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1. 개요
Lorentz force전하량을 가진 물체가 전자기장 내에서 받는 힘.
1892년, 헨드릭 A. 로런츠(Hendrik Antoon Lorentz; 1853~1928)가 유도하였다.
2. 상세
2.1. 전기장 영역에 대한 로런츠 힘
전기장 영역에 전하가 있는 입자는 전기력에 의해 힘을 받게 되며, 아래와 같이 주어진다.[math( \mathbf{F}=q\mathbf{E})]
여기서 [math( q )]는 전하량, [math( \mathbf{E} )]는 전기장이다.
만약, 전하가 연속적으로 분포하는 계가 전기장 영역에 있는 경우에서는 전하 밀도 [math( \rho \equiv {\rm d}q/{\rm d}V )]를 도입하여,
[math(\displaystyle \mathbf{F}= \iiint \rho \mathbf{E} \,{\rm d}V)]
로도 쓸 수 있다.
2.2. 자기장 영역에 대한 로런츠 힘
자기장 영역에 전하가 있는 입자가 운동할 때, 입자는 힘을 받게 되는데, 아래와 같이 주어진다.[math( \mathbf{F}=q\mathbf{v} \times \mathbf{B} )]
여기서 [math( q )]는 전하량, [math( \mathbf{v} )]는 입자의 속도, [math( \mathbf{B} )]는 자기장이다.
연속적인 전하 분포를 가진 계에서 전하밀도 [math( \rho={\rm d}q/{\rm d}V )]와 [math( \mathbf{v} )]의 곱 [math( \rho \mathbf{v} )]은 전류밀도 [math( \mathbf{J} )]이므로 로런츠 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math( \displaystyle \mathbf{F}=\iiint\, (\mathbf{J} \times \mathbf{B})\,{\rm d}V )]
전류가 흐르는 도선은 곧 전하의 흐름이 지속되는 관이라 볼 수 있고, 이것이 자기장 영역 안에 놓여있다면, 관을 통과하는 전하들은 힘을 받는다. 관을 통과하는 전하는 근사적으로 선형 전류로 취급할 수 있어[1], 일정한 전류 [math( I )]가 흐르는 도선이 받는 힘은
[math(\displaystyle \mathbf{F}=\iiint\, (\mathbf{J} \times \mathbf{B})\,{\rm d}V \approx \int\, I\, {\rm d}\mathbf{l} \times \mathbf{B} )]
여기서 [math( {\rm d}\mathbf{l} )]은 전류의 미소 변위 벡터이다. 쉽게 말하면 전류가 통과하는 미소 길이를 벡터로 나타냈다고 생각하면 된다.
가장 제한적인 형태로 도선의 길이가 [math( l )]이고, 자기장과 전류가 수직한 방향으로 지난다면, 로런츠 힘의 크기는
[math(\displaystyle F=BIl )]
로 익숙한 형태가 된다. 방향은 아래를 참고한다. 흔히 말하는 플레밍의 왼손 법칙이다.
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2.3. 일반적인 로런츠 힘
위에서 논의한 로런츠 힘은 전기장 혹은 자기장이 단일로 존재할 경우이지만, 실제 상황에서는 둘 다 존재할 수 있다. 따라서 일반적으로 로런츠 힘은 전기장 [math( \mathbf{E} )]에 의한 가속력 [math( q\mathbf{E} )]을 더한 것까지 쳐준다.[math( \mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) )]
또한, 다르게 쓰면,
[math( \displaystyle \mathbf{F}= \iiint\, (\rho \mathbf{E}+\mathbf{J} \times \mathbf{B})\,{\rm d}V)]
로 쓸 수 있다. [math( \rho,\,\mathbf{E},\,\,\mathbf{B},\,\,\mathbf{J} )]는 각각 전하 밀도, 전기장, 자기장, 전류 밀도이다.
참고적으로 CGS 단위계에서 로런츠 힘은 다음과 같다. [math(c)]는 광속이다.
