(\mathrm{Q})]까지 낙하하는 데 걸리는 시간은 상수이다.
위 논의를 확장하면, 사이클로이드 면 위에 놓인 물체의 진동 운동의 주기 또한 등시성을 갖는다고 할 수 있다. 위에서 구한 낙하 시간 [math(t)]는 해당 진동 운동의 1/4 주기에 해당하기 때문에 사이클로이드 면 위에 놓인 물체의 진동 주기는 다음과 같다.
[math(\displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{4r}{g}} )]
아래는 이를 시각화한 그림이다.
이러한 등시성은 진자시계를 만드는 데 활용되었다.
2.2.1. 사이클로이드 진자
사이클로이드 진자란, 위 그림처럼 [math(\mathrm{A \to O})], [math(\mathrm{O \to B})]가 형성하는 원의 반지름이 같은 사이클로이드 반주기 곡선에 해당하고, 길이가 반주기의 사이클로이드 곡선과 같은 줄을 물체와 연결하고, 점 [math(\mathrm{O})]에 매단 진자를 의미한다.
위 문단에서 '중력장하에서 사이클로이드 궤도는 등시 곡선 궤도로 움직이는 것이므로, 곧 운동의 주기는 물체의 초기 위치가 어디든 상관없이 같다'는 것을 증명했다.
따라서 다음을 증명한다면, 위 사이클로이드 진자 역시 물체의 초기 위치에 상관없이 운동 주기가 같음을 보일 수 있다.
- 물체가 움직이는 경로 [math(\mathrm{A \to C \to B})]는 사이클로이드이다.
- 장력과 운동 방향은 수직이다.
[1] 물체가 움직이는 경로가 사이클로이드임을 보이기
선분 [math(\mathrm{OC})]를 기준으로 좌우가 대칭이므로 [math(\mathrm{C \to B})]인 경우만 보면 된다. 이것을 좌표평면상에 다음과 같이 나타내자.
이 때, 점 [math(\mathrm{P})]는 사이클로이드 면 [math(\mathrm{C \to B})]상의 점이고, 점 [math(\mathrm{K})]는 물체가 위치하는 점이다. 점 [math(\mathrm{P}(x_{\mathrm{P}},\,y_{\mathrm{P}}) )]는 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{\mathrm{P}}&=a(\theta-\sin{\theta}) \\ y_{\mathrm{P}}&=-a(1-\cos{\theta})+2a \end{aligned} )]
로 나타낼 수 있고, 이 사이클로이드는 직선 [math(y=2a)]에 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러감으로써 형성된다. 이때, 진자의 줄은 위 그림과 같이 청색 영역과 적색 영역으로 각각 구분할 수 있으며, 전자는 사이클로이드면에 닿은 부분, 즉 [math(0 \to \theta )]까지의 사이클로이드 곡선이며, 후자는 점 [math(\mathrm{P})]에서 그은 접선이다. 이미 반주기 사이클로이드 곡선의 길이는 [math(4a)]이므로 줄의 총 길이는 문제 상황에 따라 [math(4a)]임을 안다. 청색 영역의 길이는
[math(\displaystyle \int_{0}^{\theta} \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d}x_{\mathrm{P} } }{\mathrm{d} \theta} \right)^{2}+\left( \frac{\mathrm{d}y_{\mathrm{P} } }{\mathrm{d} \theta} \right)^{2}}\,\mathrm{d} \theta=4a \left(1-\cos{\frac{\theta}{2}} \right) )]
이므로 적색 영역의 길이는
[math(\displaystyle 4a-4a \left(1-\cos{\frac{\theta}{2}} \right)=4a\cos{\frac{\theta}{2}} )]
이다. 즉, 이 길이는 [math(\overline{\mathrm{PK}})]에 해당한다.
