비선형
,
,
,
,
,
,
,
,
,
은(는) 여기로 연결됩니다. | 선형대수학 Linear Algebra | |||||
| {{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" | <colbgcolor=#006ab8> ▲ 대수학 | ||||
| 기본 대상 | 일차함수 · 벡터 · 행렬 · 선형 변환 | ||||
| 대수적 구조 | 가군(모듈) · 벡터 공간 · 내적 공간 · 노름 공간 | ||||
| 선형 연산자 | <colbgcolor=#006ab8> 기본 개념 | 연립방정식(1차 · 2차) · 행렬곱 · 단위행렬 · 역행렬과 크라메르 공식 · 가역행렬 · 전치행렬 · 행렬식(라플라스 전개) · 주대각합 | |||
| 선형 시스템 | 기본행연산과 기본행렬 · 가우스-조르당 소거법 · 행사다리꼴 · 행렬표현 · 라그랑주 보간법 | ||||
| 주요 정리 | 선형대수학의 기본정리 · 차원 정리 · 가역행렬의 기본정리 · 스펙트럼 정리 | ||||
| 기타 | 제곱근행렬 · 멱등행렬 · 멱영행렬 · 에르미트 행렬 · 야코비 행렬 · 방데르몽드 행렬 · 아다마르 행렬 변환 · 노름(수학) | ||||
| 벡터공간의 분해 | 상사 · 고유치 문제 · 케일리-해밀턴 정리 · 대각화(대각행렬) · 삼각화 · 조르당 분해 | ||||
| 벡터의 연산 | 노름 · 거리함수 · 내적 · 외적(신발끈 공식) · 다중선형형식 · ∇ · 크로네커 델타 | ||||
| 내적공간 | 그람-슈미트 과정 · 수반 연산자(에르미트 내적) | ||||
| 다중선형대수 | 텐서 · 텐서곱 · 레비치비타 기호 | }}}}}}}}} | |||
1. 개요
線型變換 / linear transformation벡터 공간에서 벡터 공간으로 가는 준동형 사상인, 그것들 중 벡터 공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수이다. 함수가 선형성을 가지므로 함수의 입력에 대한 선형 결합(linear combination)으로도 함수를 표현할 수 있다. 선형사상(線型寫像, linear map) 또는 일차변환(一次變換)이라고 부르기도 한다. 스칼라가 [math(F)]로 같은 벡터 공간 [math(V)], [math(W)]에 대해, 흔히 [math(V)]에서 [math(W)]로 가는 선형 변환들의 모임을 [math(L\left(V,W\right))][1]라 표시한다.
2. 정의
[math(f:V\rightarrow W)]가 선형 변환이라 함은 다음을 만족시키는 것이다.* (동차성(Homogeneity)) 임의의 [math(a\in F)], [math(u \in V)]에 대해, [math(f\left(au\right)=af\left(u\right))][2]
* (가산성(Additivity)) 임의의 [math(u, v \in V)]에 대해 [math(f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right))]
특히 이 둘을 합쳐서 선형성을 만족한다고 부르기도 하며, 중첩의 원리라고도 부른다. 선형성을 만족함은 동차성과 가산성을 동시에 만족하는 것과 동치이다.
* (선형성(linearity)) 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u,v\in V)]에 대해, [math(f\left(au+bv\right)=af\left(u\right)+bf\left(v\right))]
이를 만족하지 못 한다면 비선형 변환(non-linear transformation)이라 한다.* (가산성(Additivity)) 임의의 [math(u, v \in V)]에 대해 [math(f\left(u+v\right)=f\left(u\right)+f\left(v\right))]
특히 이 둘을 합쳐서 선형성을 만족한다고 부르기도 하며, 중첩의 원리라고도 부른다. 선형성을 만족함은 동차성과 가산성을 동시에 만족하는 것과 동치이다.
* (선형성(linearity)) 임의의 [math(a,b\in F)], [math(u,v\in V)]에 대해, [math(f\left(au+bv\right)=af\left(u\right)+bf\left(v\right))]
다르게는 카테고리 이론을 이용하여 간단하게 Vect(K)에서의 morphism을 선형 변환이라고 정의할 수도 있는데, 집합론을 썼느냐 카테고리 이론을 썼느냐의 차이일 뿐 사실 같은 대상이다.
[math(mathbb{R})]를 스칼라로 갖는 경우를 예로 들어보자.