[math( \displaystyle \mathbf{F}=q\biggl(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\biggr) )]
2.3.1. 퍼텐셜 형태
전기장 [math(\mathbf{E})]과 자기장 [math(\mathbf{B})]는 아래와 같은 퍼텐셜 형태로 쓸 수 있다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\boldsymbol{\nabla}\Phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \\ \mathbf{B}&=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \end{aligned})]
이때, [math(\Phi)], [math(\mathbf{A})]는 각각 전기 퍼텐셜과 자기 퍼텐셜이다. 이것을 적용하여 로런츠 힘을 퍼텐셜 형태로 쓰면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}&=q( \mathbf{E}+ \mathbf{v} \times \mathbf{B} ) \\&=-q\boldsymbol{\nabla}\Phi-q\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+q\mathbf{v}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) \end{aligned})]
벡터 항등식을 사용하여 우변의 제3항은
[math(\displaystyle q\mathbf{v}\times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A})=q\boldsymbol{\nabla} (\mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A})-q(\mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{A} )]
한편,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{d \mathbf{A}}{dt}&=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\sum_{i} v_{i} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{i}} \\&=\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+(\mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla})\mathbf{A} \end{aligned} )]
이므로 로런츠 힘은 아래와 같이 써질 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{F}&=-\boldsymbol{\nabla}(q\Phi-q \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A})-\frac{d (q\mathbf{A})}{dt} \\&=-\boldsymbol{\nabla}(q\Phi-q \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A})+\frac{d }{dt} \boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{v}}(q\Phi-q \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) \end{aligned})]
[math(\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{v}})]는 속도에 관하여 미분 연산하라는 것이다. 즉,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{v}}= \sum_{i} \frac{\partial}{\partial v_{i}} \mathbf{\hat{x}}_{i} = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial \dot{x}_{i}} \mathbf{\hat{x}}_{i} )]
마지막 식의 제 2항은 수학적 요구에 의해 변형된 것으로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{v}}(q\Phi-q \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) &=q\sum_{i}\frac{\partial }{\partial v_{i}} v_{i}A_{i} \mathbf{\hat{x}}_{i} \\&=q \sum_{i} A_{i} \mathbf{\hat{x}}_{i} \\&=q\mathbf{A} \end{aligned})]
이다. [math(\Phi)]는 속도에 의존하지 않으므로 속도에 대한 미분은 0이다.
2.3.2. 라그랑지언과 해밀토니언
이 문단에서는 대전된 전하가 전자기장 내부에 있을 때, 라그랑지언과 해밀토니언을 구해보도록 하자.일반적으로 속도에 의존하는 퍼텐셜 [math(U)]와 일반화힘 [math(\mathbf{Q})]에 대하여
[math(\displaystyle \mathbf{Q}=-\boldsymbol{\nabla} U +\frac{d}{dt}\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{v}} U )]
로 쓸 수 있음에 따라 퍼텐셜은 [math(U=q(\Phi- \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) )]로 쓸 수 있고, 이에 따라 라그랑지언은 아래와 같이 쓸 수 있다. 이때, [math(T)]는 운동 에너지이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L}&=T-U \\&=\frac{1}{2}mv^{2}-q(\Phi- \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) \end{aligned} )]
라그랑지언과 해밀토니언은 르장드르 변환으로 연결돼있다. 운동량을 [math(\mathbf{p})]라 하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \mathcal{H}=\mathbf{p} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}-\mathscr{L} )]
이때, 운동량
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{p}&=\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{v}} \mathscr{L} \\&=m\mathbf{v}+q\mathbf{A} \end{aligned})]
으로 결정할 수 있음에 따라 해밀토니언은 아래와 같이 쓸 수 있다.[2]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}&=mv^{2}+q \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} - \left[ \frac{1}{2}mv^{2}-q(\Phi- \mathbf{v} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) \right] \\&=\frac{1}{2m} (\mathbf{p}-q \mathbf{A})^{2}+q \Phi \end{aligned})]
위의 결과는 국제단위계에서 유도된 것이고, CGS 단위계에서는 다음과 같이 표현된다. [math(c)]는 광속이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathscr{L}&=\frac{1}{2}mv^{2}-q \left(\Phi- \frac{\mathbf{v}}{c} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} \right) \\\mathcal{H}&=\frac{1}{2m} \left(\mathbf{p}-\frac{q}{c} \mathbf{A} \right)^{2}+q \Phi \end{aligned})]
이 결과는 두 가지의 생각할 점을 주는데, 라그랑지언은 본래 퍼텐셜이 속도에 의존하면 단순히 운동 에너지에서 퍼텐셜 에너지의 차로 정의해도 오일러-라그랑주 방정식이 훼손되는데 이 경우는 그렇지 않다는 점이 그 하나이고, 두 번째는 해밀토니언이 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 주어지지 않는 점이다. 이는 계 자체는 스클로노믹하나 퍼텐셜이 속도에 의존하기 때문이다. 즉, 해밀토니언이 꼭 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지와 항상 같다고 생각하면 위험함을 암시하고 있다. 자세한 내용은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학 문서를 참조한다.
