최대·최소 정리

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1. 개요2. 진술

2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)

3. 증명

3.1. 컴팩트성을 사용하지 않은 증명3.2. 컴팩트성을 사용한 증명

4. 관련 문서

1. 개요

최대·최소 정리(最大·最小定理, extreme value theorem; EVT)는 함수의 최댓값, 최솟값에 관한 정리로, 연속함수의 대표적인 성질 중 하나이다.

이 성질은 미분가능성과는 별개의 성질이기 때문에, 바이어슈트라스 함수같이 미분이 불가능한 연속함수에서도 참이다.

2. 진술

2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리

[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))

함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

여기서 중요한 것은 닫힌 구간과 연속이다. 둘 중 한 조건이라도 성립하지 않는다면, 최댓값과 최솟값이 존재하지 않을 수도 있다.[* [math(f\left(x\right)=x)]라는 단순한 함수를 토대로 [math(\left(a,b\right)\left(a<b\right))]라는 열린 구간을 대상으로 해 보자. 이 경우, 모든 [math(f)]값이 [math(\left(a,b\right))] 사이에 들어가지만, 구간의 양 끝값 자체가 구간에 미포함되기 때문에 최대값도 최소값도 없다는걸 간단하게 보일 수 있다. 불연속일 경우는 [math(\left(0, 2\right))]라는 범위에서 [math(f\left(x\right)=x-\left\lfloor x\right\rfloor )]라는 함수를 정의하면, 그 치역은 [math(\left[0,1\right))]로 표현되어, 최대값이 없는 함수가 됨을 알 수 있다.][1] 일견 당연해 보이는 이 정리는, 고교 수준을 넘는다며 증명을 생략하고 넘어가는 경우가 대부분이다.

2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)

[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem)

컴팩트집합 [math(X)]에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to \mathbb R)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

고교 수준의 정의에서 닫힌 유계구간이 컴팩트집합(compact set)으로 치환된 형태다. 실제로 하이네-보렐 정리에 따르면 실수 집합의 닫힌 유계구간은 전부 컴팩트집합이므로, 위 정리를 온전히 포함하게 된다.

위 정리는 다음과 같이 [math((\mathbb R, <))] 뿐만이 아닌, 임의의 전순서 집합 위의 순서 위상에 대한 정리로 일반화할 수 있다.

[ 정리 ] 최대·최소 정리(extreme value theorem)

컴팩트집합 [math(X)]와 전순서(total order) [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))] 사이에 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]는 정의역 [math(X)]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

3. 증명

당연해 보이는 것의 증명이 더욱 어려운 법이다. 이 정리를 증명하기 위해서는 유계(boundness)나 컴팩트성(compactness)을 알아야 한다.

3.1. 컴팩트성을 사용하지 않은 증명

[ 보조정리 ]

함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 유계 함수이다.

[ 증명 ]: 임의의 실수 [math(M \in \mathbb R)]를 잡아도 그보다 큰 함수값 [math(f(x) > M)]을 지니는 [math(x \in [a, b])]가 존재한다고 가정해 보자.

[math(a_i)] = "[math(f(x) > i)]인 임의의 [math(x \in [a, b])]"인 수열 [math(\{a_n\})]을 정의하자. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해, 이 수열의 집적점(accumulation point) [math(v)]는 구간 [math([a, b])]안에 존재한다. 다시 말해, 임의의 [math(\delta > 0)]을 잡아도 구간 [math((v - \delta, v + \delta) \cap [a, b])] 내에 [math(a_i)]가 들어가게 되는 [math(i)]가 무한히 많이 존재한다.

함수 [math(f)]는 [math(v)]에서 연속이므로, 엡실론-델타 논법에 따라 임의의 [math(\epsilon > 0)]에 대해 [math((v - \delta, v + \delta) \cap [a, b])] 상의 모든 함수값이 [math((f(v) - \epsilon, f(v) + \epsilon))]에 포함되도록 하는 [math(\delta > 0)]를 찾을 수 있어야 한다.
하지만 [math(\delta)]를 어떻게 잡아도, 임의로 큰 [math(i > f(v) + \epsilon)]를 잡아 [math(a_i)]가 그 구간 안에 들어가게 할 수 있고, 이 경우 [math(f(a_i) > i > f(v) + \epsilon)]이므로, 조건을 만족하는 [math(\delta)]를 찾을 수 없게 된다.

따라서 가정은 틀렸고, 구간 [math([a, b])] 상에서 [math(f)]의 모든 함수값보다 큰 [math(M \in \mathbb R)], 즉 [math(f)]의 상한이 존재해야 한다.

같은 방식으로 [math(f)]의 하한이 존재한다는 사실을 증명할 수 있고, 따라서 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 유계 함수이다. [math(\blacksquare)]
이 증명의 핵심은 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하는 것인데, 컴팩트성 문서에도 적혀 있듯이 사실 이것은 [math([a, b])]의 점렬 컴팩트성을 이용한 것과 마찬가지이다.

[ 정리 ] 최대·최소 정리(수학Ⅱ(2015))

함수 [math(f: \mathbb R \to \mathbb R)]가 닫힌 구간 [math([a, b])]에서 연속이면, 함수 [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값과 최솟값을 가진다.

{{{#!folding [ 증명 ]
[ 보조정리 ]에 의해 [math(f)]는 [math([a, b])]에서 유계이다. 그러므로 집합 [math(\{ f(x) \,|\, x \in [a ,b] \})]의 최소 상한 [math(M \in \mathbb R)]이 존재한다. 이제 [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a ,b])]가 존재함을 증명하자.

