1. 개요
에너지가 다른 에너지로 전환될 때, 전환 전후의 에너지 총합은 항상 일정하게 보존된다는 법칙.운동량 보존의 법칙, 각운동량 보존 법칙과 함께 고전역학과 양자역학에서 일어나는 모든 물리현상을 설명하는, 가장 중요하고 근본적인 세 가지 법칙 중 하나이다. 독일 철학자, 물리학자 헤르만 루트비히 페르디난트 폰 헬름홀츠(Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz, 1821 ~ 1894)에 의해 발견되었으며, 중/고등학교 교과서에서 나올법한 간단한 실험부터 자연에서 일어나는 수많은 물리현상까지 모두 포괄하는 법칙으로서 어떤 현상[1]에 관여하는 모든 변수를 포괄한 고립계에 대하여 에너지의 총량은 항상 일정하다는 것.
질량 보존의 법칙과 동일한 의미를 공유한다. 질량은 곧 에너지이기 때문이다.([math(E = mc^{2})])
그러나 에너지가 보존된다고 해서 함부로 에너지를 낭비하지 말아야 하는 이유가 다있는데, 휴대전화를 오랫동안 사용하면 전기 에너지가 열에너지로 전환되면서 조금씩 뜨거워지며, 이 열에너지는 다시 사용하기 어렵게 된다. 또 텔레비전에서 방출된 화면의 빛이나 스피커 소리도 빛에너지, 소리 에너지로 전환되어 퍼져나간 후에는 재사용하기 어려워진다. 이와 같이 모든 에너지는 재사용하기 어려운 에너지의 형태로 바뀌는 에너지 전환을 하는 때가 많기 때문에 에너지를 절약하고 효율적으로 사용하는 태도의 실천이 필요하다.
2. 역학적 에너지 보존의 법칙
오직 운동 에너지[2]와 퍼텐셜 에너지만을 고려하는 계에서, 보존력만이 작용하는 한 두 에너지의 총량은 항상 일정하다는 법칙이다.[3] 물리학이나 공학에서 어떤 계에서 물체들의 운동을 분석할 때, 마찰 등 열까지 포함하여 고려하면 물체들의 운동을 서술하는 운동방정식이 복잡해지고, 라그랑지안 등 간단하게 서술하는 데에 도움을 주는 다양한 식들을 적용하기가 어려워진다. 그래서 열에너지 등을 제외하고, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지만 고려하여 문제를 해결하는 경우가 많다. 주로 언급되는 퍼텐셜 에너지는 중력 퍼텐셜 에너지, 전기 퍼텐셜 에너지(전위), 탄성 퍼텐셜 에너지 등이 있다.3. 열역학
고립계의 에너지 총합은 일정하다. 이는 다음 식으로 흔히 표현된다.
[math( \displaystyle Q = \Delta U + W )]
[math( \displaystyle \delta Q = \delta U + \delta W )]
이때, [math(U)]는 계(혹은 간단히 기체)의 내부(internal) 에너지를 뜻하며, 이는 계가 가지고 있는 에너지 중 그 계 전체가 통째로 움직이는 운동에 의해 지니고 있는 운동에너지와 계 외부에서 가해진 역장에 의해 계 전체가 통째로 가지게 된 포텐셜에너지를 제외한 그 계의 모든 에너지를 의미한다.
[math(Q)]는 계(기체)가 흡수한 열을 나타내며, 방출할 경우 음수로 나타낸다. 또한 [math(W)]는 계가 한 일을 나타내는데, 팽창해서 부피가 증가할 경우 [math(W)]는 양수, 수축해서 부피가 감소할 경우 음수로 나타낸다.
다시 말해 '일'은 '계 전체가 통째로 움직이는 것에 의한 운동에너지'의 형태로 전달되는 에너지의 양으로 정의할 수 있고, '열'이란 '그 외의 형태의 운동에너지'의 형태로 전달[4]되는 에너지의 양으로 정의할 수 있다.[5]
즉, [math(Q)]와 [math(W)]는 각각 계 내부와 외부 사이에서 전달되는 에너지를 뜻한다. 열과 일은 그 자체로 에너지의 전달 혹은 변환이라는 의미를 갖고 있기 때문에 [math(\Delta)]가 붙지 않는 것이다. 전달되지 않은 특정 상태의 에너지 자체는 열역학적으로 아무런 가치가 없다.
기체가 든 뚜껑이 닫힌 상자를 생각해보자. 상자를 건드리지 않는다면, 상자 속 기체는 무작위적인 방향으로 움직이며, 모든 입자의 속도(벡터)를 평균하면 어느 방향으로도 움직이지 않는 [math(\rm0\,m/s)]이 될 것이다.
만약 이 상자에 열을 가하면, 기체 입자 하나 하나의 무작위적인 방향으로의 속도의 크기는 증가할 것이다. 그러나 라면을 끓일 때 냄비가 스스로 움직이지 않는 것에서 알 수 있듯, 입자의 속도의 평균은 여전히 [math(\rm0\,m/s)]이다. 만약 이 입자에 일을 하면, 일은 입자 하나 하나의 속도에 일정한 방향의 속도 성분을 추가한다. 이를 통해 입자 전체 속도의 평균이 [math(\rm0\,m/s)]이 아니게 된다. 상자가 움직이는 것이다.
