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1. 개요
Mathematical economicsEconomic Mathematics
경제수학이라고도 한다. 경제학의 방법론 중 하나로, 수학을 응용한다.
수리경제학은 쿠르노의 '부의 이론의 수리적 원리에 관한 연구' (1838)[1]에서 시작되었다. 이 책에서 수요함수의 개념이 처음으로 제시되었다.
2. 수학을 사용하는 이유
경제학자들이 수학을 사용하는 이유는 일반적인 언어를 통해 표현하는 것보다 수학을 통한 표현이 더 정확하고, 또 반증 가능한 가설을 세우기에 용이하기 때문이다. 그러나 케인스나 하이에크 등은 인간의 행동에는 정량적으로 표현할 수 없는 부분이 존재한다고 하여, 경제학의 수리화를 반대하는 입장을 취하기도 하였다. 또한 칼 포퍼는 경제학이 수학을 도입하면 결국 수학이론화 될 것이고, 실제 경제와는 동떨어질 것을 우려했다.반면 이에 대해 프리드만은 '모든 가정은 비현실적이다'라고 하며 어떤 가정이 현실에 부합하는지보다는 그 가정을 통해 내린 결론이 실제 경제를 잘 설명하고 예측할 수 있는지가 중요하다고 하였다. 또한 폴 새뮤얼슨은 수학은 단지 수많은 언어 중 하나이며, 어떤 경제학적 개념들은 일반적인 언어를 통해 이해하는 것이 극히 어렵기 때문에 수학의 엄밀성을 빌리는 것이 바람직하다고 하였다.[2]
1988년에 솔로우는 수리경제학이 현대 경제학의 중심적 토대가 된다고까지 하였다[3]. 이러한 흐름은 지금까지도 이어져 오고 있다.
진로에 따라 필요한 수학 수준도 달라진다.
- 경제학으로 학부 졸업만을 목표로 할 경우
수학은 경제학과 학부 과목 중 경제수학 과목만 수강하고 졸업해도 충분하다. 미시경제학, 거시경제학 등을 이해하는 데에 필요한 미적분학, 선형대수 내용은 저기 다 들어가 있다.
- 경제학을 실무에 활용하는 직업을 지망할 경우
분야에 따라 다르다.
- 주류경제학 대학원 학위를 받으려는 경우
미국 대학원의 경우 대부분 박사 학위 1년차에 qual exam을 통과해야 하기 때문에 기본적으로 어느 정도 수학을 공부해야 한다. 학부 때 이미 선형대수학, 미적분학, 해석학 정도는 공부해놓는 경우가 많고, 그렇지 않으면 잘 안 받아준다.[4] 만일 계량경제학을 전공할 생각이면 여기에다 측도론, 수리통계학, 실해석학, 확률론 등 통계학 쪽 수업을 더해서 듣는 것이 바람직하고, 미시나 거시 쪽으로 간다면 수학 수업 중 분야에 따라 적합한 과목[5]을 골라 듣기도 한다.
보통 한국 대학 학부 출신 학생이 학부 졸업 후 바로 미국 대학원으로 유학 가는 경우, 박사 학위를 통상적인 경우로 가정해서 5년이 걸려서 받는다고 하면, 학부 재학 중 수학을 복수전공했다고 해도 수학을 공부하는 기간만 대학 3년+박사 1~2년은 소요된다.
1950년대까지는 수학 없이도 주류 경제학자가 되는 게 가능했다.
교수들이 대학교 저학년이나 고등학생들에게 조언할 때는 이 쪽 의견을 더 강조한다. 왜냐하면 청자가 박사 과정 필수과목들 교과서를 이해할 수준의 수학을 갖추지 못한 상태이기 때문이다. 특히 게임 이론, 거시 계량 모형, 계량경제 이론 등 수학을 많이 사용하는 분야의 교수들이 이쪽 의견을 밀고 있다.
