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1. 개요
민코프스키 不等式 / Minkowski inequality / (독일어)Minkowski-Ungleichung민코프스키 부등식은 [math(L^p)] 공간의 삼각부등식이다.
2. 민코프스키 부등식
2.1. 일반 측도공간의 경우
측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]의 함수 [math(f:X\to\mathbb{C})]와 [math(p\in [1,\ \infty])]에 대하여[math(\displaystyle \begin{aligned}
\|f\|_p = \begin{cases} \displaystyle \!\left( \int |f|^p \, d\mu \right)^{\!\frac1p} \quad &\text{if} \quad p \in [1, \infty) \\
{\operatorname{ess\ sup}}_{x\in X}\, |f(x)| \quad &\text{if} \quad p = \infty \end{cases}
\end{aligned} )]
라 하자. 여기서 [math({\text{ess}\sup_{x\in X}\, |f(x)|})]는 [math(\inf \{ M : \mu(\{x\in X:|f(x)|>M\})=0 \})]으로 정의된 [math(f)]의 본질적 상한이다. \|f\|_p = \begin{cases} \displaystyle \!\left( \int |f|^p \, d\mu \right)^{\!\frac1p} \quad &\text{if} \quad p \in [1, \infty) \\
{\operatorname{ess\ sup}}_{x\in X}\, |f(x)| \quad &\text{if} \quad p = \infty \end{cases}
\end{aligned} )]
함수 [math(f,\ g)]에 대하여 [math(\|f\|_p,\ \|g\|_p<\infty)]이면 [math(\|f+g\|_p<\infty )]이고 다음이 성립한다.
[math(\|f+g\|_p \le \|f\|_p+\|g\|_p)]
위 부등식에서 등식이 성립할 조건은 다음과 같다.- ([math(p=1)]인 경우) 거의 모든 [math(x\in X)]에서 [math(f(x)\overline{g(x)}\ge 0)]
- ([math(p\in (1,\ \infty))]인 경우) [math(|f|,\ |g|)]가 선형 종속이다.
2.2. 셈 측도공간의 경우
[math(p\in [1,\ \infty))]와 수 [math(x_1,\ \ldots\ ,\ x_n,\ y_1,\ \ldots\ ,\ y_n)]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\displaystyle\left(\sum_{k=1}^n|x_k+y_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}\le\left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^p\right)^{\frac{1}{p}})]
3. 증명
3.1. p<∞ 인 경우
횔더 부등식을 이용하여 증명한다. [math(1\le p <\infty)]이고 [math(f,\ g\in L^p)]일 때[math(|f+g|^p \le (|f|+|g|)|f+g|^{p-1})]
이므로. 양 변에 대한 적분과 횔더 부등식에 의해 다음을 얻는다. 이때, [math(q)]는 [math(p)]의 횔더 켤레이며, [math((p-1)q=p)]가 성립한다.[math(\displaystyle\begin{aligned}
\int|f+g|^p &\le (\|f\|_p+\|g\|_p)\|\, |f+g|^{p-1}\, \|_q\\
&=(\|f\|_p+\|g\|_p)\left(\int|f+g|^p\right)^{\!\frac1q}
\end{aligned})]
위 부등식의 양변을 [math((\int|f+g|^p)^{1/q})]로 나누면 다음을 얻는다.\int|f+g|^p &\le (\|f\|_p+\|g\|_p)\|\, |f+g|^{p-1}\, \|_q\\
&=(\|f\|_p+\|g\|_p)\left(\int|f+g|^p\right)^{\!\frac1q}
\end{aligned})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\|f+g\|_p&=\left(\int|f+g|^p\right)^{1-\!\frac1q}\\
&\le \|f\|_p+\|g\|_p
\end{aligned})]
등식의 성립 조건을 증명한다. [math(p=1)]일 때, [math(\|f+g\|_1=\|f\|_1+\|g\|_1)]은 거의 모든 [math(x\in X)]에서 [math(|f+g|=|f|+|g|)]와 동치다. [math(f=f_1+if_2,\ g=g_1+ig_2)]라 하면 [math(|f+g|^2=(|f|+|g|)^2)]에서\|f+g\|_p&=\left(\int|f+g|^p\right)^{1-\!\frac1q}\\
&\le \|f\|_p+\|g\|_p
\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}f_1g_1+f_2g_2&=\sqrt{(f_1g_1-f_2g_2)^2+(f_1g_2+f_2g_1)^2}\\
&=\sqrt{(f_1g_1+f_2g_2)^2+(f_1g_2-f_2g_1)^2}
\end{aligned})]
이다. 이는 [math(\mathrm{Re}(f\overline{g})\ge 0,\ \mathrm{Im}(f\overline{g})=0)]로 [math(f\overline{g}\ge 0)]와 동치다.&=\sqrt{(f_1g_1+f_2g_2)^2+(f_1g_2-f_2g_1)^2}
\end{aligned})]
[math(p\in(1,\ \infty))]일 때 [math(\|f+g\|_p=\|f\|_p+\|g\|_p)]에서
[math(\displaystyle\begin{aligned}
\int|f+g|^p &=(\|f\|_p +\|g\|_p)\left(\int|f+g|^p\right)^{\!\frac1q}\\
&=(\|f\|_p+\|g\|_p)\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q
\end{aligned})]
이다. 또한 횔더 부등식과 삼각 부등식에 의해\int|f+g|^p &=(\|f\|_p +\|g\|_p)\left(\int|f+g|^p\right)^{\!\frac1q}\\
&=(\|f\|_p+\|g\|_p)\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q
\end{aligned})]
[math(\displaystyle\begin{aligned}
&\|f\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q+\|g\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q\\