그러나 상자에 대한 입자들의 무작위적 방향으로의 속도가 증가하지는 않는다. 입자의 속도가 증가한 만큼 상자의 속도도 증가했기에, 상대 속도는 변하지 않는 것이다. 라면 냄비를 팔로 밀었다고 라면이 스스로 끓지는 않는 것이다.
외계의 접촉이 없을 때 고립계에서 에너지의 총합은 일정하다는 에너지 보존 법칙은 고전역학의 바탕이 되는 법칙 중 하나며, 열역학에서도 이 법칙이 성립한다고 선언한 것이 바로 열역학 제1법칙이다. 이 법칙에 따르면 에너지는 그 형태를 바꾸거나 다른 곳으로 전달할 수 있을 뿐 생성되거나 사라질 수 없다. 에너지의 총량은 항상 일정하게 유지된다는 것이다.
롤러코스터에서 중력에 의한 퍼텐셜(위치) 에너지가 운동 에너지로 변환되거나 화약의 화학 에너지가 총알의 운동 에너지로 변환되는 것이 그 예이다.
이를 한마디로 나타내면 다음과 같다.
외부와 에너지 교환이 없는 고립계 내에서 에너지는 사라지지도 생겨나지도 않는다. 다만 그 형태는 바뀔 수 있다.
그래서 우리는 항상 가장 쓸모없는 에너지인 열을 다른 걸로 좀 바꿔보려고 애를 쓴다. 하지만 그것은 아래에서 설명하는 열역학 제2법칙 때문에 효율에 한계가 있으며 항상 엄청난 저효율로 인해 고생한다. 오히려 열을 다른 에너지로 바꾸는 데 드는 에너지들이 열로 더 많이 바뀐다.아인슈타인의 그 유명한 공식 [math(E=mc^2)]이 나온 이후에는 질량 역시 에너지의 한 가지 형태라는 것이 밝혀졌다. 따라서 에너지 총합에 질량을 넣어야 한다. 일상적인 상황에서는 굳이 생각하지 않아도 되어서 핵에너지는 내부 에너지 계산 시에 종종 생략하지만 원자로의 핵분열 반응이나 항성의 내부를 다루는 경우에는 질량 손실에 해당하는 에너지가 열의 형태로 방출되기 때문에 반드시 고려해야 한다.
마이너 버전으로 보존력장 내에서의 역학적 에너지(운동에너지+퍼텐셜 에너지) 보존이 있다. 여기서는 에너지 [math(E=T+V)]가(그러니까 해밀토니안) 일정하다고 나타낸다. 보존력장에서는 반드시 성립하며, '시간의 균질성(Homogeneity of time)'을 시사한다. 특별한 시간은 없고, 어느 시간에 대해서도 물리 법칙이 동등하게 적용된다는 것.
다만 열역학 제1법칙이 우리가 알고 있는 형태의 에너지 보존법칙의 부분집합일 뿐이라고 생각하면 곤란하다. 이 법칙이 나오게 된 시대적인 배경을 고려해야 하는데, 19세기에 들어서조차도 과학자들은 "열현상"이라고 분류되는 현상의 본질에 대해 100% 확신이 없었다. 그래서 '열은 칼로릭(caloric)이란 유체가 물질 사이를 이동하는 현상이다.'라는 칼로릭 이론도 19세기 초까지 진지하게 받아들여지고 있었다.
열역학 제1법칙이란 우리가 관측하는 열현상이 단지 미시적인 원자, 분자들의 운동의 결과물일 뿐이라는 하나의 패러다임의 선언문으로 이해할 필요가 있다. 이것을 인정하고 나면, 거시세계에서 이미 확립된 에너지 보존법칙을 열현상에까지 확장하는 것이 자연스럽게 된다. 럼포드(Rumford), 줄, 맥스웰, 볼츠만 등의 19세기의 과학자들의 오랜 연구의 결과물인 것이다.
물론 고등학교 물리 과정에서 위의 정도까지 알 필요는 없고 [math(Q=\Delta U=nC_V\Delta T)](정적 과정, isochoric)과 [math(Q=\Delta U+W=\Delta U+p\Delta V)](정압 과정, isobarric)이 정도만 알면 된다. 대학 과정으로 가면 정온 과정, 단열 과정부터 시작해 [math(\displaystyle \int c\,{\rm d}T)], [math(\displaystyle \int \mu\,{\rm d}n)]등 전기적, 자기적, 화학적 에너지까지 다룬다.
20세기 초, 에너지 보존 법칙은 알버트 아인슈타인의 특수 상대성 이론을 통해 질량-에너지 보존 법칙으로 확장되었다. 특수 상대성 이론에 따르면 질량은 에너지의 한 종류이고 기준 관성계에 따라 측정되는 값이 다를 수는 있지만 같은 관성계에서 시간의 변화에 대해서 불변이다.
