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1. 개요
복소평면(複素平面, complex plane)은 복소수의 집합 [math(\mathbb{C})]를 좌표평면 [math(\mathbb{R}^{2})]에 나타내어 복소수를 직관적으로 이해할 수 있게 만든 도구이다. 가우스 평면, 복소수 평면이라고도 하며, 프랑스에서는 복소평면의 아이디어를 떠올린 사람 중 한 명인 장 로베르 아르강의 이름을 따서 아르강의 그림(Argand Diagram)[1][2]이라고 한다. 실직선이 실수에 대응한다고 보면 이해가 빠를 것이다.2. 교육 과정
- 국내에서는 6차 교육과정까지 수학 II '삼각함수와 복소수' 단원에서 복소평면을 배웠으나 빠졌다가 현재는 고급 수학1로 부활했다.
그러나 일반고에서 고급 수학1을 배울 일은 없다.[3] - 일본에서는 이과생들이 수학Ⅲ에서 배우고 있으며[4] 2022년 4월부터는 수학C에서 배우게 될 예정이다.
- 호주에서는 대학 입시에 복소평면 부분이 역삼각함수 등과 함께 입시에 나온다.
- 영국에서는 GCE A Level에서 심화수학 Core 1에서 다루고, International A Level에서 순수심화수학 1, 2에서 다룬다.[5]
3. 다색 복소평면
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| 바이어슈트라스 타원 함수 [math(\wp)]의 그래프 |
domain coloring
복소수 관련 자료 가운데 이런 알록달록한 그림을 볼 때도 있는데, 이게 복소함수의 그래프이다. 보통 명도는 함숫값의 크기(절댓값)를 나타내며[6], 색도는 편각을 나타낸다.
편각을 나타내는 색의 기준점을 정하는 방법은 학자에 따라 몇 가지가 존재한다. 편각이 가질 수 있는 값의 범위가 일반적인 것처럼 [math(0)]과 [math(2\pi)] 사이일 때는, 양의 실수를 색의 기준점인 빨간색으로 잡고 음의 실수는 그 보색인 청록색이 되는 방식이 많이 쓰인다.[7][8]
필요에 따라 치역을 절댓값이나 허수부, 실수부를 취하여 3차원 직교좌표계 혹은 원통좌표계 상에서 연직 축[9]에 대응시켜 나타내기도 한다. 이 때에는 명도와 채도를 고정하여 나타낸다.
4. 평면과 복소수의 대응법
복소수와 직교좌표평면의 점을 일대일로 대응시킬 수 있다. 예를 들어 [math(x+iy)]를 [math(\left(\Re (x+iy), \Im(x+iy)\right) = \left(x,y\right))]에 대응시키면 이는 일대일 대응이 되고 벡터공간 구조를 보존해준다. 극좌표 평면상에서도 [math(re^{i \theta} = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = r \phase \theta)] 으로 표현할 수 있음에 따라 이러한 성질을 만족시킨다.[math(i)]는 [math(\left(0,\,1\right))]에, [math(1)]은 [math(\left(1,\,0\right))]에 대응되기 때문에, x축을 실수축, y축을 허수축이라 부른다.
해당 점과 원점과의 거리는 해당 복소수의 절댓값이 된다.
5. 덧셈 관련
5.1. 덧셈의 기하적 표현
언급했듯이, 벡터공간의 성질을 유지하며 [math(\mathbb{C})]를 [math(\mathbb{R}^{2})]에 대응시켰기 때문에, 두 복소수의 덧셈은 복소평면에서 두 벡터의 덧셈이 된다. 예를 들어, 두 복소수 a+bi,c+di를 더하면 복소평면에서는 두 위치벡터[10] (a.b),(c,d)의 합이므로 평행사변형법을 써서 구할 수 있다.5.2. 켤레
복소수 [math(z)]의 켤레복소수 [math(\bar{z})]는 [math(z)]의 x축 대칭이다.5.3. 실수, 순허수
실수와 순허수는 각각 x축과 y축 위에 있다.[11]6. 곱셈
6.1. 극분해, 극좌표 변환
직교좌표계와 극좌표계는 간단한 변환으로 서로 바꿀 수 있는데, 같은 방식으로 복소평면에서도 적용이 가능하다. 이런 과정을 좀 더 엄밀하게 표현한 것을 극분해(polar decomposition) 라고 한다.[math(
\begin{aligned}
)][12]
\begin{aligned}
z &= a+bi = r (\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta} \\
r &= \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = |z| \\
\theta &= \arctan \dfrac b a = \arg z
\end{aligned}r &= \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{a^2 + b^2} = |z| \\
\theta &= \arctan \dfrac b a = \arg z
)][12]
엄밀하게는 [math(\theta)] 의 존재성을 확인해야 하며, 추가로 사분면에 따라 그 값을 보정해 주어야 한다.