2.4. 상대론적 로런츠 힘
상대론적 로런츠 힘은 전자기장 텐서 [math(F^{\mu \nu})]의 도입으로 정의되는데,[math(\displaystyle \begin{aligned} K^{\mu}=q u_{\nu} F^{\mu\nu} \end{aligned} )]
여기서 [math(u_{\nu})]는 고유 속도로,
[math(\displaystyle \begin{aligned} u_{\nu}=\frac{{\rm d} x_{\nu}}{{\rm d}\tau} \end{aligned} )]
으로 정의된다. [math(\tau)]는 고유 시간이다.
여기서 상대론적 힘 [math(\mathbb{K})]의 공간 성분은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{K}=\gamma q (\mathbf{E}+\mathbf{u} \times \mathbf{B}) \end{aligned} )]
로 나오게 된다. 이때, 상대론적 힘과 일반 힘의 관계는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{K}=\gamma \mathbf{F} \end{aligned} )]
로, 위의 정의된 상대론적 로런츠 힘을 사용하면 고전적으로 알려진 로런츠 힘으로 환원된다는 사실을 알 수 있다.
3. 대표 예제
3.1. 속도 선택기
속도 선택기(Velocity selector)는 일정한 전기장과 자기장을 직교하게 걸어서 전하를 띠는 입자의 속도를 재는 기구이며, 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다.파일:로런츠 힘_1_수정_1.png
그림과 같이 서로 직교하면서 균일한 전기장 [math( \mathbf{E} )]와 자기장 [math( \mathbf{B} )]를 걸어준 영역에 수직으로 [math( \mathbf{v} )]의 속도로 입사하는 질량과 전하량이 각각 [math( m )], [math( q )]인 입자를 고려하자.[3]
입자는 전하를 띠고, 전기장과 자기장 모두 있는 영역에 입사하므로 아래와 같은 로런츠 힘을 받는다.
[math(\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) )]
그런데, 입자가 등속도 운동했다면, 입자에 가해지는 알짜힘은 [math( 0 )]이 돼야 하므로
[math(q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})=0)]
을 만족해야 한다. 위 그림에서 두 힘은 작용 방향만 반대인 것을 알 수 있으므로 벡터 대신 스칼라로 적어도 무관하다.
[math(qvB=qE)]
따라서 입자의 속력은
[math(\displaystyle v=\frac{E}{B})]
로 정리된다.
위의 논의는 다음을 얻는다.
- [math( v={E}/{B} )]를 만족하지 않는다면, 입자는 선택기 내부에서 등속도 운동하지 않는다. 즉, 입자의 운동 경로는 더 이상 직선이 아니고, 휜 경로를 갖는다.
- 전기장과 자기장의 세기만 조절하면 원하는 속도를 가진 입자만 골라내거나, 원하는 속도로 입자가 방출되게끔 할 수 있다.
여담으로, 2017학년도 대학수학능력시험 중 "물리 II"과목에서 문제 오류가 발생했던 주제이기도 하다. 자세한 것은 이곳을 참조하기 바란다.