결론을 부정하여, 임의의 [math(x \in [a ,b])]에 대해 [math(f(x) \neq M)], 즉 [math(f(x) < M)]을 가정하자. 그러면 다음과 같이 정의된 함수 [math(g: [a ,b] \to \mathbb R)]는 잘 정의되며, 연속이다. (연속함수의 성질 참고.)

[math(\displaystyle \begin{aligned}
g(x) = \frac1{M-f(x)}
\end{aligned} )]

그러므로 [math(g)]에도 [ 보조정리 ]를 적용할 수 있다. [math(g)]도 구간 [math([a, b])]에서 유계이므로, 적당한 실수 [math(N)]이 존재하여 [math(g(x) = |g(x)| \leq N)]이 성립한다. 따라서 모든 [math(x \in [a, b])]에 대해 [math(\dfrac1{M-f(x)} \leq N)]이고 [math(f(x) \leq M - \dfrac1N)]이다. 이는 [math(M)]이 집합 [math(\{ f(x) \,|\, x \in [a, b] \})]의 최소 상한이라는 가정에 모순이다.

귀류법 가정이 틀렸으므로, [math(f(x) = M)]인 [math(x \in [a, b])]가 존재한다. 즉, [math(f)]는 구간 [math([a, b])]에서 최댓값 [math(M)]을 가진다. 한편, [math(\inf f = -\sup(-f))] 및 [math(\min f = -\max(-f))]을 이용하면 최솟값에 대한 결론도 얻을 수 있다. [math(\blacksquare)]
}}}||

3.2. 컴팩트성을 사용한 증명

컴팩트성과 관련된 다음 두 개의 보조정리를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

[ 보조정리 1 ]

컴팩트집합 [math(X)] 상에서 정의된 연속함수 [math(f: X \to Y)]의 치역 [math(f(X))]는 컴팩트 집합이다.

[ 증명 ]: [math(f(X))]의 열린 덮개 [math(C)]가 있다면, [math(f)]가 연속 함수이므로 [math(D = \{f^{-1}(S) \,|\, S \in C\})]는 [math(X)]의 열린 덮개이다. [math(X)]는 컴팩트하므로, [math(D)]의 유한 부분덮개 [math(D')]가 존재한다. 즉, [math(C' = \{f(S') \,|\, S' \in D'\})]는 [math(f(X))]를 덮는 [math(C)]의 유한 부분덮개가 된다.

이는 임의의 열린 덮개 [math(C)]에 대해 성립하므로, [math(f(X))]는 컴팩트 집합이다. [math(\blacksquare)]

[ 보조정리 2 ]

전순서 [math(<)]가 주어진 위상 공간 [math((Y, <))]의 임의의 컴팩트집합 [math(Z)]의 최소상계 [math(\sup Z)] 및 최대하계 [math(\inf Z)]는 존재하고, [math(Z)]에 포함된다. 즉, [math(Z)]는 최댓값과 최솟값을 포함한다.

[ 증명 ]: 편의상 [math(y \in Y)]가 있을 때, 하집합(lower set) [math(\{y' \in Y \,|\, y' < y \})]를 [math((-\infty, y))]라고 표기하자.

열린 구간의 집합 [math(C = \{ (-\infty, z) \,|\, z \in Z \})]가 있을 때, 만약 이 [math(C)]가 [math(Z)]의 덮개라면, 유한 부분덮개 [math(C' = \{(-\infty, z_1), \cdots, (-\infty, z_n)\} \subseteq C)]가 존재해야 한다. 하지만 [math(C')]는 [math(\max \{z_1, \cdots, z_n\})]을 덮을 수 없으므로 [math(C')]는 [math(Z)]의 덮개일 수 없고, 따라서 [math(C)]는 [math(Z)]의 덮개가 아니다.

즉, [math(Z' = Z \setminus \bigcup C)]는 공집합이 아니다. 이 집합의 원소 [math(z')]와, [math(Z)]의 임의의 원소 [math(z)]가 있으면, [math(z' \not\in (-\infty, z))]이므로, [math(z \le z')]이여야 한다. 따라서, [math(z' = \sup Z \in Z)]이다. (사실 [math(Z' = \{z'\})]이다.) 같은 방식으로 [math(\inf Z \in Z)]임을 증명할 수 있다. [math(\blacksquare)]

[ 정리 ] 최대·최소 정리(exterme value theorem)

[ 증명 ]
[ 보조정리 1, 2 ]에 의해 [math(f(X))]는 최댓값과 최솟값을 포함하는 컴팩트집합이다. [math(\blacksquare)]

4. 관련 문서

[1] 이 정의의 역은 성립되지 않는다. 대표적인 반례로 완전 불연속 함수의 하나인 디리클레 함수가 있는데, 이 함수는 임의의 구간에서 유리수에서 최댓값 1, 무리수에서 최솟값 0을 띠므로 이 정의에 의해 연속함수로 간주되는 모순이 생긴다.

최대·최소 정리

1. 개요

2. 진술

2.1. 고교 교육과정 하에서의 최대·최소 정리

2.2. 최대·최소 정리(extreme value theorem)

3. 증명

3.1. 컴팩트성을 사용하지 않은 증명

3.2. 컴팩트성을 사용한 증명

4. 관련 문서

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