- [math(V=W=\mathbb{R}^{2})]에 대해,
- [math(f\left(x,y\right)=\left(5x+3y,7x-2y\right))]는 선형 변환이다.
- [math(f\left(x,y\right)=\left(6x,5x\right))]는 선형 변환이다.
- [math(f\left(x,y\right)=\left(x^{2}+\sin y,0\right))]는 선형 변환이 아니다.
- [math(f\left(x,y\right)=\left(0,0\right))]는 선형 변환이다.
- [math(f\left(x,y\right)=\left(x+1,x+5y+2\right))]는 선형 변환이 아니다.
- [math(V)]를 [math(\left[0,1\right])]에서 [math(\mathbb{R})]로 가는 연속함수들의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. [math(\phi:V\rightarrow \mathbb{R})]을 [math(\phi\left(f\right):=\int_{0}^{1}f)]라 하면 [math(\phi)]는 선형 변환이다.
- [math(V)]를 [math(n)]차 정사각 행렬의 모임이라 하면, [math(\mathbb{R})]-벡터 공간이다. 주대각합 [math(\text{tr}:V\rightarrow \mathbb{R})]은 선형 변환이다.
- [math(V=W=\mathbb{C})], [math(T\left(z\right):=\overline{z})]라 정의하자. [math(\mathbb{R})], [math(\mathbb{C})]위에서, [math(V)], [math(W)]는 벡터 공간이다.[3]
- [math(\mathbb{R})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이다.
- [math(\mathbb{C})]위에서, [math(T)]는 선형 변환이 아니다. [math(iT\left(1\right)=i\ne-i=T\left(i\cdot 1\right))]이기 때문이다.[4]
3. 핵(kernel)과 상(image)
벡터 공간[math(V)], [math(W)]와 [math(f\in L\left(V,W\right))]에 대해[5]* (핵(kernel))[6] [math(\ker f:=\left\{v\in V:f\left(v\right)=0\right\})]
* (핵 공간의 차원(nullity)) [math(\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f)]
* (상(image)) [math(\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\})][7]
* (계수(차수; rank)) [math(\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f)]
라 정의한다. 다음이 성립한다.* (핵 공간의 차원(nullity)) [math(\text{Null}\left(f\right):=\dim\ker f)]
* (상(image)) [math(\text{Im} f:=\left\{f\left(v\right):v\in V\right\})][7]
* (계수(차수; rank)) [math(\text{rank}\left(f\right):=\dim\text{Im} f)]
[math(\dim V=\text{Null}\left(f\right)+\text{rank}\left(f\right))]
4. 행렬과의 관계
주어진 기저에 대해 선형변환을 행렬로 표현할 수 있다. 선형대수학의 기본정리에 따르면, 유한차원 벡터공간에서 정의된 선형변환을 행렬로 볼 수도 있고, 거꾸로, 행렬을 선형변환으로 볼 수 있는 방법이 존재한다. 즉, 정의역과 공역의 기저가 정해지면, 선형변환을 표현하는 행렬이 결정된다. 그뿐만 아니라, 선형변환의 합과 스칼라배는 행렬의 합과 스칼라배로 바뀌고, 선형변환의 합성은 행렬의 곱으로 바뀐다. 즉, 행렬을 선형변환의 아바타처럼 취급할 수 있다.[9] 이에 따라서, 행렬에 정의되는 개념들을, 잘 정의만 된다면, 선형변환에도 정의할 수 있다. 그러한 예로는 주대각합과 행렬식 등이 있다. 또한, 선형변환에 대한 명제를 증명하기 어려운 경우, 행렬을 이용하여 증명하면 수월한 경우가 있다.5. 합성변환과 역변환
- 합성변환
선형변환 [math(f, g)]의 합성변환 [math(f \circ g)]는 벡터를 변환 [math(g)]을 이용하여 이동시킨 벡터를 다시 변환 [math(f)]를 통해 이동시킨 벡터이다. 예를 들어 [math(f : (x_1, x_2) \mapsto (3x_1, 5x_2))], [math(g : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 4x_2))]일 때, 2차원 벡터 [math((a, b)^T)]는 [math(g)]에 의해서 [math((2a, 4b)^T)]로 이동되고, 이것은 다시 [math(f)]에 의해서 [math((6a, 20b)^T)]로 이동되므로 [math(f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (6x_1, 20x_2))]이다. - 역변환
벡터 [math(V)]가 [math(f)]에 의해서 벡터 [math(V')]로 이동될 때, 벡터 [math(V')]는 그 역변환 [math(f^{-1})]에 의해서 벡터 [math(V)]로 이동된다. 예를 들어 [math(f : (x_1, x_2) \mapsto (2x_1, 5x_2))]에 의해 2차원 벡터 [math((a, b)^T)]는 [math((2a, 5b)^T)]로 이동되므로, [math(f^{-1})]에 의해 [math((2a, 5b)^T)]는 [math((a, b)^T)]로 이동된다. 따라서 [math(f^{-1})]는 [math(f\circ g : (x_1, x_2) \mapsto (\frac{1}{2}x_1, \frac{1}{5}x_2))]와 같다.