- 비주류/신생 경제학을 개척하는 경우
대표적인 예로 코즈의 정리로 유명한 로널드 코즈는 20살에 해외 여행 갔다와서 쓴 논문 (1937)으로 노벨경제학상을 받았다. 학부 3학년 때 썼으니 당연히 고급 수학이나 복잡한 수식 같은 것이 없음에도 불구하고 , 산업조직론을 개척했다고 평가받고 있다. 이와 같은 사실은 경제학의 발전에는 반드시 수학이 필요하지는 않음을 보여준다. 따라서 계량적으로 계산하거나, 수리적인 개념을 이해하는 것이 필요없는 분야라면 수학이 필요하다고 할 수는 없다. 만약 경제학의 하위 분과 학문을 창조해낸다면, 첫 개척자는 굳이 수학을 사용하지 않고도, 단순히 아이디어만 제시하거나 심지어 가설만 제시했던 것에 불과할 지라도 노벨상을 수상하여 학문적 권위를 인정받고, 칭송받을 수도 있다.[6]
스스로 새로운 분야를 창조해내거나 개척해낸다면, 수학 없이도 경제학을 하는 것이 가능하다. 하지만 장담하건데 수학을 그냥 공부하는 쪽이 새로운 분야를 개척하는 것보다 훨씬 쉽다. 새로운 분야 개척은 지구상의 70억 인구가 한 번도 떠올리지 못한, 그 중에선 경제학으로 박사학위를 딴 사람은 물론 저명한 교수들과 노벨상 수상자들조차 떠올리지 못한 무언가를 만들어낸다는 것이다. 할 수만 있다면 당신은 전 세계 경제학 교과서에 이름을 올리겠지만 그만큼 그게 어려운 일이라는 뜻도 된다. 즉 수학이 싫으니 새로운 길을 개척하겠다는 것은 무리수에 가까우니 자신이 정말 획기적인 발상이 있는게 아니라면 얌전히 수학을 파자.
3. 과목
3.1. 고등학교
경제 수학(과목)[7]3.2. 학부
대학교 경제학과(학부과정)에 대개 두 과목이 개설된다.- 경제수학(경제경영수학/경영수학): 고등학교 문과 정도의 수학지식을 가진 학생이 미시경제학이나 거시경제학을 이해할 수 있게 할 목적으로 개설되는 수업. 선수과목은 필요없다. '경제학도를 위한 수학' 등의 이름으로도 개설되는데 이 경우는 1~2학년 기초과목인 경우가 많다.
- 수리경제학: 경제수학을 이수한 학생이 경제학과의 어려운 과목을 이해하는 데 생기는 수학적 문제들을 해결해주는 수업. 단변수 최적화, 다변수 최적화, 조건부 최적화, 부등식 최적화 등을 다룬다. 최적화가 고등학생 수준부터 박사 수준까지 워낙 범위가 넓기 때문에 어느 정도 수준까지 공부해야 하는지 앞의 설명만으로는 애매한데 실제 시험이 어느 정도 수준으로 출제되는지 확인하면 감이 올 것이다.
더 나아가 대학원 수준의 어려운 수학까지 다지려면 경제학과를 벗어나 수학과 수업을 들어야 한다. 사실 이 때문에 학부~대학원에서 주전공으로 경제학이 아니라 수학을 공부하고 학위를 받은 후 경제학 연구를 하는 학자들도 많다. 경제학이 수학에 의존하는 것을 경계했던 옛날의 케인즈 역시 마찬가지였다.[8]
같은 수리경제학이라도 학교별 교수님별로 커버하는 주제가 천차만별이다. 따라서 위 서술을 맹신하지 말 것. 어떤 교수님들은 일반균형부터 시작하여 파레토균형과 왈라스 균형의 수리적 관계를 파고들다가 맥주퀴시 모형과 같은 베이지안 게임으로 한 학기를 끝내시기도 한다.
함수, 미적분(지수함수와 로그함수 등 초월함수의 미적분 및 다항함수의 편미분[9], 전미분 포함), 선형대수학(행렬, 벡터), 확률론, 수리통계학 등을 가르친다.
다시 말하자면, 인문·자연계 공통 미적분뿐만 아니라 초월함수의 미적분 등 자연계에서만 다루는 미적분도 사용된다는 것을 의미한다.[10] 다만 삼각함수가 들어가 있는 경우는 학부 과정의 경제학 모형에는 거의 없으므로, 실제로는 지수함수와 로그함수의 미적분을 위주로 공부하게 된다.
