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1. 개요
Gauss' law고등학교 물리를 배우다가 일반물리학에서 전자기학을 배우게 되면 가장 먼저 하는 내용이다.
닫힌(closed) 가우스 면(Gaussian surface)[1]을 임의로 잡았을 때, 가우스 면을 통과하는 전기선속(electric flux) [math( \displaystyle Φ)]는 다음과 같이 주어진다.
[math( \displaystyle Φ \equiv \oiint{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \dfrac{ q_{\textrm{enc} } }{ \varepsilon_{0} } )]
여기서 [math( q_{\textrm{enc} })](혹은 [math(q_{\text{in}})])은 가우스 면 안(in)에 든 총 전하량이고, [math( \varepsilon_{0} )]은 진공에서의 유전율(permittivity)이다.
적분 내 항을 살펴보면, [math( \mathbf{E} )]은 전기장이고, [math( \mathrm{d} \mathbf{a} )]은 가우스 면에 수직하고 면적이 [math( \mathrm{d}a )]인 면적소 벡터이다. 면적소 벡터의 방향은 어떤 면적소의 영역에 수직하다.
즉, 가우스 면을 통과하는 전기선속은 가우스 면 안에 든 전하의 양에 비례한다는 것을 알 수 있다.
이 가우스 법칙은 꼭 전기장에서만 생각할 수 있는 것은 아니고, 자기장, 중력장 등에서도 생각할 수 있다.
2. 상세
가장 간단하고 쉬운 설명은 어떤 닫힌 공간에 있어서 그 공간의 총 전기선속(electric flux)에 영향을 주는 것은 공간 내부의 전하뿐이라는 것이다.[2] 프랑스의 과학자 쿨롱이 발견한 두 전하간의 상호작용하는 힘을 나타내는 식, 바로 쿨롱의 힘이 근본이 된다. 이 때 어떤 전하가 다른 전하에 주게 되는 힘을 단위 전하당 가해지게 되는 힘을 나타낸것이 전기장이다.[3] 이 전기장에 면적을 곱한 것[4]이 전기선속[5]이다. 이 때 한 공간에 폐곡면을 잡았을 때 그 폐곡면 내부에 있는 전하의 값에 유전율을 나눈 값이 폐곡면에 해당하는 총 전기선속 값이라는 것이다.[6]3. 증명
어떤 부피 영역 [math(V)]를 감싸는 폐곡면 [math(S)]를 고려하도록 하자. 또한 아래 그림과 같이 [math(S)] 내부에 미소 전하 [math(\mathrm{d}q)]가 있다고 해보자.이제 우리는 이 미소 전하들의 합에 의한 [math(S)] 위의 전기력 선속 [math(\mathrmΦ)]를 구하고자 한다. 구하는 전기력 선속은
[math(\displaystyle \mathrmΦ=\oiint_{S}\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a} )]
[math(\mathbf{E})]는 미소 전하에 의한 [math(S)] 위의 미소 넓이 영역 [math(\mathrm{d}a)] 위에서의 전기장임에 유의한다. 이때, 전기장 문서의 내용과 분리 벡터 [math(\boldsymbol{\xi} \equiv \mathbf{r-r'})]의 표현을 빌리면,
[math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi}} }{\xi^{2}} )]
이고, [math(\mathrm{d}q)]는 [math(S)]에 대한 적분[7]과 무관하므로,
[math(\displaystyle \mathrm{d}Φ=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}} )]
으로 쓸 수 있다. 그런데, 적분항은 입체각 문서를 참고하면, 결국 미소 전하의 위치를 기준으로 구한 폐곡면 [math(S)]의 입체각이다. 그런데 해당 기준점은 폐곡면 내부에 있으므로 적분의 값은 [math(4 \pi)]가 된다. 따라서
[math(\displaystyle \mathrm{d}Φ=\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} )]
따라서 총 전하에 대한 선속은
[math(\displaystyle Φ=\iiint_{V} \frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}} )]
이 된다. 미소 전하가 폐곡면 내에 있는 경우에 대해서만 논의하기 때문에 [math(\mathrm{d}q)]를 [math(V)]에 대한 적분을 하면, [math(S)]안에 든 전하량 [math(q_{\text{enc}})]로 나옴에 유의해야 한다.