3.2. 질량 분석기
질량 분석기는 일정한 자기장 영역에 전하를 띤 입자를 자기장에 수직으로 입사시켜, 입자의 원운동 반지름으로 입자의 질량을 추적하는 장치이다. 간략하게 나타내면 아래의 그림과 같이 생겼다.위 그림과 같이 균일한 자기장 [math( \mathbf{B} )]가 형성된 영역에 수직으로 [math( \mathbf{v} )]의 속도로 입사된 질량과 전하량이 각각 [math( m)], [math( q )]인 입자를 고려하자.
이때, 입자는 전하를 띄고, 이것이 자기장 영역에 입사됨에 따라 로런츠 힘
[math(\mathbf{F}=q\mathbf{v} \times \mathbf{B})]
를 받는다.
따라서 입자가 받는 힘은 움직이는 방향의 항상 수직이 되므로 입자는 자기장 영역 내에서 반지름 [math( r )]인 원운동하게 된다. 이때, 입자가 받는 구심력은 곧 로런츠 힘이고, 자기장과 속도 벡터가 수직이므로 이것을 스칼라로 써도 무방하므로
[math(\displaystyle qvB=\frac{mv^{2}}{r})]
를 얻는다.
이상에서 입자의 원운동 반지름은
[math(\displaystyle r=\frac{mv}{qB})]
가 된다.
따라서, [math( B,\,q,\,v )] 모두 같은 조건에서는 원운동 반지름은 질량에 비례한다는 것을 알 수 있다. 따라서 동위원소의 경우 중성자의 개수만 달라 전하량은 같지만, 질량만 다르게 된다. 따라서 이 질량 분석기를 써써 같은 속도로 자기장 영역에 입사시킨다면, 질량에 따라 다른 반지름을 가지고 원운동하므로 동위원소의 질량을 추적하고, 구분할 수 있다.
또한, 질량 분석기의 경우 아래의 그림과 같이 위 문단에서 논의된 속도 분석기와 같이 해서 쓰는데, 그 이유는 입사 속도를 같게 해줘야 하기 때문이다.
화학에서도 이온의 질량 분석을 위해 이 원리를 사용한다.
해당 링크에서 속도 선택기와 질량 분석기가 붙어있는 경우에 대해 시뮬레이션 할 수 있다.
더 나아가, 같은 조건에서 같은 입자를 다른 속도로 질량 분석기에 입사시킨다면, 그 속도를 알아낼 수 있다. 위에서 구한 식에서 [math( v )]에 대하여 정리해주면,
[math(\displaystyle v=\frac{qBr}{m}\propto r)]
즉, 원운동 반지름에 비례한다는 것을 알 수 있다.
3.3. 자기장 영역에 입사한 대전 입자의 운동
[math(\mathbf{B}=B \mathbf{\hat{y}})]
위와 같은 자기장 영역에 다음의 속도로 입사한 질량과 전하량이 각각 [math( m)], [math(q )]인 입자를 고려하자.
[math(\mathbf{v}=\dot{x} \mathbf{\hat{x}}+\dot{y} \mathbf{\hat{y}}+\dot{z} \mathbf{\hat{z}})]
이때, 입자가 받는 로런츠 힘은
[math( q \mathbf{v} \times \mathbf{B} =q \begin{vmatrix}\,\mathbf{\hat{x}} &\mathbf{\hat{y}} &\mathbf{\hat{z}}\, \\ \,\dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\,\\\,0 & B &0\, \end{vmatrix}=qB(\dot{x}\mathbf{\hat{z}}-\dot{z}\mathbf{\hat{x}}) )]
따라서, 입자의 질량을 [math( m )]이라 놓으면, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \ddot{x}=-\frac{qB}{m}\dot{z},\,\,\ddot{y}=0,\,\, \ddot{z}=\frac{qB}{m}\dot{x})]
이상에서 위의 운동 방정식을 풀면, 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x-x_{0}&=c_{1}\sin{\frac{qB}{m}t}+c_{2}\cos{\frac{qB}{m}t} \\ y-y_{0}&=c_{3}t \\ z-z_{0}&=c_{1}\sin{\frac{qB}{m}t}-c_{2}\cos{\frac{qB}{m}t} \end{aligned})]
초기조건으로 다음을 설정하면[4],
[math(\displaystyle \dot{x}(0)=0,\,\,\dot{y}(0)=v_{y},\,\,\dot{z}(0)=v_{z})]
쉽게 상수는 결정됨에 따라
[math(\displaystyle \begin{aligned} x-x_{0}&=\frac{mv_{z}}{qB}\cos{\frac{qB}{m}t} \\ y-y_{0}&=v_{y}t \\ z-z_{0}&=\frac{mv_{z}}{qB}\sin{\frac{qB}{m}}t \end{aligned} )]
이 된다.
