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1. 개요
사칙연산(四則演算)이란, 산수의 기본이 되는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 4가지 연산을 일컫는다. 사칙계산이라고도 한다.뺄셈과 나눗셈을 빼고 그 자리에 지수와 괄호(또는 등호)를 넣기도 한다. 뺄셈은 음수의 덧셈, 나눗셈은 음수지수가 포함된 곱셈이기 때문([math( a - b = a + (-b) , a \div b = {a \over b} = a {1 \over b} = ab^{-1} )]).
벡터나 텐서 등에서는 곱셈이 여러 개다(상수배([math(c)])[1], 스칼라곱(·)[2], 벡터곱(×)[3], 텐서곱(⊗), 쐐기곱(∧) 등). 논리 연산은 논리곱(AND; ∧), 배타적 논리곱(NAND;↑) 등이 있다.
예전 표현으로 가감승제(加減乘除)라는 말이 있다. 한자 그대로 더하고, 빼고, 곱하고, (제하여) 나눈다는 뜻을 지니고 있다. 여기에는 지수, 괄호, 등호가 들어가지 않는다.
5학년 때 자연수의 사칙연산[4], 6학년 때 자연수ㆍ분수ㆍ소수의 사칙연산, 중학교 올라가면 거듭제곱ㆍ정수ㆍ유리수가 섞여 있는 사칙연산, 일차식ㆍ이차식의 사칙연산을 배운다.
영어로는 elementary arithmetic이라고 하며, 중국에서는 사칙운산(四则运算)/가감승제(加减乘除)라고 한다.
복소수, 실수, 유리수 집합은 사칙 연산에 대해 닫혀 있다. 물론 0으로 나누는 것은 제외한다.
사칙연산 중 덧셈과 곱셈은 가환연산이고(2+3 = 3+2, 2×3 = 3×2), 뺄셈과 나눗셈은 비가환연산이다(2-3 ≠ 3-2, 2÷3 ≠ 3÷2).
2. 계산 방법 (우선순위)
사칙연산에는 몇 가지 법칙과 우선순위가 존재한다.1. 괄호 안을 먼저 계산한다. 단, 괄호 안의 괄호가 반복된다면 가장 안쪽 괄호부터 계산한다. 괄호 안의 계산을 완료하면, 다음 단계 괄호(바로 바깥 괄호) 안 또는 괄호 밖 계산을 우선순위 적용을 반복하면서 계산한다.(따라서 가장 안쪽 괄호 계산을 완료하면 다시 우선순위 1부터 시작한다.[5][6])
2. 지수를 다음으로 계산한다. (단 지수 연산이 곤란하다면[7] 무시할 수 있음)[8][9]
3. 곱셈과 나눗셈을 계산한다(단, 0으로는 나눌 수 없다).
4. 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 계산한다.[10]예:10+7x2는 34가 아니라 24이다.
5. 만약 함수가 있다면, 덧셈과 뺄셈을 마치고 계산한다.
6. 만약 동순위 연산이 2개 이상이면, 계산은 왼쪽에서 오른쪽 순서대로 한다.[11]
예를 들어서 2+2×2의 답은, 6이 정답이다. 8이 아니다.2. 지수를 다음으로 계산한다. (단 지수 연산이 곤란하다면[7] 무시할 수 있음)[8][9]
3. 곱셈과 나눗셈을 계산한다(단, 0으로는 나눌 수 없다).
4. 마지막으로 덧셈과 뺄셈을 계산한다.[10]예:10+7x2는 34가 아니라 24이다.
5. 만약 함수가 있다면, 덧셈과 뺄셈을 마치고 계산한다.
6. 만약 동순위 연산이 2개 이상이면, 계산은 왼쪽에서 오른쪽 순서대로 한다.[11]
영미권에서는 위의 우선순위가 BIMDAS, BOMDAS, BEMDAS, PEMDAS[12] 등등의 다양한 약자로 알려져 있는데, 단어 선정에 따라 약자가 달라진다. 일단은 괄호, 지수, 곱/나눗셈, 덧/뺄셈의 약자인데...[13]
일반용 계산기는 수식을 넣으면 순서대로 계산하므로[일반용] 이런 문제가 없으나 공학용 계산기는 무조건 계산의 우선순위를 적용하므로 답이 달라질 수 있다.[공학용] 공학용 계산기용 계산의 우선순위는 10단계가 넘어가므로 그냥 계산기 설명서를 보자.[16]
3. 우선 순위의 이유
왜 곱셈과 나눗셈을 먼저 하냐면, 그렇게 정했기 때문이다.이러한 연산 규칙은 프로그래밍 언어에도 그대로 적용이 된다. 다만 언어에 따라 다소의 차이점이 있기는 하다. (주로 지수 표현, 무리수 및 허수 표현 등)
함수는 특성상 가장 마지막에 계산된다. 함수의 정의역을 받는 괄호는 위에서 얘기한 괄호와 우선순위가 똑같기 때문.
혼합 계산 문서도 참고하면 좋다.