그렇다면, 아래의 그림과 같이 미소 전하가 폐곡면 [math(S)] 외부에 있으면 어떻게 될까?
이 경우에도
[math(\displaystyle \mathrm{d}Φ=\frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{ \hat{\boldsymbol{\xi} } \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a} }{\xi^{2}} )]
가 될 것이다. 그러나, 적분 항은 위에서도 언급했듯, 결국 미소 전하의 위치를 기준으로 구한 폐곡면 [math(S)]의 입체각이었으며, 기준점이 폐곡면 외부에 있기 때문에 이 폐곡면에 대한 입체각은 0이다.[8] 따라서 폐곡면 외부에 미소 전하는 선속에 기여하지 못하게 된다는 것을 알 수 있다.
이에 따라 가우스 법칙은 아래와 같은 결론을 주게 되고,
[math(\displaystyle Φ=\oiint_{S}\mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{q_{\text{enc} }}{\varepsilon_{0}} )]
이 선속 자체는 위 결과에 따라 [math(S)] 안에 든 전하들에 의해서만 기여되므로 [math(q_{\text{enc}})]는 [math(S)] 안에 든 전하량이어야 함을 얻는다.
3.1. 미분형
계속해서 가우스 법칙의 미분형을 유도하자. 발산 정리에 의해[math( \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} )]
로 바꿀 수 있고,
[math( \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{ a } } =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \oiint_{S}{\frac{\hat{\boldsymbol{\xi}} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d}\mathbf{a}}
\xi} }^{2 \iiint_{V}{\,\mathrm{d}q} )] 에서 [math( S )]에 대한 적분은 폐곡면 내부에 대한 입체각 적분이어서 그 값은 [math( 4\pi )]로 주어지므로
[math( \displaystyle \oiint_{S}{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{ a } } = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} )]
이 된다. 따라서 결과를 종합하면,
[math( \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\mathrm{d}q}{\varepsilon_{0}} )]
전하밀도(charge density) [math( \rho \equiv \mathrm{d}q/\mathrm{d}V )]를 도입하면,
[math( \displaystyle \mathrm{d}q = \rho \, \mathrm{d}V )]
로 바꿀 수 있고, 적분에 대입하면,
[math( \displaystyle \iiint_{V}{(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E})\,\mathrm{d}V} = \iiint_{V}\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,\mathrm{d}V )]
이상에서
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0} )]
를 얻을 수 있다. 이 결과를 물리적으로 해석해보면, 전기장의 원천은 전하임을 알 수 있다. 가우스 법칙은 맥스웰 방정식의 첫 번째 식이며, 자세한 사항은 맥스웰 방정식을 참고하기 바란다.
4. 대표 예제
5. 물질에서의 가우스 법칙
6. 관련 문서
[1] 전자기학에서 폐곡면(closed surface)을 달리 이르는 말이다. 폐곡면이란 '내부 공간과 외부 공간을 분리하며, 이 표면을 지나지 않고는 한 공간에서 다른 공간으로 이동할 수 없게 하는 표면'을 뜻한다.[2] 물론 총 전기선속이 0이라 해서 그 공간의 전기장이 0인 것은 아니다. 전기 쌍극자만 봐도 알 수 있는 것[3] 이것을 설명하는 이론이 바로 장 이론. 전자기학에서는 원천전하로부터 전기장이 발생해 이 전기장이 다른 전하에 힘을 주게 된다는 것이다. 쿨롱의 힘에서 힘이 가해지는 전하의 전하를 나누고 식을 봤을 때 거리 제곱의 역수에 비례하는 것으로 직관적으로 알 수 있다. 자세한 것은 전기장 참고[4] 정확히 말하면 면적벡터에 내적한 것[5] 전기장을 미소면적에 대해 내적한 값이 미소 전기선속이므로 이것을 적분한 값이 전확인 그 면적에 해당하는 전기선속 값이다.[6] 물론 진공 속이 아닌 경우 유도전하가 생기므로 두 개의 경우로 나타낼 수 있게 된다.[7] 왜냐하면, [math(S)]에 대한 적분은 [math(\mathbf{r})]에 대한 적분이고, [math(\mathrm{d}q)]는 [math(\mathbf{r'})]에 대한 적분이기 때문이다.[8] 설명이 필요하다면, 입체각 문서를 보라.