6. 선형변환에 의하여 옮겨지는 도형
[math(V=W=\mathbb{R}^{2})]일 때, 선형 변환에 의해 어떤 평면도형이 옮겨지는 평면도형의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있다.- 1. 원래 도형의 방정식에 따라, 해당 도형 위의 임의의 점의 좌표를 [math((g(x_0), h(x_0)))] 형태로 나타낸다.
- 원래 도형의 방정식이 [math(y=g(x_0))]이면 점의 좌표를 [math((x_0, g(x_0)))]과 같이 나타낼 수 있다.
- 2. 이 점을 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 x좌표와 y좌표를 나타낸 후 정리한다.
- 3. 2번에서 구한 x좌표와 y좌표의 관계식을 구하면 그것이 옮겨진 후의 평면도형의 방정식이다.
예를 들어 선형 변환 [math(f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right))]에 의해서 직선 [math(y=2x+1)]은 다음과 같이 옮겨진다.
- 1. 이 직선 위의 임의의 점을 [math((x_0, 2x_0+1))]로 나타낼 수 있다.
- 2. 이 점을 이 선형 변환을 통해 이동시킨 점의 좌표를 나타낸다. [math(f\left(x,y\right)=\left(x+2y,x-y\right))]에서 [math(x=x_0, y=2x_0+1)]이므로, 옮겨진 점의 x좌표는 [math(x_0+2(2x_0+1))], y좌표는 [math(x_0-(2x_0+1))]가 된다. 이것을 정리하면 x좌표는 [math(5x_0+2)], y좌표는 [math(-x_0-1)]가 된다.
- 3. 2번에서 구한 x좌표 [math(x=5x_0+2)]와 y좌표 [math(y=-x_0-1)]의 관계식을 구하면 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]이므로, 옮겨진 후의 도형의 방정식은 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]이다. 즉, 직선 [math(y=2x+1)]은 이 선형 변환에 의해 [math(y=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{5})]으로 옮겨진다.
7. 여러 가지 선형변환 및 그 행렬표현
해당 선형변환들에 대한 행렬 표현을 같이 다루므로 행렬표현 문서에 서술되어 있다.8. 활용
기대효용이론에서, 기대효용을 나타내는 효용함수의 서수성을 유지시키는 강단조증가변환은 [math(f(u)=au+b,\,(a\neq0))] 꼴의 선형 변환뿐이다.초등학교 수학에서 나오는 이른바 '동물 다리 세기' 문제는 본질적으로는 선형 변환이라고 볼 수 있다. 물론 교육 수준상 그대로 다루기는 무리이기 때문에 예상과 확인으로 푸는 방법을 사용한다.
단위 변환, 환율은 선형 변환의 대표적인 활용례이다.
[1] 행렬 표현으로부터 알 수 있겠지만 이 집합도 벡터공간이 된다.[2] 스칼라 [math(a)]배만큼 결과값 [math(f\left(u\right))]의 크기를 바꾸는 성질로 인해 영어로 Scaling이라고 하기도 한다.[3] 이 예는 스칼라체의 중요성을 보여준다.[4] 참고로 이런 꼴을 배반선형사상(Antilinear map)이라고 한다.[5] 핵과 상이 부분 공간임이라는 것은 쉽게 알 수 있다.[6] 영공간(nullspace)이라고도 한다. 그런데, 핵은 대수학에서 전반적으로 두루 쓰이는 용어인 반면, 영공간은 선형대수학에서만 한정적으로 쓰이는 경향이 있다.[7] 선형변환 의 상은 의 열공간과 같다.[8] 책에 따라서는 dimension theorem이라고 하기도 한다.[9] 물론 이 아바타는 기저에 따라서 바뀐다.