위 식에서 r 은 양의 실수이기에, [math(\dfrac{z}{r}=c+is)]([math(c=\dfrac{a}{r})], [math(s=\dfrac{b}{r})]는 실수)라 할 때, [math(\left|\dfrac{z}{r}\right|^{2}=c^{2}+s^{2}=1)]이다. 따라서 실수 [math(\theta)]가 존재하여 [math(c=\cos \theta)], [math(s=\sin \theta)]이다.
이걸 그대로 오일러의 공식 ([math(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta)])에 적용하면 아래의 결과가 나온다.
[math( z = a+bi=r \cdot e^{\theta i} )]
여기서, [math(r)]은 [math(0)]과 [math(z)] 사이의 거리, [math(\theta=\arg z)]이다. 즉, [math(z)]를 극좌표의 형태로 표현한 것이다. 그런 이유로 이를 극분해라 부른다. 복소평면에서의 곱셈을 계산할 때 이를 활용하여 계산할 수도 있다.
6.2. 곱셈의 기하학적 표현
허수 [math(i)]의 곱셈은 시계 반대 방향으로의 90° 회전이다. 이를 이용해서 음수끼리의 곱셈이 왜 양수가 되는지 설명하는 데 쓸 수도 있다.극분해된 두 복소수 [math(z_{1}=r_{1} e^{\theta_{1} i})]와 [math(z_{2}=r_{2} e^{\theta_{2} i})]의 곱은 [math(z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2} e^{\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) i})]이다. 즉, 절댓값이 각각 [math(r_1)]과 [math(r_2)], 편각이 각각 [math(\theta_1)]과 [math(\theta_2)]인 두 복소수의 곱을 생각하면, 그 절댓값과 편각은 각각 [math(r_{1}r_{2}, \theta_{1}+\theta_{2})]이 된다. 이렇게 복소평면을 극좌표로 생각하면 곱셈이 아주 편해진다.
복소수의 곱셈은 그냥 계산하기 까다로울 정도로 어려운 것은 아니지만, [math( z^2, z^3)]이나 좀 더 일반화해서 [math( z^n )] 같은 것으로 계산하고자 할 때는 이렇게 변환해서 계산하는 것이 훨씬 간단하다.
[1] 책에 따라 아르강 도표라고 번역한 경우도 있다.[2] 플랑 다흐겅 'plan d'Argand' 그러나 물론 프랑스에서도 '복소평면'에 해당하는 'plan complexe' 플랑 꽁플렉스 가 정식 표현이다.[3] 2015 개정 교육과정을 따르는 (사실상) 이과 학생들이 반드시 배워야 하는 수학 과목이 '수학 1·2', '확률과 통계', '기하', '미적분'이 있는 만큼 일반고에서 고급 수학1를 배우는 건 하늘의 별 따기처럼 어렵다. 자신이 어느 한 과목을 자습으로만 때우고 고급 수학1를 학교에서 배우고 싶다고 말해도 다른 사람들이 그렇게 하지 않아 학생 수가 너무 적어 생기는 내신 등급 계산 문제로 인해 그러한 의사를 거부당할 것이다. 다만 학교 간 공동교육과정을 통하여 원하는 사람은 개설된 고등학교로 가서 들을 수 있게 하기도 한다. 아니면 일부 고등학교에서 방학 때 계절학기로 열어주기도 한다.[4] 그래서 일본 대학 입시를 준비하는 유학생들이 따로 교재를 구해서 보거나 학원을 다녀야 한다.[5] 물론, 두 과정 전부 복소수 및 복소 평면 계산에서 끝내지 않고, 오일러 공식, root of unity, 드무아브르 공식과 삼각함수의 이항정리도 다룬다.[6] [math(0)]은 시꺼멓게 표현되며 [math(\infty)]는 허옇다.[7] 다색 복소평면의 편각을 읽을 때 [math(x^3 = pm1)]를 익혀 두면 쉽다. 각각 빨강: [math(1)], 노랑: [math(-\overline\omega)], 초록: [math(\omega)], 청록: [math(-1)], 파랑: [math(\overline\omega)], 자홍: [math(-\omega)]의 편각이다(단, 이때 [math(\omega=\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2})]).[8] 다른 방식 중 하나를 여기서 볼 수 있다. 편각이 가지는 값의 범위가 [math(-\pi)]부터 [math(+\pi)]까지로 주어져있으며, 음의 실수가 기준점으로서 마젠타색에, 양의 실수는 보색인 초록색에 배당됐다. 일반적으로 편각 범위의 끝값은 색의 기준점으로서 빨강 계열의 원색으로 나타내고, 그래서 반대로 중앙값은 보색으로 시원한 계열 원색이 되는 경향이 있는 듯.[9] 대부분은 z축에 해당.[10] (0,0)에서 그 점으로 향하는 벡터[11] 0의 경우 두 축이 모두 만나는 지점에 있다.[12] [math(\arctan)]은 역탄젠트 함수를 뜻한다. [math(\arctan\left(\dfrac yx\right))] 대신 [math(\operatorname{atan2}(y,\,x))]라는 함수를 쓰기도 한다.