| 절대부등식 Inequalities | ||
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1. 개요
횔더 不等式 / Hölder inequality / (독일어)Hölder-Ungleichung독일의 수학자 오토 루트비히 횔더(Otto Ludwig Hölder)의 이름을 딴 절대부등식이다.
2. 횔더 부등식
2.1. 일반 측도공간의 경우
두 가측함수 [math( f \in L^p(\mu), g \in L^q(\mu))]와 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]를 만족시키는 두 양수 [math(p,\ q)]에 대하여 [math( f g \in L^1(\mu))]이고,[math(\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q)]
가 성립한다. 위 부등식의 조건 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]을 만족하는 양수 [math((p,\ q))]를 횔더 켤레(Hölder conjugate)라 부른다. 이는 [math((p,\ q)=(\infty,\ 1))]인 경우도 포함한다. [math(p,\ q<\infty)]인 경우, 위 부등식은 다음을 의미한다.[math(\displaystyle \int |f g|\le \left(\int |f|^p \right)^{1/p} \left( \int |g|^q \right)^{1/q})]
부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 [math(\|f\|^p)]와 [math(\|g\|^q)]가 [math(L^1)]에서 선형종속인 것이다.[math((p,\ q)=(\infty,\ 1))]인 경우 [math(\|f\|_\infty)]는 [math(f)]의 본질적 상한, 즉
[math(\begin{aligned}\|f\|_\infty&=\mathrm{ess}\sup f\\&=\inf\{M\ge0:\mu(\{x:|f(x)|\ge M\})=0\}\end{aligned})]
을 뜻한다. 부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 [math(\text{supp}(g)=\{x:g(x)\ne 0\})]에서 [math(|f(x)|=\|f\|_\infty\text{ a.e. }x)]이다.2.2. 셈 측도공간의 경우
두 양수 [math(p,\ q)]가 [math(p^{-1}+q^{-1}=1)]을 만족시킬 때, 양수 [math(a_1,\ \ldots\ ,\ a_n,\ b_1,\ \ldots\ ,\ b_n)]에 대하여[math(\displaystyle\left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)\le\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^p \right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^q \right)^{1/q} )]
가 성립한다.
3. 증명
3.1. p<∞ 인 경우
영 부등식을 활용하여 증명한다.| 영 부등식(Young's inequality) 음이 아닌 실수 [math(a,b)]에 대해 [math(\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\ge ab)]가 성립한다. 등호가 성립할 필요충분조건은 [math(a^p=b^q)]인 것이다. |
[math(\displaystyle\int fg\le\int\frac{f^p}{p}+\int\frac{g^q}{q}=\frac1p+\frac1q=1)]
일반적인 경우에는 [math(f)]와 [math(g)]의 상수배를 생각한다. [math(f_1=f/\|f\|_p)], [math(g_1=g/\|g\|_q)]로 잡으면 [math( \|f_1\|_p=\|g_1\|_q=1)]이므로 위의 경우를 적용할 수 있고, [math(L^p)] 노름은 상수배를 보존하므로 증명된다. [math(\|f\|_p=0)]인 경우는 [math(f=0)](물론 측도론적인 의미에서)밖에 없으므로 양변이 모두 [math(0)]이어서 성립.
이산적인 경우 증명은 적분을 합으로 바꿔서 똑같이 하면 된다.
3.2. p=∞ 인 경우
[math(\|f\|_\infty=M<\infty)]라고 하면 [math(|f(x)|\le M\text{ a.e. }x)]이므로 [math(|fg|\le M|g|\text{ a.e. }x)]이다.[math(\displaystyle \int |fg| \le \int M|g|=M\int |g|)]
이므로 [math(\|fg\|_1 \le \|f\|_\infty \|g\|_1)]이 성립한다.
다음으로 등식이 성립할 필요충분조건을 증명한다. [math(\mathrm{supp}(g)=E)]라고 하자. [math(\|fg\|_1=\|f\|_\infty\|g\|_1)]이면
[math(\displaystyle\|fg\|_1=\int_E |fg|=\|f\|_\infty\cdot\left(\int_E |g|\right)=\|f\|_\infty\|g\|_1)]
에서 [math(\int_E(|fg|-\|f\|_\infty|g|)=0)]이므로 [math(\mathrm{supp}(g))]에서 [math(|f(x)|=\|f\|_\infty\text{ a.e. }x)]이다. [math(\mathrm{supp}(g))]에서 [math(f(x)=\|f\|_\infty \text{ a.e. }x)]이면
[math(\displaystyle\int_E |fg|=\|f\|_\infty\cdot\int_E|g|)]
이므로 [math(\|fg\|_1=\|f\|_\infty\|g\|_1)]이다.
4. 확장
4.1. 지수의 일반화
[math(0<p,q,r,\le\infty)]인 세 실수 [math(p, q, r)]이 [math(r^{-1}=p^{-1}+q^{-1})]을 만족시키면 보렐 가측함수 [math(f, g)]에 대하여 다음이 성립한다.[math(\|fg\|_r\le \|f\|_p\|g\|_q)]
4.2. 반대 횔더 부등식
함수 [math(g)]가 거의 모든 [math(x)]에서 [math(g>0)]이고 [math(r<0)]일 때, [math(\|g\|_{L^r}:=\left\|g^{-1}\right\|_{|r|}^{-1})]이라고 하자. 거의 모든 [math(x)]에서 [math(f\ge 0, g>0)]인 가측함수 [math(f, g)]와 [math(p^{-1}+q^{-1})]을 만족시키는 두 실수 [math(p, q)] 대하여 다음이 성립한다.[math(\|fg\|_{L^1} \ge \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q})]