사실 고교 미적분에서 한 학기 내내 배우는 함수의 극한과 미분을 대학에서는 한 2주 만에 휙 하고 훑고 지나간다. 그러고 나면 바로 고교에서는 배우지 않는 편미분, 전미분, 매클로린 급수, 테일러 급수를 다루고, 행렬을 활용한 본격적인 선형대수학 파트에 돌입하게 된다.[11] 이는 다항함수의 미적분도 고등학교에서 배울 기회가 없었던 05~11학번들이 수업 초반에 어려움을 많이 겪은 요인이기도 하다. 다만 함수의 극한은 수열의 극한 개념에서 한 발짝만 나아가면 되고, 미분 그 자체는 원리나 계산이 어렵지 않아서 웬만큼 머리가 받쳐 주는 대학생이면 크게 어려운 점은 없는 편이다. 학생들이 헤매기 시작하는 부분은 선대 개념이 본격적으로 등장하는 행렬식 이후.
3.2.1. 내용
아래는 신준용 저의 <경영 경제 수학>의 목차이다.1. 수학의 기초적 지식
-집합, 관계, 함수
-선형대수
2. 미적분
-함수의 극한과 연속
-도함수
-적분
-지수함수와 로그함수
-도함수의 응용
-편미분
3. 최적화 이론
-다변수함수의 극대, 극소
-비선형계획법
-선형계획법
3.2.2. 주요 교재
- 경제·경영수학 길잡이 (Chiang / 한국맥그로힐): 원제는 Fundamental Methods of Mathematical Economics. 흔히 '치앙 경제수학'으로 잘 알려진 책. 상경계 수학이 망라되어 있다고 볼 수 있는 책으로, 가장 유명하며 가장 많이 쓰이고 있다. 두께가 상당한 편이다. 얇은 경제·경영수학 교재에서는 자주 빠지는 미분방정식, 삼각함수까지 포함한다. 번역이 되어 있기는 한데 오타를 찾기 쉽고 번역의 질도 그다지 좋지 않다. 번역자 임의로 원서에 있는 내용을 부적절하다며 삭제한 부분도 있다. (마르코프 연쇄) 이 교재로 혼자 공부하기에는 좀 무리가 있다.
- 경제수학 강의 (김성현 / 교보문고): 비교적 얇은 책으로, 강의형 어투로 풀이하고 있는 것이 특징. 물론 기초 수준에 맞춘 만큼 Chiang 책에 비하면 빠진 부분들이 좀 있다. 김성현 저 경제수학은 무려 한국은행 입행시험을 포함한 국내의 경제학 시험의 수학을 모두 커버한다. 행외입시 기출문제를 풀면 알겠지만 미분과 최적화만 할 줄 알아도 문제를 푸는데 아무런 지장이 없다. 국가고시 경제학 시험에서 쓰이는 수학은 매우 쉬운 수준이다.[12]
- 경제수학 (정필권·정혜진 공저 / 법문사): 소속 대학에서 경제수학 강의로 유명한 정필권 교수의 저서. 정혜진 교수는 4판부터 공저자로 참여하기 시작했다. 주로 상경계 편입 준비생들이 많이 보는 교재이다. 최근 판본에서는 고교 문과 수학에서 행렬이 빠진 것을 감안해 행렬과 일차변환 부분이 보강되었고, 재무론 중 리스크 관리에 필수적 도구인 수리통계학과 확률론 분량이 많아졌다. 설명이 자세하지 않아 입문용으로는 부적합하다.
- 경제수학의 기초(정필권·서정환 저 / 시그마프레스): 상기의 교재가 입문용으로도 어렵다는 평가가 나오자 저자들이 출판사를 옮겨 다시 발간한 교재. 경제수학 본교재보다 문제 난이도도 낮고 풀이도 자세하지만, 개념 설명 중에는 법문사판 본교재 오타까지 복붙한 부분도 있어서 "문제만 쉽게 만들고 본문은 복붙한 게 아니냐"고 행시사랑이나 디시 경갤 등지에서 까이기도 한다.
- Mathematics for Economists(Simon, Blume): Chiang 저 다음으로 많이 사용되는 교재라고 할 수 있다. (예시: 고려대 경제학과 경제수학 강의계획서)[13] 다른 교재와 달리 가장 최신 버전은 1994년판. 미적분과 선형대수에 기초적인 해석학과 최적화까지 다룬다. 번역본은 없다. Chiang의 교재보다 내용도 많고 어렵지만 이 책 내용을 잘 숙지하면 석사과정까지는 버틸수 있다고 한다.