이제 각 [math(\varphi)]에 대한 정보를 얻자. 선분 [math(\mathrm{PK})]의 기울기는 [math(\tan{(\varphi+\pi/2)}=-\cot{\varphi})]이고, 적색 접선의 기울기는 매개변수 함수에 대한 미분법으로 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{(\mathrm{d}y/\mathrm{d} \theta)}{(\mathrm{d}x/\mathrm{d} \theta)}=-\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}}=-\cot{\frac{\theta}{2}} )]
따라서
[math(\displaystyle -\cot{\varphi}=-\cot{\frac{\theta}{2}} \,\to \, \varphi=\frac{\theta}{2} )]
한편
[math( \begin{aligned}\displaystyle \overline{\mathrm{HK}}&=4a\cos{\frac{\theta}{2}} \sin{\frac{\theta}{2}} =2a\sin{\theta} \\ \overline{\mathrm{PH}}&=4a\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} =2a(\cos{\theta}-1) \end{aligned} )]
이므로 점 [math(\mathrm{P}(a(\theta-\sin{\theta}),\, -a(1-\cos{\theta})+2a))]인 것을 이용해 점 [math(\mathrm{K})]의 좌표를 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=a(\theta-\sin{\theta})+2a\sin{\theta} \\ y&=-a(1-\cos{\theta})+2a-2a(\cos{\theta}+1) \end{aligned} )]
로 표현할 수 있다. 이것을 간단히 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta})+2a \theta \\ y&=a(1-\cos{\theta})-2a \end{aligned} )]
로 쓸 수 있는데, 이것은 사이클로이드
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=a(1-\cos{\theta}) \end{aligned} )]
를 [math(y)]축 방향으로 [math(-2a)]만큼 평행이동한 후 [math(y)]축을 기준으로 하여 대칭이동한 곡선의 매개변수 방정식이므로, 진자의 운동 경로는 사이클로이드이다. 정확히 표기하면 진자는 [math(-\pi \leq \theta \leq \pi)]에서 움직이므로 진자가 움직이는 경로의 매개변수 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta})+2a \theta \\ y&=a(1-\cos{\theta})-2a \qquad (-\pi \leq \theta \leq \pi) \end{aligned} )]
이다. 참고로 이 곡선은 [math(x)]축 아래에 붙어서 반시계 방향으로 돌아가는 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러가면서 형성된다.
[2] 장력과 이동 방향은 수직임을 보이기
이것은 간단히 점 [math(\mathrm{K})]에서 그은 접선과 적색 직선이 수직임을 보이면 된다. 적색 직선의 기울기가
[math(\displaystyle -\cot{\frac{\theta}{2}} )]
라는 것은 위에서 보였다. 점 [math(\mathrm{K})]에서 그은 접선의 기울기는 매개변수 방정식의 미분법을 사용하면
[math(\displaystyle \frac{(\mathrm{d}y/\mathrm{d} \theta)}{(\mathrm{d}x/\mathrm{d} \theta)}=\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}=\tan{\frac{\theta}{2}} )]
가 된다. 따라서 두 직선의 기울기 곱은
[math(\displaystyle -\cot{\frac{\theta}{2}} \cdot \tan{\frac{\theta}{2}}=-1)]
이므로 두 직선은 수직이다. 따라서 장력과 이동 방향은 수직이다.
결국, 이 상황은 곧 위에서 다뤘던 사이클로이드 면 위를 진동 운동하는 물체의 상황과 같다.[4] 또한, 해당 물체는 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러감으로써 형성되는 사이클로이드 궤도를 따르고 있고, 중력장에서 사이클로이드는 등시 곡선임을 위에서 증명했기 때문에 점 [math(\mathrm{K})]는 (모든 마찰을 무시한다면) 초기 위치가 [math(\mathrm{A,\,B})] 사이 어디에 있든 주기
[math(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{4a}{g}})]
로 왕복 운동한다. 이 주기는 줄의 길이가 [math(4a)]이며 진폭이 작은 단진자의 주기와 일치한다. 나아가 단진자의 경우 진동 각이 커짐에 따라 오차가 나지만, 이 사이클로이드 진자를 이용하면 진동 각에 관계없이 진동 주기가 같기 때문에 진동 주기를 이용하여 단진자보다 정확하게 시간을 측정할 수 있다. 실제로, 하위헌스는 이 성질을 이용하는 진자 시계를 만들었다.
아래의 그림은 이상의 내용을 시각화한 것이다.
3. 여담
최속 강하 곡선 문제에 관한 유명하고도 재밌는 일화가 있는데, 1696년 라이프니츠의 제자였던 요한 베르누이는 2주에 걸친 고민 끝에 최속 강하 곡선 문제의 해답을 찾은 뒤 수학 학회지를 통해 이 문제의 해답을 다른 수학자들에게도 6개월의 기한을 주고 물었다. 야코프, 라이프니츠 등 여러 유명 수학자들이 답을 찾아 보냈는데, 이상하게도 당대 최고의 수학자 뉴턴에게는 답이 오질 않자 베르누이는 뉴턴을 도발하기 위해 직접 편지를 보냈다. 허나 뉴턴은 그 당시 조폐청 간부 일을 하느라 그냥 바빴을 뿐이었고(...), 퇴근 후 하룻밤, 고작 12시간 만에 문제를 풀어서 베르누이에게 익명으로 답장을 보냈다.[5]이 익명 답장을 받아 본 베르누이의 반응이 그 유명한 "발톱 자국만 봐도 사자임을 알겠다."4. 관련 문서
[1] "Brachistos"(가장 짧은), "Chronos"(시간)라는 그리스어에서 유래 했다.[2] 최고 차항이 6차항인 곡선.[3] "Tauto"(동일한), "Chronos"(시간)라는 그리스어에서 유래 했다.[4] 물체에 일하는 힘은 중력뿐이다.[5] 그 라이프니츠조차도 문제를 보고는 6개월로는 부족하다며 2년으로 연장해 달라 할 정도였으니, 뉴턴의 정말 어마어마한 천재성을 엿볼 수 있다.