3.1. 중위 표기법
수식을 표현하는 방법에는 여러 방법이 있는데, 일반적으로 우리가 사용하는 방법은 '중위 표기법(infix notation)'이라고 한다.중위 표기법이란, 수식을
| [math(1+2\times 3)] |
| [math(+ 1 \times 2~ 3)] |
| [math(1 ~2~ 3 \times +)] |
전위 표기법과 후위 표기법은 연산의 우선순위를 수식의 순서에 따라 표현할 수 있다.는 장점이 있는데 그 대신, 아주 심각한 문제가 하나 있다. 띄어쓰기를 제대로 안하면 수식이 구분이 안된다. 예를 들어 12+3 을 전위 표기법으로 하면 + 12 3 가 되는데, 띄어쓰기를 잘못하면 +123 이 되고 이는 12+3 과 1+23 을 구분할 수 없게 된다. 띄어 쓰기를 정확하게 해주든가, 구분을 위한 구분자를 써서 +12,3 등의 방법으로 써야 한다.
하지만, 중위 표기법은 연산의 우선순위를 표현하는 것은 불가능하다. 오랫동안 중위 표기법을 써 와서 그래왔는지, 아니면 인간이 보기에 그런지는 몰라도[17] 중위 표기법이 사람이 보기에 편하므로[18], 우선순위를 표현할 수 있는 전위와 후위 표기법 대신 중위 표기법을 사용하고 있다.
중위 표기법은 표기 자체만으로는 우선순위를 지정할 수 없다. 우선순위를 지정하기 위해서는 괄호나 괄선[19]을 써야 한다.
따라서 특정 연산에 우선순위를 부여하고, 괄호로 순서를 명확하게 하는 방법으로 발전할 수 밖에 없었던 것이고, 그 이후에 여러가지 이후로 많은 수학자들의 합의를 거쳐 곱셈과 나눗셈이 자연스레 덧셈과 뺄셈보다 우선순위가 높아진 것이다.
3.2. 분배법칙
곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 우선순위가 높은 데에는 분배법칙의 성립 때문이기도 하다. 애초에 곱셈이 덧셈의 반복으로 정의되어 덧셈의 상위 연산으로 취급받는 것도 있지만, 이 분배법칙을 편리하게 표현하기에는 곱셈끼리의 연결이 덧셈보다 차원이 높게 만드는 것이 자연스럽기 때문이다.보통 [math(a \times (b+c)=a \times b+a \times c)][20] 혹은 [math((b+c) \times a=b \times a+c \times a)][21]와 같은 분배법칙을 다룰 때에, 덧셈에만 괄호를 붙이는 것이 훨씬 이해하는 측면에서 좋으며, 곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈보다 우선인 이유를 이해하기 쉬워진다.
쉽게 말해, 만약 덧셈과 곱셈의 우선순위 차이 없이 왼쪽부터만 계산하기로 되어있다면, 분배법칙 역시 이상한 방식으로 괄호가 쓰여질 것이다. [math(a \times (b+c)=a \times b+(a \times c))]과 [math(b+c \times a=b \times a+(c \times a))]과 같이 괄호에 있어서 일관성이 떨어지며, 우리가 생각하는 "항"의 개념이 덧셈을 기준으로 기술할 수 없게 되고, 곱셈을 우선하여 생략하거나 나눗셈을 분수로 표현하는 것에 직관성이 떨어지게 된다.
[math(\displaystyle {1+2 \over 3} = {1 \over 3} + {2 \over 3})]와 같은 나눗셈의 우분배법칙[22]에서도, 분수 계산을 나눗셈 계산으로 바꾸더라도 전혀 어색하지 않게 된다. 좌분배법칙은 나눗셈에 대해서는 성립하지 않으므로 여기서는 논외로 친다.
참고로, 곱셈과 덧셈 연산을 반대로 적용하여 분배법칙을 적용시키는 경우 성립하지 않기에, 곱하기를 통해 이루어진 것은 하나의 항으로 합성되며, 덧셈으로 항들을 연결하면 다항식이 되는 방식으로 식을 편하게 다룰 수 있어진다. 즉, 곱셈과 나눗셈을 더 먼저 연산하는 것은 미지수의 연산과의 일관성을 갖추기도 좋으며, 중학교 교육과정의 미지수의 첫 도입부터 시작하여 이차방정식, 이차함수, 고등학교 이후 과정인 이항정리, 테일러 급수, 선형대수학에 이어지는 형식으로 굉장히 다양한 곳에서 편리하다고 느끼기에 그렇게 하는 것이고, 단순히 사칙연산을 처음 배운 사람에게는 해당 순서가 좀 낯설게 느껴질 수는 있다.
분배법칙이 성립하면 선형성이 있다고 표현하며, 이러한 연산들을 묶어 선형 변환이라고 한다. 선형 변환에서는 덧셈과 곱셈의 연산 순서가 매우 중요하며, 위에서 말한 항의 개념이 그대로 적용되고 벡터나 행렬 등 변수가 많더라도 수학적으로 다루기 굉장히 편리하다.