&\ge \left\|\, f|f+g|^{\frac{p}{q}}\, \right\|_1+\left\|\, g|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_1\\
&\ge\int|f+g|^{\frac{p}{q}+1}\\
&=\int |f+g|^p
\end{aligned})]
이다. 따라서&\|f\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q+\|g\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q\\
&\ge \left\|\, f|f+g|^{\frac{p}{q}}\, \right\|_1+\left\|\, g|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_1\\
&\ge\int|f+g|^{\frac{p}{q}+1}\\
&=\int |f+g|^p
\end{aligned})]
[math(\|f\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q+\|g\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q=\left\|\, f|f+g|^{\frac{p}{q}}\, \right\|_1+\left\|\, g|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_1)]
에서[math(\left(\|f\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q-\left\|\, f|f+g|^{\frac{p}{q}}\, \right\|_1\right)+\left(\|g\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q-\left\|\, g|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_1\right)=0)]
이다. 이는 횔더 부등식의 등식[math(\|f\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q=\left\|\, f|f+g|^{\frac{p}{q}}\, \right\|_1,\\
\|g\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q=\left\|\, g|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_1)]
가 성립함과 동치이므로 [math(|f|,\ |g|,\ |f+g|^{p/q})]는 서로 선형종속이다. 즉 [math(\|f+g\|_p=\|f\|_p+\|g\|_p)]의 필요충분조건은 [math(|f|,\ |g|)]가 선형종속인 것이다.\|g\|_p\cdot\left\|\,|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_q=\left\|\, g|f+g|^{\frac{p}{q}}\,\right\|_1)]
3.2. p=∞ 인 경우
[math(|f+g|\le|f|+|g|)]이고 거의 모든 [math(x)]에서 [math(|f(x)|\le \|f\|_\infty,\ |g(x)|\le \|g\|_\infty)]이므로[math(\begin{aligned}
&\{x:|f(x)+g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\}\\
&\subseteq\{x:|f(x)|+|g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\}\\
&\subseteq\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty\}\cup\{x:|g(x)|>\|g\|_\infty\}
\end{aligned})]
이다. 따라서&\{x:|f(x)+g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\}\\
&\subseteq\{x:|f(x)|+|g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\}\\
&\subseteq\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty\}\cup\{x:|g(x)|>\|g\|_\infty\}
\end{aligned})]
[math(\begin{aligned}
&\mu(\{x:|f(x)+g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\})\\
&\le\mu(\{x:|f(x)|+|g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\})\\
&\le \mu(\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty\})+\mu(\{x:|g(x)|>\|g\|_\infty\})\\
&=0
\end{aligned})]
으로 [math(\|f+g\|_\infty \le \|f\|_\infty+\|g\|_\infty)]이다.&\mu(\{x:|f(x)+g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\})\\
&\le\mu(\{x:|f(x)|+|g(x)|> \|f\|_\infty+\|g\|_\infty\})\\
&\le \mu(\{x:|f(x)|>\|f\|_\infty\})+\mu(\{x:|g(x)|>\|g\|_\infty\})\\
&=0
\end{aligned})]
4. 확장
4.1. 민코프스키 적분 부등식
두 [math(\sigma)]-유한 측도공간 [math((X,\ \mathcal{M},\ \mu))]와 [math((Y,\ \mathcal{N},\ \nu))]에 대하여 [math(f)]가 [math(X\times Y)]의 [math((\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}))] 가측함수일 때 다음이 성립한다.- [math(f\ge 0)]이고 [math(1\le p<\infty)]이면{{{#!wiki style="margin:1.2em 1.2em ;text-align: center;"
\displaystyle
\left[\int\left(\int f(x, y)d\nu(y)\right)^p d\mu(x)\right]^{\frac{1}{p}}\le \int\left[\int f(x,y)^pd\mu(x)\right]^{\frac{1}{p}}d\nu(y)
)]}}}이다.
- [math(p\in [1,\ \infty])]이고 거의 모든 [math(y)]에 대하여 [math(f(\cdot,y)\in L^p(\mu))]이고 함수 [math(y\mapsto\|f(\cdot,y)\|_p)]가 [math(L^1(\nu))]의 원소이면 거의 모든 [math(x)]에서 함수 [math(x\mapsto\int f(x,y)d\nu(y))]는 [math(L^p(\mu))]의 원소이고{{{#!wiki style="margin:1.2em 1.2em ;text-align: center;"