식을 분석해보면, 입자는 [math( xz )]평면에서 반지름 [math( R=mv_{z}/Bq )]로 원운동함과 동시에 [math( y )]축 방향으로는 [math( v_{y} )]의 속력으로 등속 운동한다. 따라서 입자는 아래와 같이 나선 궤도를 그리며 운동하게 된다.
입자의 속력은 시간에 따라 변하지 않는다. 이것은 로런츠 힘이 입자의 운동 방향에 수직으로 작용한다는 것에서 자기장이 물체에게 하는 일이 없다는 것과 연결된다.
또, 입자의 [math( y )]축 속력이 없이 입사되었다면, 즉, 자기장에 대해 수직이게 [math( v_{z}=v )]의 속력으로 입자가 입사되었다면, 입자는 원운동한다는 것을 알 수 있고, 원운동 반지름 [math( R )]과 진동수 [math( f )]는 다음과 같다.
[math( \displaystyle R=\frac{mv}{qB}\qquad \qquad f=\frac{1}{2\pi}\frac{qB}{m} )]
이 중 반지름은 윗 문단의 질량 분석기에서 논의했던 것과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.
3.3.1. 양자역학에서
위와 같은 문제 상황을 양자역학적으로 다뤄보자. 양자역학에서는 자기장을 다루기 위해 자기 퍼텐셜의 도입이 필수적이다. 그러나 불행히도 해당 자기 퍼텐셜은 유일하게 결정되지는 않는다. 따라서 가장 간단한 형태인 다음을 고려하자.[math( \displaystyle \mathbf{A}=zB \mathbf{e}_{x} )]
단위 벡터와 연산자 표기의 혼동을 막기 위해 이 문단에서만 단위 벡터를 [math(\mathbf{e}_{x})] 형식으로 표기했다. 이 경우 [math(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}=B \mathbf{e}_{y})]으로 환원된다.
자기장 영역 내 슈뢰딩거 방정식은 아래와 같이 주어진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathcal{H}\psi= \frac{p^2}{2m} \psi+\frac{i \hbar q}{m} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\nabla}\psi)+\frac{q^2 A^2}{2m} \psi =E\psi \end{aligned})]
자세한 유도는 이곳을 참조한다. 위의 자기 퍼텐셜을 대입하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{p^2}{2m} \psi+\frac{i \hbar qBz}{m} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\frac{q^2 A^2}{2m} \psi =E\psi \end{aligned})]
이는 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2m}(p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2) \psi-\frac{ qBz}{m} p_{x}\psi+\frac{q^2 A^2}{2m} \psi =E\psi \end{aligned})]
다음은 쉽게 보일 수 있는 교환자 관계이다.[5]
[math(\displaystyle \begin{aligned} [\mathcal{H},\,p_{y}]=[\mathcal{H},\,p_{x}]=0 \end{aligned})]
이것은 곧 [math(\{ \mathcal{H},\,p_{x},\,p_{y}\})]가 서로 같은 고유함수를 공유함을 나타낸다. 따라서 위의 해를
[math(\displaystyle \begin{aligned} \psi(\mathbf{r})=e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}f(z) \end{aligned})]