열역학 제1법칙에 위배되는 영구기관을 제1종 영구기관이라고 부른다.
4. 회로이론
5. 해석역학
사실 고등학교나 일반물리학 수준에서는 에너지가 보존된다는 법칙이 완벽하다고 믿었겠지만 사실 아닐 수도 있다. 참으로 보존되는 것은 사실 해밀토니언이라는 물리량이다.계의 라그랑지언을 [math( \mathcal{L} )]이라 하고, [math( q_j )]를 [math( j )]번째 일반화 좌표라고 하자. 그러면, 계의 해밀토니언을 다음과 같이 정의한다.[6][7]
[math(\displaystyle \mathcal{H}=\left( \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j} } } \right) - \mathcal{L} )]
그러면, 계의 해밀토니언은 보존된다. 해밀토니언은 계의 역학적 에너지와 거의 비슷하면서도 살짝 다르다. 사실 웬만한 경우는 그냥 역학적 에너지=해밀토니언 이라고 생각해도 된다. 따라서 역학적 에너지는 웬만하면 보존된다. 하지만 퍼텐셜 에너지가 물체의 속도에 대한 함수라면[8] 역학적 에너지 [math(\neq)] 해밀토니언이고 역학적 에너지가 보존되지 않는다.
정리하면 다음과 같다.
- 닫힌계의 해밀토니언은 반드시 보존된다.
- 퍼텐셜 에너지가 속도에 대한 함수가 아니면 역학적 에너지(=해밀토니안)는 보존된다.
5.1. 증명
계의 라그랑지언 [math(\mathcal{L}(q_j,\dot{q_j},t))]를 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \frac{d q_j}{dt} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \frac{ d \dot{q_j} }{dt} } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \frac{dt}{dt} \\&= \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \dot{q_j} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \end{aligned} )]
그런데, 닫힌계의 라그랑지언은 시간에 대한 함수가 아니다. 따라서 [math( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{ \partial t} = 0 )]이므로
[math(\displaystyle \frac{d\mathcal{L}}{dt} = \sum_{j}{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} \dot{q_j} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } )]
또한, 오일러-라그랑주 방정식에 의해
[math(\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_j} = \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} )]
이므로, 이를 대입하면
[math(\displaystyle \begin{aligned}\frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} } + \sum_{j} {\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_j}} \ddot{q_j} } \\ \frac{d\mathcal{L}}{dt} &= \sum_{j}{ \frac{d}{dt} \left( \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} } \right) } \end{aligned})]
좌변을 이항해서 [math(\dfrac{d}{dt})]로 묶으면,
[math(\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} }} - \mathcal{L} \right) = 0 )]
이때 괄호 안은 바로 해밀토니언의 정의이다. 따라서 [math(\dfrac{d\mathcal{H}}{dt}=0)]이므로, 해밀토니언 [math(\mathcal{H})]는 시간에 무관한 상수이다. 따라서 해밀토니언은 보존된다.
한편, 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않는다면 [math(\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q_j}}=0)]이 된다. 따라서 해밀토니언의 정의를 살짝 변형하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H} &= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial \dot{q_j} }} - \mathcal{L} \\&= \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial (T-U) }{ \partial \dot{q_j} }} - (T-U) \\& = \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q_j} }} - (T-U) \end{aligned} )]
가 된다. 그런데 운동 에너지 [math(T)]는 [math(\dot{q_j})]에 대한 2차 동차함수이므로 오일러의 정리에 의하여
[math(\displaystyle \sum_{j}{ \dot{q_j} \frac{ \partial T }{ \partial \dot{q_j} } } = 2T )]
이다. 이를 대입하면
[math(\displaystyle \mathcal{H} = 2T - (T-U) = T+U = E )]
이다. 따라서 퍼텐셜 에너지가 속도에 의존하지 않는다면 해밀토니언과 역학적 에너지가 같다는 것을 알 수 있다.
5.2. 뇌터 정리
6. 관련 문서
[1] 단순한 물체의 운동에서부터 열현상, 핵반응, 방사성 붕괴 같은 복잡한 물리현상도 포괄한다.[2] 직선 운동 에너지와 회전 운동 에너지 모두 포함한다.[3] 이때, 두 에너지를 합한 값, 즉 [math(T+U)]를 역학적 에너지로 정의한다.[4] 전도, 대류, 복사 등[5] 간단히 말해 일([math(W)])은 에너지의 역학적인 전달, 열([math(Q)])은 에너지의 비(非)역학적인 전달로 설명할 수 있다.[6] 참고로 이는 라그랑지언을 르장드르 변환한 것이다.[7] 일반화 운동량을 보면 알겠지만 아래 정의는 [math(\displaystyle \sum_{j}{ p_j \dot{q_j} } - \mathcal{L} )]로도 쓸 수 있다. 해밀토니언 참고.[8] 전자기학에서 가끔 볼 수 있다.