참고로, 논리 연산에 해당하는 논리곱/교집합 연산과 논리합/합집합 연산의 경우에는 서로가 서로에 대한 분배법칙이 성립하는데, 이러한 경우에는 서로의 연산 우선순위가 등가이기 때문에 왼쪽에서부터 계산하며, 항상 먼저 계산해야 할 경우 괄호를 붙인다.
4. 용례
사칙연산과 괄호로 된 간단한 식을 모양만 좀 비틀어 세계 수학계 안팎을 혼돈의 카오스로 만든 사례로 48÷2(9+3)가 있다. 사실 해당 수식으로부터 일어난 논란은 생략한 곱셈을 나눗셈보다 먼저 계산해야 한다는 미국의 일부 교육과정 역시 바꿀 정도로 많은 파장을 일으켰으며, 수학 자체가 각자 다른 방식으로 발전해오는 경우가 많았지만, 인터넷 등의 매체의 발달로 표기법과 연산 순서 등을 글로벌하게 하나의 수학으로 통일할 수 있다는 생각을 할 수 있도록 만들어 주었다.111+1×2=224 같은 경우에는 방송국에서 실수로 오답을 낸 경우. 정답은 1x2=2에 111을 더해서 113이다.
두뇌풀가동 밈에서 나온 수식 역시 곱셈을 우선 연산해야하기 때문에 정답은 2+2x2 = 6이다. 해당 밈 역시 너무 유명해져서 외국에서 논문을 쓸 정도로 굉장한 파장이 있었다. 물론 연산순서를 바꿔야한다거나 이런 논문이 아니고, 수학교육학에서 연산순서를 어떻게 이해시켜야 좋을까 하는 정도의 논문이다.
5. 관련 문서
[1] 미분방정식에서는 기울기(gradient)[2] 미분방정식에서는 발산(divergence)[3] 미분방정식에서는 회전(curl)[4] 과거에는 4학년 때 배웠다.[5] 즉 괄호 안에서도 이 우선순위가 유지된다. 간단한 예로 괄호 안에 또다시 괄호와 다른 연산이 혼재한다면 괄호 안에서도 다시 괄호를 우선으로 계산해야 한다.[6] 이 법칙은 괄호 형태로 표현되는 항인 행렬에도 똑같이 적용된다. 즉 행렬 내부의 식을 먼저 계산해야 하는 것.[7] 밑이 문자(π, e 등)가 포함된 단항식 또는 다항식이거나, 수 자체가 복잡한 형태(대표적으로 무리수)인 경우[8] 초등학교 때는 나오지 않을 단계이므로 보통 일단은 생략하고 가르친다. 아주 잘 알고 있던 원래 규칙에 중학교 때 어느샌가 이게 더해져 멘붕을 유발한다.[9] 추가적으로, 팩토리얼(계승)이나 테트레이션과 같은 곱셈 기호의 상위 호환인 모든 연산은 이 순서에 들어간다. 또한 지수에 복소수가 들어가는 경우 맨 뒤 순서로 보낸다.[10] 행렬곱, 내적, 외적, 기울기, 발산, 회전 같은 "덧셈이 들어가는 특수한 곱셈"에도 3, 4의 내용이 적용된다.[11] 단, 함수의 합성은 오른쪽에서 왼쪽으로 한다.[12] 미국은 주로 이걸 쓴다.[13] 일단 괄호부터가 명칭이 여러 개다. 영국 영어로 brackets 혹은 미국 영어로 parentheses로 불린다. 두번째 오는 지수는 더 가관인데, indices, exponents, orders, power 등등. 심지어 명칭이 어디나 똑같은 곱셈/나눗셈(multiplication/division)도 둘이 같은 레벨이다 보니 순서를 바꾸어 MD가 DM이 되는 일이 있다고 한다. (BODMAS나 BEDMAS가 될 수 있다는 말.) 다행히 덧셈/뺄셈에 해당하는 Addition/Subtraction은 순서가 바뀌는 일이 없다.[일반용] 일반용 계산기에서의 2+2×2는 앞에서부터 계산하여 8이 나온다.[공학용] 공학용 계산기에서의 2+2×2는 곱셈을 우선으로 계산하여 6이 나온다.[16] 위에 말한 것과 기본적인 틀은 같다.[17] 1+2=3을 예를 들자면 1에 무엇을 할 것인가? 더한다. 무엇을? 2를. 그러면 어떻게 되는가? 3이 된다. 즉 수식의 진행과정이 순차적으로 쉽게 확인이 가능하기 때문이다.[18] 반면에 후위 표기법은 컴퓨터가 처리하기 편리하다.[19] [math(\displaystyle{\overline{a+b}}\times c)]라고 씀으로써 [math(a+b)]를 [math(\times c)]보다 먼저 계산하라고 표기하는 식이다. 과거에는 괄호보다 보편적으로 쓰였으나 현재에는 거의 쓰이지 않아 제곱근에만 그 흔적이 남아있다.[20] 좌분배법칙[21] 우분배법칙[22] 초등학교 과정에서 '분수의 덧셈과 뺄셈은 통분 이후에 자연스럽게 공통분모로 묶으면 분자끼리의 계산이 가능하다' 정도로 배우나, 엄밀하게는 나눗셈의 우분배법칙을 이용한 연산이다.