로 쓸 수 있다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}z^2}+\biggl[\frac{q^2 B^2}{2m}z^2-\frac{\hbar k_{x}}{m}qBz+\frac{\hbar^2k_{x}^2}{2m} \biggr]f & =\biggl[E -\frac{\hbar^2 k_{y}^{2}}{2m} \biggr]f \\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}z^2}+\frac{q^2 B^2}{2m}\biggl[z^2-\frac{2\hbar k_{x}}{qB}z+\frac{ \hbar^2 k_{x}^2 }{q^2 B^2} \biggr]f&=\tilde{E}f \\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}z^2}+\frac{q^2 B^2}{2m}\biggl(z-\frac{\hbar k_{x}}{qB} \biggr)^2 f & =\tilde{E}f \\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}z^2}+\frac{m}{2}\frac{q^2 B^2}{m^2} \tilde{z}^2 f & =\tilde{E}f \\ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}\tilde{z}^2}+\frac{1}{2}m\omega^2 \tilde{z}^2 f & =\tilde{E}f \qquad \biggl( \omega \equiv \frac{qB}{m} \biggr)\end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} f(\tilde{z})=\varphi_{n}(z-z_{0}) \qquad \biggl(z_{0} \equiv \frac{\hbar k_{x}}{m \omega} \biggr) \end{aligned})]
[math(\varphi_{n})]은 양자 조화 진동자의 [math(n)]번째 고유함수(단, [math(n \geq 0)]의 정수)이다.
이상에서 자기장 영역 내 입자가 가질 수 있는 에너지는 다음과 같이 구해진다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} E_{n}=\hbar \omega \biggl( n+\frac{1}{2}\biggr)+\frac{p_{z}^2}{2m} \end{aligned})]
이처럼 자기장 영역 내에서도 입자의 (진동) 에너지는 양자화가 되는데 이러한 에너지를 란다우 준위(Landau level)라 한다. 고유함수는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \psi=e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}\varphi_{n}(z-z_{0}) \end{aligned})]
4. 응용
- 레일건: 해당 문서에서는 도체 탄자를 이용한 경우를 다루었는데, 소형 레일건 (일명 사제 레일건) 등이나, 어떤 종류의 레일건은 중간의 연결 도선을 높은 전류로 순간적으로 증발시키면서 비금속 탄자를 가속시킨다고 한다.
전류가 흐르는 도선에 자기장을 수직으로 건다. 이 때 로런츠 힘에 의해, 전하 운반체를 전자로 가정할 때와 전하 운반체를 양성자(원자핵)으로 가정할 때의 힘의 방향이 결국 같아진다. 그런데 전위차는 한 방향으로만 생긴다. 이 전위차에 의해 전자가 전하 운반체임을 증명할 수 있다.
자기 항아리 에서도 이 원리가 쓰인다. KSTAR 와 같은 플라즈마를 가두는 장치에서 반드시 필요한 개념이다. 이 경우, 적절한 세기의 강한 자기장을 걸면 어떤 입자건 무조건 특정 궤도로부터 일정 거리 이상 떨어지지 않도록 할 수 있다는 원리가 이용된다. 로런츠 힘 중 자기장에 의한 성분이 운동 방향에 수직임을 이용한 것이다.
그 외 전자기학의 거의 모든 분야에서 사용되는 힘이라고 할 수 있다.
5. 관련 문서
[1] 이것의 증명은 학부 전자기학 수준이므로 증명은 하지 않는다.[2] 해밀토니언이 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합으로 주어지는 것은 퍼텐셜이 속도에 의존하지 않을 때이기 때문에 이 경우에는 그러한 간단한 방법으로 구해선 안되고, 라그랑지언을 르장드르 변환하여 구하여야 한다는 점에 유의하여야 한다.[3] 문제를 간단히 하기 위해서 중력은 고려하지 않았다.[4] 여기서 자기장에 대해 비스듬하게 입사되었음을 알 수 있다.[5] 서로 다른 축에 대한 운동량 연산자는 교환한다, 운동량 연산자와 그 멱수는 교환한다, 위치 연산자와 운동량 연산자는 정준 교환 관계를 만족시킨다. 이 세 가지를 이용하면 된다.