- Introductory Mathematical Analysis for Business, Economics and the Life and Social Sciences (Pearson 출판) : 주로 경영학과에서 쓰이는 교재.
- Calculus(James Stewart 저): 공대 1학년생들이 끼고 다니는 그 두꺼운 미적분 책 맞다. 다만 수리경제학 외길 테크를 선택하지 않은 문과 출신이라면, 구입해서 본교재로 볼 필요까지는 없고 가끔 도서관 등에서 대여해 발췌·참고하는 정도면 충분하다. 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.거나 여백이 부족하다는 불친절한 저자들이 간혹 이 정도는 AP나 IB 미적분학 수준이라며 증명 등을 넘어갈 때 특히 유용하다.
- 미시경제학(제4판 이후) 수학노트와 연습문제 해답집(이준구 저, 법문사): 미시경제학·재정학 저자로 유명한 서울대 이준구 교수의 교재. 그런데 경제수학 교재는 미시경제학 본교재가 아니라 서브노트이다. 제7차 교육과정(현역 기준 05학번 이후)이 처음 발표되었을 때 문과 수학 교과과정에서 처음으로 미적분이 빠졌는데, 당시 이준구 교수가
"어떻게 경제학부에 미적분을 모르고 들어올 수 있는가..." "원론이나 미시 진도 뺄 시간도 없는데..."라는 장탄식과 함께별책으로 판매하는 연습문제 해답집 전반부에 경제수학 증명 및 정리를 서술한 것이 이 수학노트의 시초가 되었다. 하지만 80페이지 남짓한 분량으로 벡터, 미적분, 선형대수, 최적화 등을 한꺼번에 설명하려다 보니 선행학습 없이는 이해하기 힘들고, 가끔 "이런 게 있었지?"하고 경제수학 개념을 빠르게 복습하거나 미거시에서 배운 모형을 수리적으로 도출할 때 참고하기 좋다.
여담으로 경제학에 입문하는 수포자들에게 '최소한 이 정도 기초 수학은 공부하고 경제학 공부 시작하라.'는 충고와, '경제수학은 경제학을 공부하기 위한 도구 수준으로 공부하는 거니까 쫄지 말아라.'는 격려 등이 서브노트 곳곳에 있다. 경제학원론·미시경제학·재정학 등 대표 저서의 본문 기술에서는 거의 감정을 드러내지 않던 이준구 교수답지 않은 부분. 이를 잘 보여주는 예시로, 수학노트 제1장 제목이 "경제수학의 기초"인데, 내용의 하위 분류인 절 제목이 "기초 중의 기초"->"한 단계 더 높은 기초"->"또 한 단계 더 높은 기초"
- 경제수학(김완진 저, 홍문사) 서울대학교 경제학부 김완진 명예교수가 자신의 강의노트를 집대성한 교재. 어려운 수식보다는 말로 풀어 서술한다는 장점이 있지만 선형사상을 선형함수로 표현하는 등 타교재와는 다른 용어를 쓰는 부분도 있다.
3.3. 대학원
유병삼 교수에 따르면, 미적+선대 수준을 가지고 경제학과 학부 과목이 커버되는 건 맞지만, 그걸 믿고 '어려운 수학은 필요할 때 공부하겠다'고 마음먹으면 대학원 진학 후 헬이 펼쳐진다. 경제학과 대학원에서 수학을 공부하고 있을 시간이 없기 때문이다. 연구원으로서 성공하기 위한 커리어는 논문이 결정한다. 좋은 논문을 쓰기 위해서는 방대한 수학적 배경지식이 중요하다. 교수들 사이에서는 이런 수학적 기초를 갖춘 중국이나 러시아 유학생들이 한국 유학생에 비해 잘 하고 있다는 의견이 있다.석사 과정의 필수 과목 (미시, 거시, 계량)을 수행하기 위해 미적, 미방, 선대, 해석이 필수이다. 해외 대학원 유학 시 이런 과목들을 많이 듣고 간다. 특히, 유학을 갈 경우 수학 과목은 거의 대부분 어떤 형식으로든 사용이 가능하므로 100% 다 쳐 주지만, 경제학 과목은 수학적으로 엄밀한 과목만 인정한다. 그리고 경영학 과목은 인정하지 않는다.
- 미적분학
학부 2학년 때부터 최적화 할 때 곱미분, 연쇄 법칙, 편미분 사용하게 됨.
미시경제학(석사)에서 다변수 미적분학으로서 Young’s theorem, 헤세 행렬(Hessian matrix), 볼록/오목함수, 행렬의 정부호성(positive and negative (semi-)definite matrices), 음함수 정리, 동차함수(homogeneous functions of any degree) 등을 이용한다.
- 미시경제학(석사)에서도 벡터나 행렬 표현을 사용한다.
- 라그랑주 승수법
- 수리통계의 선수과목
- 학부에서는 구체적으로 게임 이론에서부터 나오기 시작함.
- 미시경제학(석사)에서는 상품시장을 실수공간에서 정의하고 이 공간의 해석학적 특성을 바탕으로 우리가 잘 알고 있는 소비자이론을 구축해 나가게 된다. 예를 들어, 실수에서의 옹골집합을 다룬다.
위 수준까지 끝내게 되면 코어 과목은 어느 정도 끝냈다고 할 수 있다. 아래의 경우 공부의 필요성은 구체적인 연구분야에 따라 달라진다.
- 실해석학
- 각종 최적화 기법들: 깊은 이해가 게임 이론 쪽 연구자에게 필수.
- 조건부 최적화: Kuhn-Tucker 조건, Envelope Theorem, 바이어슈트라스 분해 정리 등등.
- 동태적 최적화: 동적 계획법, 최적제어론
- 복소해석 (복소변수론): 정규분포의 확률밀도함수를 유수로 적분할 수 있게 됨. 하지만 필요할 때 책 찾아보면 될 정도이지 꼭 수강할 필요는 없다는 의견이 있다.
- 확률편미분방정식: 금융공학의 파생상품 가격결정모델[14]을 다룰때 필수이다.
- 함수해석학: 시장 미비 하의 일반균형이론, 금융경제 등에 쓰인다. 선수과목은 실변수함수론, 위상수학.
[1] Recherches sur les principes mathematiques de la théorie des richesses. 쿠르노 균형의 그 오귀스탱 쿠르노.[2] Economic Theory and Mathematics - An Appraisal (1952)[3] 신문기사의 2페이지 참고[4] 미국이 학사 이후 박사에 바로 들어가는 것은 석사와 큰 차이가 없다는 뜻이 아니라, 서로 제도가 다른 것이다. 예를 들어 미국 박사과정 1학년의 미시경제학과 국내 석사과정 1학년의 미시경제학 교과서는 둘 다 MWG를 주로 사용한다.[5] 대표적으로 거시는 미분방정식, 미시는 위상수학 등.[6] 수학의 경우 1600년대 데카르트는 지금의 좌표 평면(x축, y축의 직교좌표계)이라는 아이디어를 제시한 것만으로도 수학의 한 분야를 창시했다고 칭송받고 있다. 아이디어 자체는 전혀 어렵지도, 복잡하지도 않으나 최초로 개념을 제안하는 것은 비록 수식이 없더라도 충분히 학문적으로 위대한 업적이 될 수 있다.[7] 다만 대학에서 배우는 '경제학'과는 연관이 없다는 평이 다수이다.[8] 경제학 전공자들도 잘 모르는 사실인데 정작 케인즈 본인은 수학공부를 상당히 지겨워했었다. 케인즈는 철학적 사유같은 언어논리학적 성향이 더 강한 사람이었기 때문이다. 물론 케인즈는 수학으로 학사 학위를 받았다.[9] 경제학에서 편미분이 중요한 이유는 경제학에서 여러 변수 중 하나의 변수만 변화하고 나머지는 동일하다(=ceteris paribus)는 조건으로 가정하는 경우가 많기 때문이다.[10] 예를 들어 매클로린 급수 중 f(x)=e^x를 활용해 e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+...임을 유도해내려면 초월함수의 미분은 필수다.[11] 편미분은 과학고 등에서 배우는 고급수학 내용에 있긴 하지만, 과학고 출신이 아닌 이상 실질적으로 대학에서 배우는 것이 일반적이다.[12] 다만 한국은행 입행 시험에서의 경제학은 시계열 분석까지 나올 정도로 매우 어려운 편이다.[13] 이 책을 교재로 선정하였다고 하더라도, 앞서 언급한 치앙 교재가 부교재로 혹은 주교재와 동등한 수준으로 쓰이기도 한다.[14] BSM 모델 등.